Задачи на движение по прямой

Задание 11 проверяет умение строить математические модели для реальных ситуаций. Задачи на движение по прямой - это классика текстовых задач. Здесь нет сложных физических законов, всё держится на одной ключевой формуле и внимательном чтении условия.

Основные формулы

Абсолютно все задачи этого типа крутятся вокруг связи расстояния, скорости и времени.

ВАЖНОЕ

Главный закон движения

S = v \cdot t

Где $S$ - пройденный путь, $v$ - скорость, $t$ - время в пути. Из этой формулы легко выразить любую другую величину:

v = \frac{S}{t}, t = \frac{S}{v}

Если объекты едут навстречу друг другу или кто-то кого-то догоняет, удобнее перейти к относительной скорости - скорости, с которой одно тело приближается к другому.

ВАЖНОЕ

Относительная скорость

При встречном движении скорости складываются:

v_{сближ} = v_{1} + v_{2}, t_{встречи} = \frac{S}{v _{1} + v _{2}}

При движении в одном направлении (вдогонку) скорости вычитаются:

v_{сближ} = ∣ v_{1} - v_{2} ∣, t_{догнать} = \frac{S _{между}}{∣ v _{1} - v _{2} ∣}

Если в задаче просят найти среднюю скорость на всём пути, забудь про среднее арифметическое: для скорости оно даёт неверный результат.

ВАЖНОЕ

Средняя скорость

Средняя скорость - это весь пройденный путь, поделённый на всё затраченное время:

v_{ср} = \frac{S _{общ}}{t _{общ}} = \frac{S _{1} + S _{2} + \dots}{t _{1} + t _{2} + \dots}

Алгоритм решения

В задачах на движение легко запутаться в данных. Самый надёжный способ собрать всё воедино - нарисовать таблицу.

Таблица «участник - путь - скорость - время»

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через таблицу

1. Нарисуй таблицу. Сделай три столбца: $S,$ $v$ и $t .$ Строки - это участники движения (например, «Первый автомобиль» и «Второй автомобиль» или участки пути).
2. Введи переменную $x .$ Обычно за $x$ принимают то, что просят найти в вопросе задачи (например, скорость первого). Заполни столбец $v .$
3. Заполни столбец $S .$ Внеси расстояния, которые даны в условии.
4. Вырази $t .$ Столбец времени заполняй только по формуле $t = \frac{S}{v},$ используя данные из первых двух столбцов. Новые буквы здесь не вводи.
5. Составь уравнение. Внимательно прочитай ту часть условия, которая описывает разницу во времени («прибыл на 2 часа раньше», «вышли одновременно», «простоял 30 минут»). Свяжи этим условием ячейки столбца $t .$
6. Проверь ответ на смысл. Отрицательный корень квадратного уравнения отбрасывай сразу. Убедись, что найденный $x$ - это именно то, что просят в вопросе.

Примеры решения

Разберём четыре задачи от простых к комплексным: сначала движение в одном направлении, потом средняя скорость, встречное движение и наконец задача с остановкой.

ПРИМЕР 1

Задержка на старте (вдогонку)

Из города А в город В, расстояние между которыми $240$ км, выехал первый автомобиль. Через $1$ час следом за ним со скоростью, на $20$ км/ч большей скорости первого, выехал второй автомобиль. Найди скорость первого автомобиля, если в город В они прибыли одновременно. Ответ дай в км/ч.

ПРИМЕР 2

Поиск средней скорости

Первые $120$ км автомобиль ехал со скоростью $60$ км/ч, следующие $200$ км - со скоростью $100$ км/ч, а затем $130$ км - со скоростью $130$ км/ч. Найди среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дай в км/ч.

ПРИМЕР 3

Встречное движение с разным временем старта

Расстояние между городами A и B равно $460$ км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью $80$ км/ч второй автомобиль. Найди скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии $220$ км от города A. Ответ дай в км/ч.

ПРИМЕР 4

Движение с остановкой

Расстояние между станциями A и B равно $200$ км. Поезд вышел из A, часть пути проехал со скоростью $50$ км/ч, затем простоял $20$ минут на промежуточной станции, после чего оставшийся участок преодолел со скоростью $60$ км/ч. От выезда из A до прибытия в B прошло $4$ часа. Найди расстояние от A до промежуточной станции. Ответ дай в километрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильная формула средней скорости

Ошибка: Вычислять среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на участках. Если скорости были $60,$ $100$ и $130,$ считать $\frac{60 + 100 + 130}{3} .$

Правильно: Использовать только формулу $v_{ср} = \frac{S _{общ}}{t _{общ}} .$ Среднее арифметическое даёт верный результат только в одном специфическом случае - когда машина ехала с разными скоростями одинаковое время (а не одинаковое расстояние).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки в знаках при составлении уравнения

Ошибка: Читая условие «второй приехал на $2$ часа быстрее», записать уравнение $\frac{S}{v _{2}} + 2 = \frac{S}{v _{1}}$ и запутаться, к какой части прибавлять двойку.

Правильно: Держи в голове одну конструкцию: бóльшее время минус меньшее время равно разнице. Тот, кто едет медленнее, тратит больше времени - значит, его дробь стоит первой:

\frac{S}{v _{медл}} - \frac{S}{v _{быстр}} = Δ t

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыть вычесть остановку

Ошибка: В задаче с остановкой приравнивать сумму $\frac{S _{1}}{v _{1}} + \frac{S _{2}}{v _{2}}$ сразу к общему времени «от выезда до прибытия».

Правильно: Общее время = время движения + время остановки. В уравнение входит только чистое время движения: $t_{движ} = t_{общ} - t_{стоянки} .$ Минуты обязательно переводи в часы.

Что запомнить

Основа всего: таблица $S,$ $v,$ $t .$ Два столбца заполняешь по условию, столбец времени - строго по дроби $\frac{S}{v} .$
Уравнение: почти всегда строится на разнице или сумме времён. Формулируй его как «большее минус меньшее = разница».
Остановка: вычитай её из общего времени до составления уравнения. Переводи минуты в часы через $\frac{мин}{60} .$
Проверка корней: скорость и время не бывают отрицательными. Если квадратное уравнение дало два положительных корня, перечитай условие - там может быть ограничение вроде «скорость не превышает $90$ км/ч».
Средняя скорость: никогда не среднее арифметическое. Только общий путь поделить на общее время.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 11

Время выполнения: $5$ - $10$ минут.
Очерёдность: Решай сразу вместе с первой частью. Задача проверяет аккуратность и базовую алгебру, и на свежую голову ошибок меньше.
Быстрая проверка ответа: Получив корень (например, скорость $60$ км/ч), подставь его в исходные дроби. «Первый прошёл $240$ км со скоростью $60$ - потратил $4$ часа. Второй со скоростью $80$ - потратил $3$ часа. Разница $1$ час. Сходится с условием.» Такая проверка занимает $20$ секунд и отсеивает ошибки в раскрытии скобок.
Здравый смысл: Полученный ответ должен быть правдоподобным. Скорость велосипедиста - $10$ - $25$ км/ч, пешехода - $3$ - $6$ км/ч, автомобиля - $50$ - $120$ км/ч. Если получил скорость поезда $5$ км/ч - ищи ошибку.
Формат ответа: В первой части ЕГЭ ответ всегда целое число или конечная десятичная дробь. Если в итоге вылезает $3$ или $\frac{10}{3}$ - ошибка в уравнении или вычислениях дискриминанта.

Проверь себя0 из 4

1.Автомобиль проехал первые

100

км со скоростью

50

км/ч, а следующие

100

км — со скоростью

100

км/ч. Чему равна его средняя скорость на всём пути?

2.Два автомобиля едут навстречу друг другу со скоростями

v_{1}

v_{2},

расстояние между ними

S .

Через какое время они встретятся?

3.В задаче поезд ехал с остановкой

30

минут, всего от выезда до прибытия прошло

5

часов. Какое время подставлять в уравнение суммы времён движения по участкам?

4.Второй автомобиль выехал на

1

час позже первого, и они прибыли одновременно. Как связаны их времена в пути?