Задание 17: Прикладная задача на… — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 17 - новичок в профильном ЕГЭ: в КИМ-2026 такого номера не было. В 2027 году вариант вырос с 19 заданий до 20, максимальный первичный балл - с 32 до 33, и одно из добавленных заданий встало во вторую часть. Здесь проверяют не технику решения уравнений, а умение построить модель реальной ситуации и исследовать её. Формула, как правило, дана прямо в условии - её не надо помнить. Надо понять, какая величина в ней меняется, и найти, при каком её значении вторая величина будет наибольшей или наименьшей.

Формат ответа: Развёрнутое решение с обоснованием.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 2 первичных балла.
Ориентировочное время: 20 минут.

✎ЗАМЕТКА

Связь с другими заданиями

Опора номер один - задание 9. Там ты уже искал точки максимума и наибольшие значения функций через производную. Разница в источнике функции и в оформлении: в задании 9 функция дана готовой, а ответ - одно число без пояснений; здесь функцию нужно сначала составить самому и записать полное обоснование.
Опора номер два - задание 13. Там тоже житейская ситуация переводится на язык математики, но дальше хватает алгебры: проценты, прогрессии, квадратное уравнение, краткий ответ. Признак задания 17 - в модели появляется переменная, по которой функцию нужно исследовать на экстремум. Нет исследования - это не 17 номер.

Какие темы встречаются

Требование спецификации - «исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры и начал математического анализа» - распадается на шесть сюжетов.

1. Оптимизация производства - план выпуска, наименьшая себестоимость, наибольшая прибыль. Обычно квадратичная функция затрат.
2. Распределение ресурса - как разделить рабочих, деньги или сырьё между двумя объектами, чтобы суммарная выручка была наибольшей.
3. Физическая модель с данной формулой - мощность в цепи, дальность полёта, КПД. Формула приходит из условия вместе с числами.
4. Колебания и резонанс - максимум амплитуды по параметру. Прототип из демоверсии: амплитуда качки корабля, найти период волны.
5. Геометрическая оптимизация - наибольший объём коробки из листа, наибольшая площадь при заданной длине ограды.
6. Задачи из химии и биологии - концентрация препарата в крови, скорость реакции, рост популяции.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Схема исследования на экстремум

Пусть $x_{0}$ - внутренняя точка промежутка и $f^{'} (x_{0}) = 0 .$ Тогда знак производной по обе стороны от $x_{0}$ говорит всё:

f^{'} (x) > 0 слева, f^{'} (x) < 0 справа ⟹ x_{0} - точка максимума

f^{'} (x) < 0 слева, f^{'} (x) > 0 справа ⟹ x_{0} - точка минимума

Если знак производной при переходе через $x_{0}$ не меняется, экстремума в этой точке нет.

ВАЖНОЕ

Производные, которые понадобятся

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}, (\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}, (k x + b)^{'} = k, C^{'} = 0

Почти в каждой задаче 17 функция оказывается произведением или дробью, поэтому нужны два правила:

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

ВАЖНОЕ

Вершина параболы

Для $y = a x^{2} + b x + c$ (при $a \neq = 0$ ) вершина находится в точке

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

При $a < 0$ ветви направлены вниз - в вершине наибольшее значение; при $a > 0$ ветви вверх - наименьшее. Других экстремумов у квадратичной функции нет, поэтому производная здесь не нужна.

ВАЖНОЕ

Закон Ома и закон Джоуля - Ленца

Ток в цепи с источником (ЭДС $ε,$ внутреннее сопротивление $r$ ) и нагрузкой $R :$

I = \frac{ε}{r + R}

Тепловая мощность, выделяемая в нагрузке:

P = I^{2} R = \frac{ε ^{2} R}{( r + R ) ^{2}}

ВАЖНОЕ

Площадь и объём при ограничении

Коробка без крышки из квадратного листа со стороной $a :$ по углам вырезают квадраты со стороной $x$ и загибают борта.

V (x) = x (a - 2 x)^{2}, 0 < x < \frac{a}{2}

Прямоугольник заданного периметра $p$ со сторонами $x$ и $\frac{p}{2} - x :$

S (x) = x (\frac{p}{2} - x)

Обе функции обращаются в ноль на концах промежутка - значит, наибольшее значение достигается строго внутри него.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 17

1. Назови переменную. Одной строкой: что обозначаешь за $x$ и в каких единицах.
2. Составь функцию. Выпиши величину, которую надо сделать наибольшей или наименьшей, через $x .$ Если формула дана в условии - подставь в неё числа сразу, чтобы дальше работать с числовой функцией, а не с буквами.
3. Найди область допустимых значений. Сопротивление, длина, объём, число изделий и время неотрицательны; ограничения приходят также из знаменателей и из-под корня. Запиши промежуток явно.
4. Найди производную и критические точки. Реши $f^{'} (x) = 0$ и оставь только те корни, которые попали в область допустимых значений.
5. Проверь характер экстремума. Определи знак производной слева и справа от критической точки и назови результат словами. Без этого шага решение не считается обоснованным.
6. Вернись к смыслу задачи. Спрашивают величину - подставь $x_{0}$ в функцию; спрашивают, при каком значении параметра, - оставь $x_{0} .$ Допиши единицы измерения.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Генератор - прототип из демоверсии

Условие:
На заводе имеется генератор с ЭДС $ε = 50$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку и реостатом устанавливает её сопротивление $R$ (в омах). Сила тока в цепи определяется законом Ома: $I = \frac{ε}{r + R},$ а тепловая мощность, выделяемая в нагрузке, - законом Джоуля - Ленца: $P = I^{2} R .$ Какова наибольшая тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?

ПРИМЕР 2

Коробка наибольшего объёма

Условие:
Из квадратного листа жести со стороной $30$ см делают открытую сверху коробку: по углам вырезают четыре одинаковых квадрата со стороной $x$ см и загибают получившиеся борта. Найдите наибольший возможный объём такой коробки. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Лист с вырезанными углами и собранная коробка

ПРИМЕР 3

Наименьшая себестоимость

Условие:
Мастерская выпускает за месяц $x$ одинаковых изделий. Суммарные затраты на выпуск (в тысячах рублей) описываются формулой $C (x) = 0, 25 x^{2} + 5 x + 100 .$ Найдите наименьшие возможные затраты на одно изделие. Ответ дайте в тысячах рублей.

ПРИМЕР 4

Задача из другого предмета: концентрация препарата

Условие:
После приёма лекарства его концентрация в крови (в мг/л) меняется по формуле $c (t) = \frac{12 t}{t ^{2} + 4},$ где $t ⩾ 0$ - время в часах, прошедшее с момента приёма. Через какое время после приёма концентрация препарата будет наибольшей? Ответ дайте в часах.

Типичные ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Критическую точку нашли - а максимум ли это?

Ошибка: решить $f^{'} (x) = 0,$ получить $x_{0}$ и сразу писать ответ. Равенство $f^{'} (x_{0}) = 0$ выполняется и в точке минимума, и там, где экстремума нет вовсе - например, у функции $y = x^{3}$ в нуле.
Правильно: выписать знак производной слева и справа от $x_{0}$ и сказать словами: «функция возрастает на ..., убывает на ..., значит в точке $x_{0}$ максимум». По критериям это не украшение, а часть обоснования.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли про область допустимых значений

Ошибка: исследовать функцию на всей числовой прямой. Сопротивление, длина стороны, объём и число рабочих неотрицательны. В примере 2 производная обращается в ноль ещё и при $x = 15,$ но такой коробки не существует: дна нет. Точно так же в примере 3 формально подходит $x = - 20 .$
Правильно: выписывать промежуток сразу после составления функции и дальше работать только внутри него.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ «

x = 5

» без возврата к смыслу задачи

Ошибка: записать найденное значение переменной, хотя спрашивали величину. В примере 1 значение $R = 1$ - это оптимальное сопротивление, а вопрос был про мощность; ответ « $1$ » неверен.
Правильно: перечитать последнее предложение условия. Если спрашивают величину - подставить $x_{0}$ в функцию. Единицы измерения (Вт, см $^{3},$ руб., ч) дописать обязательно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутали максимум функции и точку максимума

Ошибка: называть «максимумом» то $x_{0},$ то $f (x_{0})$ и в итоге записать не то число. Это два разных объекта, и в разных задачах спрашивают разные: в примере 4 нужна точка ( $2$ часа), в примере 1 - значение ( $625$ Вт).
Правильно: держать в голове формулировку: точка максимума - это значение аргумента $x_{0};$ максимум (наибольшее значение) - это $f (x_{0}) .$

Приёмы

✓СОВЕТ

Когда вершина параболы быстрее производной

Если после подстановки данных получилась квадратичная функция, производную можно не считать. Пусть на три стороны прямоугольного участка у стены есть $60$ м сетки, а $x$ - сторона, перпендикулярная стене:

S (x) = x (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 60 x, 0 < x < 30

Ветви направлены вниз ( $a = - 2 < 0$ ), вершина: $x_{0} = - \frac{60}{2 \cdot ( - 2 )} = 15,$ откуда $S (15) = 15 \cdot 30 = 450$ м $^{2} .$ Ссылка на направление ветвей - полноценное обоснование: знаки производной проверять уже не нужно.

✓СОВЕТ

Замена, если переменная входит только в чётных степенях

Второй прототип демоверсии - амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке:

A = \frac{k α _{0} τ ^{2}}{( τ ^{2} - T ^{2} ) ^{2} + n T ^{2} τ ^{2}}

Период волны $τ$ встречается здесь только в чётных степенях, поэтому замена $u = τ^{2}$ убирает четвёртые степени. А корень снимается ещё раньше: $A > 0,$ значит $A$ и $A^{2}$ достигают наибольшего значения в одной и той же точке - исследовать удобнее $A^{2} .$ При $T = 14, 7$ с и $n = 0, 0792$ ответ получается ровным: $τ = \frac{T}{1 - n /2} = \frac{14 , 7}{0 , 98} = 15$ с.

✓СОВЕТ

Проверка ответа прикидкой

Найденный максимум проверяется за полминуты: подставь в функцию два числа - слева и справа от $x_{0}$ - и убедись, что оба значения меньше найденного. Для генератора: $P (0, 5) = \frac{1250}{2 , 25} \approx 556$ и $P (2) = \frac{5000}{9} \approx 556,$ оба меньше $625 .$ Если хотя бы одно значение оказалось больше, ошибка в производной или в арифметике.

Как оформить на 2 балла

Критерии ФИПИ для задания 17 короткие: $2$ балла - обоснованно получен верный ответ; $1$ балл - ответ неверен из-за вычислительной ошибки, но последовательность всех шагов решения верна; $0$ - во всех остальных случаях. Отдельного балла «за найденную производную» не предусмотрено, поэтому решение без обоснования характера экстремума - это ноль, а не единица. Чертёж рисовать не обязательно: обоснованием служит текст про знаки производной. А вот черновик эксперт не читает - все шесть пунктов ниже должны быть в чистовике.

1. Что обозначено за переменную - одна строка: «пусть $R$ - сопротивление нагрузки в омах».
2. Функция в явном виде - с уже подставленными числами из условия.
3. Область допустимых значений - записанная неравенством или промежутком.
4. Производная - выписана и упрощена: общий множитель вынесен, знаменатель свёрнут.
5. Обоснование экстремума - знаки производной по обе стороны от критической точки и вывод словами.
6. Ответ - та величина, о которой спрашивали, с единицами измерения.

Проверь себя0 из 5

1.Чем задание 17 отличается от задания 13?

2.Производная функции

P

обратилась в ноль в точке

R = 1 .

Что делать дальше?

3.В задаче про генератор получили

R = 1 .

Что записать в ответ, если спрашивают наибольшую мощность?

4.Из квадратного листа со стороной

30

см вырезают по углам квадраты со стороной

x .

Какова область допустимых значений?

5.Прибыль задана формулой

Π (x) = - 2 x^{2} + 40 x - 50 .

Каким приёмом быстрее найти точку максимума?