Задачи из химии и биологии — ЕГЭ профиль

Задачи из химии и биологии (Задание 17)

Декорации узнаваемые: озеро с рыбой, лекарство в крови, реакция в колбе, лист на свету. Формулу процесса дают в условии - биологию и химию учить не нужно. Меняется класс функций: парабола редка, зато постоянны дроби с квадратом в знаменателе и произведения с затухающей экспонентой. Область определения почти всегда луч, а не отрезок, поэтому ход «сравним значения на концах» не работает: экстремум обосновывают знаком производной. Решение пишут развёрнуто, и последняя строка обязана вернуться из математики в озеро или колбу.

Четыре кривые, которые здесь встречаются

Сюжетов много, а формул по существу четыре. Опознавай кривую по виду формулы.

ВАЖНОЕ

Логистический прирост

v (N) = r N (1 - \frac{N}{K}), 0 < N < K

$N$ - численность, $K$ - ёмкость среды, $r$ - коэффициент размножения. Раскрыв скобки, видим параболу ветвями вниз: $v (N) = r N - \frac{r}{K} N^{2} .$ Нули - в точках $N = 0$ и $N = K,$ вершина строго посередине:

N_{0} = \frac{K}{2}, v_{m a x} = \frac{r K}{4}

Прирост популяции: парабола с вершиной на половине ёмкости

iЗАМЕЧАНИЕ

Прирост и численность - разные величины

Численность растёт всё время: $N$ ползёт вверх и упирается в $K .$ А прирост $v$ сперва увеличивается, а после $K /2$ падает: особей больше, но корма и места на каждую меньше. Максимумы у них в разных точках - перечитай последнее предложение условия.

Численность растёт до предела, а прирост максимален посередине

ВАЖНОЕ

Пик концентрации

C (t) = \frac{a t}{t ^{2} + b}, t > 0

Классика фармакокинетики: препарат всасывается, концентрация растёт, доходит до пика и медленно спадает. Производная - по правилу частного:

C^{'} (t) = \frac{a ( b - t ^{2} )}{( t ^{2} + b ) ^{2}}, t_{0} = b, C_{m a x} = \frac{a}{2 b}

Концентрация в крови: быстрый подъём и долгий спад

ВАЖНОЕ

Произведение с затухающей экспонентой

c (t) = A t e^{- k t}, t > 0

Так ведёт себя промежуточное вещество: пока его нарабатывают быстрее, чем расходуют, оно накапливается. Производная - по правилу для произведения:

c^{'} (t) = A e^{- k t} (1 - k t), t_{0} = \frac{1}{k}, c_{m a x} = \frac{A}{k e}

Растущий множитель против затухающего даёт пик

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кривая насыщения

g (x) = \frac{a x}{b + x}, x ⩾ 0

Возрастает от нуля и прижимается к горизонтали $y = a,$ но не достигает её: сколько ни добавляй субстрата, скорость упирается в потолок $a .$ Своего максимума у неё нет - она монотонна. Максимум появляется, только когда из неё вычитают потери.

ВАЖНОЕ

Насыщение минус потери

F (x) = \frac{a x}{b + x} - c x, F^{'} (x) = \frac{ab}{( b + x ) ^{2}} - c

Из $F^{'} (x) = 0$ следует $(b + x)^{2} = \frac{ab}{c},$ откуда положительный корень $x_{0} = \frac{ab}{c} - b .$

Максимум разности - там, где касательная параллельна прямой потерь

Знак производной без единого числа

АЛГОРИТМ

Знак задаёт одна короткая скобка, всё остальное положительно

1. Дробь. В формуле $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ знаменатель - КВАДРАТ, положительный всюду, где дробь определена. Знак производной совпадает со знаком числителя, и всё сводится к знаку многочлена: у $C (t) = \frac{a t}{t ^{2} + b}$ это $b - t^{2} .$
2. Экспонента. Множитель $e^{- k t}$ положителен при любом $t :$ вынеси его за скобку и забудь. Знак задаёт линейная скобка - у $c (t) = A t e^{- k t}$ это $1 - k t .$

Луч вместо отрезка

Границы приходят не из формулы, а из смысла величины: время с момента приёма - $t > 0,$ освещённость и концентрация неотрицательны, численность живёт между нулём и ёмкостью среды. Отрезок появляется, когда условие само называет верхнюю границу: вместимость садка, мощность лампы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

На луче сравнивать концы не с чем

Правого конца у промежутка $t > 0$ нет, и таблица значений на концах не работает. Единственный законный довод - смена знака производной: слева от $t_{0}$ плюс, справа минус, значит, $t_{0}$ - точка максимума на всём луче. Фразы «производная равна нулю» мало: ноль бывает и в минимуме, и в перегибе.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Каркас развёрнутого решения

1. Назови переменную: «пусть $t$ - время в часах с момента приёма» - и выпиши функцию.
2. Очерти допустимые значения одной фразой на каждую границу.
3. Найди производную: дробь - по правилу для частного, произведение - с выносом множителя.
4. Реши $f^{'} (x) = 0$ и проверь, попал ли корень в допустимую область.
5. Обоснуй экстремум знаками производной слева и справа от корня.
6. Ответь на заданный вопрос. «Когда», «при какой численности» - оставляем точку; «какова наибольшая скорость» - подставляем её в функцию. Единицы берём из условия.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Наибольший устойчивый вылов

Условие:
Годовой прирост популяции карпа в озере зависит от численности $N$ (в тысячах особей) по формуле $v (N) = 0, 6 N (1 - \frac{N}{60})$ тысяч особей в год, где $0 < N < 60 .$ Рыбхоз собирается вылавливать ровно годовой прирост, чтобы численность не менялась. Какой наибольший ежегодный вылов можно так обеспечить?

ПРИМЕР 2

Наибольшая концентрация лекарства

Условие:
После однократного приёма препарата его концентрация в крови (в миллиграммах на литр) меняется по закону $C (t) = \frac{36 t}{t ^{2} + 4},$ где $t > 0$ - время в часах с момента приёма. Найдите наибольшую концентрацию.

ПРИМЕР 3

Когда отбирать пробу

Условие:
Реакция идёт в две стадии: исходное вещество превращается в промежуточное, а то - в конечный продукт. Концентрация промежуточного вещества (мг/л) меняется по закону $c (t) = 40 t e^{- t /5},$ где $t > 0$ - время в часах от начала реакции. Через какое время его концентрация будет наибольшей?

ПРИМЕР 4

Насыщение против угнетения

Условие:
Скорость роста культуры бактерий (в миллионах клеток в час) зависит от концентрации субстрата $S$ (г/л) по формуле $v (S) = \frac{45 S}{5 + S} - S$ при $S ⩾ 0 :$ первое слагаемое - питание, второе - угнетение продуктами обмена. Найдите наибольшую скорость роста и концентрацию субстрата, при которой она достигается.

Частые ошибки

✗НЕВЕРНО

«Чем больше популяция, тем больше прирост»

Условие примера 1: $v (N) = 0, 6 N (1 - \frac{N}{60}) .$
Неверное решение: прирост тем больше, чем больше особей, значит численность надо держать у предела - около $60$ тысяч.
Что не так: у предела ёмкости корма и места почти не остаётся, и скобка $(1 - \frac{N}{K})$ гасит рост: $v (59) = 0, 59$ против $v (30) = 9 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Производную дроби посчитали «по частям»

Ошибка: для $C (t) = \frac{36 t}{t ^{2} + 4}$ записать $C^{'} (t) = \frac{36}{2 t}$ - поделить производную числителя на производную знаменателя.
Правильно: работает только формула $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} .$ Признак ошибки виден сразу: у $\frac{36}{2 t}$ нет нулей, и задача упирается в тупик.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

При дифференцировании экспоненты потерян множитель

Ошибка: считать, что $(e^{- t /5})^{'} = e^{- t /5} .$ Тогда $c^{'} (t) = 40 e^{- t /5} (1 + t) > 0$ при всех $t > 0,$ и выходит, что концентрация растёт вечно.
Правильно: $(e^{- t /5})^{'} = - \frac{1}{5} e^{- t /5} :$ показатель сложный, и его производная выходит множителем. Она и создаёт скобку $1 - \frac{t}{5},$ а с ней пик.

КОРОТКО

Что запомнить

Распознавай не сюжет, а вид функции: логистика, дробь с квадратом в знаменателе, произведение с экспонентой, насыщение минус потери.
Знак производной у дроби определяет числитель, у произведения с экспонентой - линейная скобка.
У логистики $v (N) = r N (1 - \frac{N}{K})$ максимум при $N = \frac{K}{2}$ и равен $\frac{r K}{4} .$
У $\frac{a t}{t ^{2} + b}$ пик при $t = b;$ у $A t e^{- k t}$ - при $t = \frac{1}{k},$ и от коэффициента $A$ момент пика не зависит.
Кривая насыщения $\frac{a x}{b + x}$ максимума не имеет: он появляется, только когда из неё вычитают потери.
Область почти всегда луч: концы сравнивать не с чем, довод - только знак производной. Корень вне отрезка означает ответ на его конце.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $15$ - $20$ минут; половина уходит на формулировки, а не на производную.
Числа подставляй в конце. Считай производную в буквах и сокращай - арифметики станет втрое меньше.
Проверка соседями: посчитай функцию в двух точках по обе стороны от найденной. Оба значения меньше - максимум подтверждён.
Последняя фраза - вывод словами. «Наибольшая скорость роста равна $20$ миллионам клеток в час при концентрации субстрата $10$ г/л» - без такой строки решение не закончено.

Проверь себя0 из 4

1.Со знаком какого выражения совпадает знак производной функции

C (t) = \frac{a t}{t ^{2} + b}

при

a > 0 ?

2.В какой момент концентрация

c (t) = A t e^{- k t}

наибольшая?

3.Что верно про

g (x) = \frac{a x}{b + x}

при

x ⩾ 0

и положительных

a,

b ?

4.Корень уравнения

f^{'} (x) = 0

оказался правее допустимого отрезка. Значит: