Вычисление значений тригонометрических… — ЕГЭ профиль

Суть темы

В задании 8 первой части ЕГЭ проверяется умение работать с числовыми и буквенными выражениями. Тригонометрия - абсолютный лидер этого номера, она встречается примерно в трети всех вариантов.

Суть задач проста: тебе дают выражение с нестандартными, «некрасивыми» углами (например, $6 8^{\circ},$ $15 4^{\circ}$ или $\frac{7 π}{8}$ ), значения которых нет в таблице. Твоя задача - свернуть выражение тригонометрическими формулами так, чтобы получился табличный угол, а в итоге - целое число или конечная десятичная дробь.

Основные формулы

Для успешного решения достаточно уверенно владеть четырьмя группами формул.

ВАЖНОЕ

Основное тригонометрическое тождество

Связывает синус и косинус одного угла:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Из него выражается квадрат одной функции через другую:

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α, cos^{2} α = 1 - sin^{2} α

ВАЖНОЕ

Определение тангенса и котангенса

t g α = \frac{sin α}{cos α}, ct g α = \frac{cos α}{sin α}

Связь тангенса с косинусом:

1 + t g^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

Формулы двойного угла - главный инструмент в этом задании. Если видишь в задаче угол и угол в два раза больше (например, $3 4^{\circ}$ и $6 8^{\circ}$ ), сразу применяй их.

ВАЖНОЕ

Формулы двойного угла

Для синуса формула одна:

sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α

Для косинуса есть три варианта записи (нужно знать все три):

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1

cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α

Для работы с большими углами или радианами понадобятся формулы приведения. Их не нужно учить наизусть, достаточно понимать, как они работают на окружности.

ВАЖНОЕ

Формулы приведения (базовые случаи)

sin (π - α) = sin α, cos (π - α) = - cos α

sin (π + α) = - sin α, cos (π + α) = - cos α

sin (2 π - α) = - sin α, cos (2 π - α) = cos α

sin (\frac{π}{2} - α) = cos α, cos (\frac{π}{2} - α) = sin α

Период: $sin (α + 2 π k) = sin α,$ $cos (α + 2 π k) = cos α$ при целом $k .$
Чётность: $cos (- α) = cos α$ (чётная), $sin (- α) = - sin α$ (нечётная).

Формулы приведения легко восстановить по окружности: точка для угла $π - α$ симметрична точке для $α$ относительно оси $O y .$ Проекция на $O y$ (синус) сохраняется, проекция на $O x$ (косинус) меняет знак.

Чтобы не путаться со знаками, держи перед глазами разметку окружности по четвертям.

Тригонометрическая окружность со знаками

Потяни угол θ и посмотри, как знаки sin и cos меняются по четвертям

✓СОВЕТ

Мнемоника для знаков

Фраза «все - синус - тангенс - косинус»: в I четверти положительны все функции, во II - только синус, в III - только тангенс (и котангенс), в IV - только косинус.

ВАЖНОЕ

Табличные значения

$α$	$0$	$\frac{π}{6} (3 0^{\circ})$	$\frac{π}{4} (4 5^{\circ})$	$\frac{π}{3} (6 0^{\circ})$	$\frac{π}{2} (9 0^{\circ})$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$t g α$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	-

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм вычисления тригонометрического выражения

1. Изучи аргументы (углы). Посмотри, какие углы даны. Если они отличаются ровно в два раза - задача решается через формулы двойного угла.
2. Сведи угол к табличному. Большой угол или угол в радианах преобразуй формулами приведения или сдвигами на $2 π k .$
3. Определи знак по четверти. Для каждого преобразования приведения проверь знак исходной функции в четверти, где лежит аргумент.
4. Примени нужную формулу. Сверни выражение (например, из $2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}$ сделай $sin 3 0^{\circ}$ ) или вынеси общий множитель, чтобы получить формулу двойного угла.
5. Вычисли табличное значение. Подставь число из таблицы.
6. Проверь формат ответа. Должно получиться целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры

Четыре типичных примера от простого к сложному.

ПРИМЕР 1

Сокращение дроби с двойным углом

Найди значение выражения

\frac{14 sin 5 8 ^{\circ} \cdot cos 5 8 ^{\circ}}{sin 11 6 ^{\circ}}

Решение:

1. Между углами есть связь: $11 6^{\circ}$ ровно в два раза больше $5 8^{\circ} .$
2. В числителе стоит произведение синуса на косинус одного угла. Это отсылка к формуле $sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α .$
3. Вытащи двойку из числа $14 :$

14 sin 5 8^{\circ} \cdot cos 5 8^{\circ} = 7 \cdot (2 sin 5 8^{\circ} \cdot cos 5 8^{\circ})

4. Сверни скобку:

2 sin 5 8^{\circ} \cdot cos 5 8^{\circ} = sin (2 \cdot 5 8^{\circ}) = sin 11 6^{\circ}

5. Перепиши исходную дробь:

\frac{7 \cdot sin 11 6 ^{\circ}}{sin 11 6 ^{\circ}} = 7

Ответ: 7

ПРИМЕР 2

Вычисление по заданному значению

Найди значение выражения $4 cos 2 α,$ если известно, что $sin α = - 0, 3 .$

ПРИМЕР 3

Работа с радианами и вынесение за скобки

Найди значение выражения

50 - 250 sin^{2} \frac{15 π}{8}

ПРИМЕР 4

Определение знака по четверти и тангенс

Найди значение выражения $10 cos α,$ если $sin α = - \frac{3}{5}$ и $\frac{3 π}{2} < α < 2 π .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак функции определяет четверть, а не формула приведения

Ошибка: Записать $cos (π - α) = cos α,$ рассуждая «функция не меняется, угол тоже не меняется».
Правильно: Знак в формулах приведения берётся по четверти, в которой лежит исходный аргумент $π - α$ (при $0 < α < \frac{π}{2}$ это II четверть). Косинус во II четверти отрицателен, поэтому $cos (π - α) = - cos α .$ То же правило для всех остальных формул: сначала четверть аргумента - потом знак исходной функции в этой четверти.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака при извлечении корня

Ошибка: Из $cos^{2} α = \frac{16}{25}$ сразу написать $cos α = \frac{4}{5},$ забыв о возможном минусе.
Правильно: Корень даёт оба знака: $cos α = \pm \frac{4}{5} .$ Правильный знак выбирается по четверти, указанной в условии (см. пример 4). Если четверть не указана - скорее всего, в условии есть подсказка через $sin α$ или через $t g α,$ которая сама задаёт знак.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак минус при возведении в квадрат

Ошибка: Подставить отрицательное значение в формулу с квадратом и сохранить минус: $1 - 2 \cdot (- 0, 4)^{2} = 1 - 2 \cdot (- 0, 16) = 1 + 0, 32 .$
Правильно: Квадрат любого числа неотрицателен. Сначала возведи в квадрат, минус исчезнет: $1 - 2 \cdot (- 0, 4)^{2} = 1 - 2 \cdot 0, 16 = 1 - 0, 32 = 0, 68 .$ Знак перед двойкой не меняется.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Корень или

π

в ответе первой части

Ошибка: Получить ответ $6,$ $\frac{3}{2}$ или $\frac{π}{4}$ и записать его в бланк.
Правильно: Ответ задания 8 - всегда целое число или конечная десятичная дробь. Если в ответе остался корень, $π$ или бесконечная дробь - в решении есть ошибка. Проверь два места: правильно ли определён знак по четверти и правильно ли вычислены табличные значения.

Что запомнить

Связь углов. Если углы в числителе и знаменателе отличаются в $2$ раза - это стопроцентный сигнал применять синус или косинус двойного угла.
Маскировка формулы. Выражение вида $число - 2 \cdot число \cdot sin^{2} α$ решается вынесением «числа» за скобки, внутри образуется $cos 2 α .$
Радианы в градусы. Если радианы пугают, переведи их в градусы, подставив вместо $π$ число $18 0^{\circ} .$ Например, $\frac{7 π}{8} = \frac{7 \cdot 18 0 ^{\circ}}{8} = 157, 5^{\circ} .$
Знак - через четверть. Всегда рисуй или представляй окружность и проверяй, в какой четверти лежит аргумент.
Табличка всегда под рукой. Если на ЕГЭ забыл значение $cos \frac{π}{6},$ восстанови из окружности: проекция на ось $O x$ для угла $3 0^{\circ}$ равна $\frac{3}{2} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 8

Время выполнения: 3-5 минут. Задание решается быстро, если сразу увидеть нужную формулу.
Очерёдность: Решай в первом проходе вместе с остальными задачами базового уровня.
Проверка ответа: Ответ задания 8 - всегда целое число или конечная десятичная дробь. Если получилась бесконечная дробь ( $\frac{1}{3}$ ) или иррациональность ( $2$ ), перечитай условие и проверь знаки.
Запасной план: Если забыл формулу косинуса двойного угла через синус, выпиши базовую $cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α$ и основное тождество $sin^{2} α + cos^{2} α = 1 .$ Из них за 10 секунд выводится всё остальное.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно выражение

2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} ?

2.Известно, что

sin α = - 0, 2 .

Чему равен

cos 2 α ?

3.Угол

α

лежит в промежутке

\frac{3 π}{2} < α < 2 π .

Какой знак имеет

cos α ?

4.Каким НЕ может быть ответ задания 8 первой части ЕГЭ?