Задание 17: Планиметрия | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 17 профильного ЕГЭ по математике - это классическая планиметрия. Задание состоит из двух пунктов: в пункте «а» нужно доказать геометрический факт, в пункте «б» - вычислить длину отрезка, угол или площадь фигуры.

Это одна из самых сложных и комплексных задач на экзамене, требующая не только знания формул, но и умения видеть скрытые геометрические конструкции.

Формат ответа: Полное развёрнутое решение с обоснованием каждого шага.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 3 первичных балла.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ окружности - абсолютный лидер этого задания. Большинство задач так или иначе связаны с ними:

Окружности и треугольники (вписанные, описанные, вневписанные) - самая частая тема.
Окружности и четырёхугольники - свойства вписанных и описанных многоугольников.
Касательные, секущие и пересекающиеся хорды.
Треугольники общего вида (подобие, площади, теоремы синусов и косинусов) без явных окружностей встречаются гораздо реже.

Ключевые теоремы

Чтобы успешно справляться с заданием 17, базовой школьной программы бывает недостаточно. Нужно держать в голове несколько мощных теорем.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ A B C = \frac{1}{2} ∠ A O C = \frac{1}{2} A C ⌢

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $9 0^{\circ} .$

$Вписанный и центральный угол$

Свойство вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ} ⟺ ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

$Вписанный четырехугольник$

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой (то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу):

∠ (l, A B) = \frac{1}{2} A B ⌢ = ∠ A C B

$Угол между касательной и хордой$

Теорема о касательной и секущей

Если из точки $M$ вне окружности проведены касательная $M T$ (где $T$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B,$ то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей:

M T^{2} = M A \cdot M B

$Касательная и секущая$

Теорема о пересекающихся хордах

Если две хорды $A B$ и $C D$ пересекаются внутри окружности в точке $M,$ то произведения отрезков одной хорды равны произведению отрезков другой:

A M \cdot M B = C M \cdot M D

$Пересекающиеся хорды$

Основные формулы треугольника

В задании 17 постоянно приходится работать с треугольниками. Эти формулы нужно знать наизусть.

Теорема синусов (расширенная)

В треугольнике со сторонами $a, b, c,$ противолежащими им углами $A, B, C$ и радиусом описанной окружности $R :$

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

$Теорема синусов$

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Следствие (для нахождения угла по трём сторонам):

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Площадь треугольника

Основные формулы для вычисления площади:

S = \frac{1}{2} a h_{a} S = \frac{1}{2} ab sin C

Через радиусы описанной ( $R$ ) и вписанной ( $r$ ) окружностей:

S = \frac{ab c}{4 R} S = p r

где $p = \frac{a + b + c}{2}$ - полупериметр треугольника.

Формула Герона (площадь по трём сторонам):

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

Общий алгоритм решения

Как решать планиметрию из части 2

1. Сделай крупный и чёткий чертёж. Не мельчи. Если чертёж получился неудачным (слишком узкие углы, сливающиеся линии) - обязательно перерисуй.
2. Ищи окружности. Даже если в условии нет ни слова про окружность, ищи прямые углы, опирающиеся на один отрезок, или четырёхугольники с суммой противоположных углов $18 0^{\circ} .$ Вокруг них можно описать окружность.
3. Для пункта «а» (доказательство): Раскручивай задачу с конца. Задай себе вопрос: «Что должно быть правдой, чтобы это утверждение выполнялось?». Ищи равные углы, применяй признаки подобия.
4. Для пункта «б» (вычисление): Обязательно используй факт, доказанный в пункте «а». Применяй теоремы синусов и косинусов, метод площадей, свойства биссектрис и медиан.
5. Проверь на адекватность. Длины и площади должны быть положительными, косинус угла не может по модулю превышать $1 .$

Примеры решения

Разберём три типовые задачи, иллюстрирующие разные подходы.

Пример 1. Скрытая окружность и высоты треугольника

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A D$ и $C E,$ которые пересекаются в точке $H .$
а) Докажите, что точки $A, E, D, C$ лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка $E D,$ если $A C = 12,$ а угол $A B C$ равен $6 0^{\circ} .$

Показать решение

$Высоты треугольника$

Пункт а) Доказательство
Рассмотрим треугольники $A D C$ и $A E C .$ Оба они являются прямоугольными, так как $A D$ и $C E$ - высоты ( $∠ A D C = ∠ A E C = 9 0^{\circ}$ ).
Оба прямоугольных треугольника имеют общую гипотенузу $A C .$
Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Значит, середина отрезка $A C$ равноудалена от точек $A, C, D$ и $E .$
Следовательно, точки $A, E, D, C$ лежат на одной окружности с диаметром $A C .$
Утверждение доказано.

Пункт б) Вычисление
$Подобные треугольники$

Рассмотрим $△ E B D$ и $△ A B C .$
Из доказанного в пункте «а» следует, что четырёхугольник $A E D C$ вписан в окружность.
По свойству вписанного четырёхугольника $∠ A E D + ∠ C = 18 0^{\circ} .$
При этом углы $A E D$ и $D E B$ - смежные, их сумма также равна $18 0^{\circ} .$
Следовательно, $∠ D E B = 18 0^{\circ} - ∠ A E D = ∠ C .$
Угол $B$ у треугольников $E B D$ и $A B C$ - общий.
Значит, $△ E B D \sim △ A B C$ по двум углам.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению прилежащих к общему углу сторон. В прямоугольном $△ C E B :$

cos B = \frac{B E}{B C}

Значит, коэффициент подобия $k = cos B = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} .$

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

\frac{E D}{A C} = k = \frac{1}{2}

Подставим известное значение $A C = 12 :$

E D = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6

Ответ: б) $6 .$

Пример 2. Свойства вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $K .$
а) Докажите, что треугольники $K B C$ и $K D A$ подобны.
б) Найдите площадь треугольника $K B C,$ если известно, что $A D = 4 \cdot B C,$ а площадь четырёхугольника $A B C D$ равна $45 .$

Показать решение

$Пересечение продолжений сторон$

Пункт а) Доказательство
Так как четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ} .$
Значит, $∠ A D C + ∠ A B C = 18 0^{\circ} .$
Углы $A B C$ и $K B C$ являются смежными, поэтому $∠ K B C = 18 0^{\circ} - ∠ A B C .$
Отсюда получаем, что $∠ K B C = ∠ A D C$ (то есть $∠ K D A$ ).

Рассмотрим треугольники $K B C$ и $K D A :$
1. $∠ K$ - общий.
2. $∠ K B C = ∠ K D A$ (доказано выше).
Следовательно, $△ K B C \sim △ K D A$ по двум углам. Утверждение доказано.

Пункт б) Вычисление
Из подобия треугольников $K B C$ и $K D A$ следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k .$
Сторона $B C$ лежит напротив общего угла $K$ в малом треугольнике, а сторона $A D$ - напротив того же угла в большом.

k = \frac{B C}{A D}

По условию $A D = 4 \cdot B C,$ значит:

k = \frac{B C}{4 \cdot B C} = \frac{1}{4}

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\frac{S _{K B C}}{S _{K D A}} = k^{2} = (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}

Площадь большого треугольника $K D A$ складывается из площади малого треугольника $K B C$ и площади четырёхугольника $A B C D :$

S_{K D A} = S_{K B C} + S_{A B C D}

Пусть $S_{K B C} = S .$ Тогда $S_{K D A} = S + 45 .$
Подставим в отношение площадей:

\frac{S}{S + 45} = \frac{1}{16}

16 S = S + 45

15 S = 45 ⟹ S = 3

Площадь треугольника $K B C$ равна $3 .$

Ответ: б) $3 .$

Пример 3. Касательная и секущая

Из точки $M,$ расположенной вне окружности, проведены касательная $M T$ ( $T$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $M$ и $B$ ).
а) Докажите, что $△ M T A \sim △ M B T .$
б) Найдите длину хорды $A B,$ если $M T = 6$ и $M A = 3 .$

Показать решение

$Касательная и секущая из внешней точки$

Пункт а) Доказательство
Рассмотрим треугольники $M T A$ и $M B T :$
1. $∠ M$ - общий для обоих треугольников.
2. $∠ M T A$ - это угол между касательной $M T$ и хордой $T A .$ По теореме об угле между касательной и хордой он равен вписанному углу $∠ T B A,$ опирающемуся на дугу $T A .$ Но $∠ T B A = ∠ M B T$ (это один и тот же угол).

Значит, $∠ M T A = ∠ M B T .$

Следовательно, $△ M T A \sim △ M B T$ по двум углам. Утверждение доказано.

Пункт б) Вычисление
Из подобия треугольников, доказанного в пункте «а», следует равенство отношений соответствующих сторон:

\frac{M T}{M B} = \frac{M A}{M T}

Из этой пропорции получается теорема о касательной и секущей:

M T^{2} = M A \cdot M B

Подставим известные значения:

6^{2} = 3 \cdot M B

M B = \frac{36}{3} = 12

Поскольку точка $A$ лежит между $M$ и $B,$ длина хорды $A B$ равна:

A B = M B - M A = 12 - 3 = 9

Ответ: б) $9 .$

Частые ошибки

Ссылки на чертёж вместо строгих доказательств

Ошибка: Писать в решении фразы вроде «по рисунку видно, что прямые параллельны» или «треугольник выглядит равносторонним, значит все углы по $6 0^{\circ}$ ».
Правильно: Каждый геометрический факт должен опираться на теорему, признак или свойство. Если прямые параллельны - укажи равные накрест лежащие углы.

Использование данных пункта «б» в пункте «а»

Ошибка: При доказательстве в пункте «а» подставлять числовые значения, которые даны только для вычислений в пункте «б».
Правильно: Пункт «а» - это универсальное утверждение для данного класса фигур. Оно доказывается в общем виде. Исключение: если числа даны в самом начале условия, до разделения на пункты - их использовать можно везде.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 17

Ориентировочное время: 25–35 минут.
Приоритет: Решай после уравнений (13), неравенств (15) и финансовой задачи (16). Это задача высокого уровня, требующая свежей головы.
Баллы за пункты: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо! Если не можешь доказать пункт «а», но знаешь, как с помощью этого факта решить пункт «б» - решай. Ты получишь $1$ балл.
Когда стоит пропустить: Если после 10 минут работы и двух разных чертежей ты не видишь ни одной зацепки (нет равных углов, не ясно, как применить данные) - оставь задачу и переходи к параметрам (18) или задаче на числа (19). Вернёшься, если останется время.

За что дают баллы

Максимальный балл за задание 17 - 3 балла. Критерии оценивания очень лояльны к частичному продвижению:

3 балла: Идеальное решение. Пункт «а» доказан без пробелов, в пункте «б» получен правильный ответ с полным обоснованием шагов.
2 балла: Есть вычислительная ошибка. Либо доказан пункт «а», а в пункте «б» допущена банальная ошибка в арифметике (но ход решения абсолютно верный). Либо пункт «а» не доказан вообще, но пункт «б» решён безупречно (с доказательством всех дополнительных фактов).
1 балл: Выполнена только одна часть работы. Либо верно доказан только пункт «а». Либо решён только пункт «б», но в решении использовано утверждение из пункта «а», которое ты не смог доказать.
0 баллов: Решение не содержит ни верного доказательства, ни правильного хода вычислений.