Задачи на движение по воде — ЕГЭ профиль

Задачи на движение по воде (Задание 11)

Тема «Движение по воде» даёт примерно каждую третью задачу в номере 11 - это самый популярный сюжет этого задания. По реке или озеру плывёт лодка, катер, теплоход или плот; нужно учесть скорость течения, связать путь, скорость и время, составить уравнение и решить его.

Основные формулы

Все задачи на движение строятся вокруг одной главной формулы.

ВАЖНОЕ

Связь пути, скорости и времени

S = v \cdot t

Где $S$ - пройденный путь, $v$ - скорость, $t$ - время.
Отсюда легко выразить время: $t = \frac{S}{v} .$

В воде скорость объекта зависит от направления движения относительно течения:

ВАЖНОЕ

Скорости на воде

Если $v_{собств}$ - собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), а $v_{теч}$ - скорость течения реки, то:

По течению: $v_{по} = v_{собств} + v_{теч}$ (река помогает)
Против течения: $v_{против} = v_{собств} - v_{теч}$ (река мешает)
В озере (стоячая вода): $v_{озеро} = v_{собств}$ (течения нет)

Алгоритм решения

В 99% случаев задача на движение по воде идеально решается через таблицу.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

1. Нарисуй таблицу. Сделай три столбца: $S$ (путь), $v$ (скорость), $t$ (время). Строки - это участки пути (например, «туда» и «обратно»).
2. Введи переменную $x .$ Обычно за $x$ удобнее всего брать то, что просят найти в вопросе задачи (скорость течения или собственную скорость лодки).
3. Заполни два столбца из трёх. Как правило, известны расстояния ( $S$ ) и можно записать выражения для скоростей ( $v$ ) через $x .$
4. Вырази третий столбец. Время $t$ всегда выражай через формулу: $t = \frac{S}{v} .$ У тебя получатся алгебраические дроби.
5. Составь уравнение. В тексте задачи всегда есть условие, связывающее время. Например, разница во времени («на 4 часа меньше») или общее время с учётом стоянки.
6. Реши уравнение и сделай отбор. Приведи дроби к общему знаменателю, реши квадратное уравнение. Отрицательный корень отбрось (скорость не может быть отрицательной). Проверь, ответил ли полученный $x$ на вопрос задачи.

Слова-маркеры в тексте

Обращай внимание на эти фразы, они чётко указывают, как составлять уравнение:

«Затратил на обратный путь на 4 часа меньше» $⟹$ вычитай из большего времени меньшее: $t_{больше} - t_{меньше} = 4 .$ (Подсказка: где скорость меньше, там время больше!)
«После стоянки в 3 часа возвращается через 15 часов» $⟹$ теплоход двигался только $15 - 3 = 12$ часов. Уравнение: $t_{туда} + t_{обратно} = 12 .$
«Затратил столько же времени» $⟹$ приравняй время на разных участках: $t_{1} = t_{2} .$
«Встретились через $t$ часов» $⟹$ складывай скорости сближения. Если один объект плывёт по течению, а другой навстречу - их относительная скорость равна $(v_{1} + v_{теч}) + (v_{2} - v_{теч}) = v_{1} + v_{2},$ течение сокращается.

Горизонтальная схема реки в виде широкой полосы со стрелками

Подтипы задач

В номере 11 встречаются четыре типовых сценария движения по воде:

1. Туда и обратно со стоянкой. Даны полное время отсутствия и длительность стоянки - вычитаешь одно из другого и получаешь время в движении.
2. Разница во времени. Обратный путь занял на $k$ часов меньше (или больше). Уравнение строится как разность двух дробей.
3. Равное время. На обратном пути скорость лодки изменилась (или появилась остановка), но время получилось такое же. Приравниваешь две дроби и находишь скорость.
4. Встреча или догонка на реке. Два объекта выходят навстречу (или вдогонку) по одной и той же реке. В формуле сближения скорости течения у них складываются с разными знаками, поэтому часто взаимно сокращаются - итоговая относительная скорость зависит только от собственных скоростей.

Примеры решения

Три задачи - от классической «туда-обратно со стоянкой» к ловушке с вопросом.

ПРИМЕР 1

Классическая задача со стоянкой

Условие:
Моторная лодка проходит по течению реки до пункта назначения 120 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления лодка возвращается через 11 часов. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Реальное время лодки в движении. Она отсутствовала 11 часов, но 2 часа стояла:
$t_{движения} = 11 - 2 = 9$ часов.

2. Пусть $x$ - собственная скорость лодки (км/ч), $x > 3 .$
Заполним таблицу:

Направление	$S$ (км)	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)
По течению	$120$	$x + 3$	$\frac{120}{x + 3}$
Против течения	$120$	$x - 3$	$\frac{120}{x - 3}$

3. Суммарное время в пути равно 9 часам:

\frac{120}{x + 3} + \frac{120}{x - 3} = 9

4. Сначала удобно разделить обе части на 3:

\frac{40}{x + 3} + \frac{40}{x - 3} = 3

Приводим левую часть к общему знаменателю:

\frac{40 ( x - 3 ) + 40 ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = 3

\frac{80 x}{x ^{2} - 9} = 3

5. Умножаем крест-накрест (при $x > 3$ знаменатель ненулевой):

3 (x^{2} - 9) = 80 x ⟺ 3 x^{2} - 80 x - 27 = 0

6. Считаем дискриминант через $\frac{D}{4}$ (второй коэффициент чётный, $k = - 40$ ):

\frac{D}{4} = k^{2} - a c = 1600 - 3 \cdot (- 27) = 1681 = 4 1^{2}

x = \frac{40 \pm 41}{3}

Отрицательный корень $x = - \frac{1}{3}$ отбрасываем, остаётся $x = \frac{81}{3} = 27 .$

Проверка: $\frac{120}{30} + \frac{120}{24} = 4 + 5 = 9 .$ Сошлось.

Ответ: 27

ПРИМЕР 2

Разница во времени

Условие:
Катер прошёл против течения реки 140 км и вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 12 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

В задачах ЕГЭ часто бывают «ловушки» с вопросом. Иногда просят найти не скорость, а пройденный путь.

ПРИМЕР 3

Ловушка с пройденным расстоянием

Условие:
Теплоход, собственная скорость которого равна 24 км/ч, проходит некоторое расстояние по реке и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отправления. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница со стоянкой

Ошибка: Приравнивать сумму времени в пути к числу часов, указанному с момента отправления, игнорируя стоянку. Записать уравнение вида $\frac{S}{v _{1}} + \frac{S}{v _{2}} = 30 .$
Правильно: Транспорт не двигался всё это время! Обязательно вычти время стоянки из общего времени: $t_{движ} = t_{общее} - t_{стоянки} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Невнимательность к вопросу

Ошибка: Найти $x$ из уравнения и сразу вписать его в бланк.
Правильно: В конце решения всегда перечитывай вопрос задачи. Тебя могли просить найти скорость против течения (тогда нужно вычесть скорость течения из найденного корня) или общий пройденный путь (нужно умножить найденное расстояние на 2).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Средняя скорость не работает

Ошибка: Посчитать «среднюю скорость» как полусумму скоростей по и против течения и делить на неё весь путь туда-обратно.
Правильно: Среднее арифметическое скоростей не равно средней скорости движения. Время всегда считай на каждом участке отдельно как $t = \frac{S}{v},$ а уже потом складывай. Для лодки со скоростями $26$ и $22$ км/ч на 286 км в каждую сторону полусумма даёт $24,$ а честная средняя - $\frac{2 \cdot 286}{11 + 13} \approx 23, 83$ км/ч.

Что запомнить

1. Всегда рисуй таблицу $S, v, t .$ Это исключает $90%$ ошибок при составлении уравнения.
2. В столбце $t$ всегда должны стоять дроби $\frac{S}{v} .$
3. В уравнении на разницу времени всегда вычитай из бóльшей дроби (где знаменатель меньше) меньшую дробь (где знаменатель больше).
4. Озеро = нет течения. Плот = нет собственной скорости.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 11

Ориентировочное время: 5-10 минут.
Приоритет: Высокий. Это задание первой части, его нужно решать сразу после самых простых задач. Оно приносит уверенный 1 балл.
Хитрость проверки: Корни в задании 11 всегда красивые (целые числа или конечные десятичные дроби). Как только ты нашёл $x,$ подставь его обратно в свои дроби в таблице. Например, если $x = 27,$ то дроби $\frac{120}{27 + 3}$ и $\frac{120}{27 - 3}$ превратятся в $\frac{120}{30} = 4$ и $\frac{120}{24} = 5 .$ В сумме $4 + 5 = 9 .$ Сошлось с условием? Значит, ответ 100% верный, можно переходить к следующей задаче.

Проверь себя0 из 4

1.Собственная скорость лодки 15 км/ч, скорость течения 3 км/ч. С какой скоростью лодка плывёт против течения?

2.С какой скоростью плывёт плот по реке, если скорость течения равна 2 км/ч?

3.Теплоход отправился в рейс туда и обратно, стоянка длилась 2 часа, а вернулся он через 11 часов после отправления. Сколько часов теплоход был в движении?

4.Катер затратил на обратный путь (по течению) на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Какое уравнение верно?