О задании

Задание 8 открывает блок математического анализа в первой части ЕГЭ. Оно проверяет твоё умение «читать» графики. Никаких сложных вычислений здесь нет - нужно лишь понимать, как связаны функция и её производная, а также знать геометрический смысл производной.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ задачи этого номера делятся на три группы:

1. Геометрический смысл производной - дан график функции и касательная, нужно найти значение производной в точке.
2. Исследование функций по графику - дан график производной (реже - самой функции), нужно найти точки экстремума, промежутки возрастания или убывания.
3. Первообразная и площадь фигуры - дан график первообразной $F (x),$ нужно определить свойства функции $f (x)$ или найти площадь фигуры по формуле Ньютона - Лейбница.
4. Физический смысл производной - дана формула зависимости величины от времени, нужно найти скорость изменения (производную) в конкретный момент.

Ключевые факты и формулы

Главное правило задания 8: производная показывает скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной

Значение производной функции $y = f (x)$ в точке $x_{0}$ равно угловому коэффициенту касательной $k$ и тангенсу угла наклона $α$ этой касательной к положительному направлению оси $X :$

f^{'} (x_{0}) = k = t g α = \frac{Δ y}{Δ x}

Вторая группа задач требует твёрдого знания связи между функцией и её производной. Запомни эту шпаргалку:

Связь функции и производной

Если $f^{'} (x) > 0$ (график производной выше оси $X$ ), то функция $f (x)$ возрастает.
Если $f^{'} (x) < 0$ (график производной ниже оси $X$ ), то функция $f (x)$ убывает.
Если $f^{'} (x) = 0$ и меняет знак (график производной пересекает ось $X$ ), то у функции $f (x)$ точка экстремума (максимум или минимум).

Физический смысл производной

Если величина $s$ зависит от времени $t$ (например, путь, координата, температура), то её производная показывает мгновенную скорость изменения:

v (t) = s^{'} (t)

В частности, скорость - это производная координаты, а ускорение - производная скорости:

a (t) = v^{'} (t)

Первообразная и площадь

Функция $F (x)$ называется первообразной функции $f (x),$ если $F^{'} (x) = f (x) .$

Связь графика первообразной и свойств функции - это зеркало связи функции и производной:

Если $F (x)$ возрастает на промежутке, то $f (x) > 0$ на этом промежутке.
Если $F (x)$ убывает на промежутке, то $f (x) < 0$ на этом промежутке.
Если $F (x)$ имеет точку экстремума в $x_{0},$ то $f (x_{0}) = 0 .$

Площадь криволинейной трапеции (фигуры между графиком $f (x)$ и осью $X$ ) вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

S = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Общий алгоритм решения

Как решать задание 8

1. Посмотри на подпись к графику. Это самый важный шаг. Что перед тобой: $y = f (x),$ $y = f^{'} (x)$ или $y = F (x) ?$ От этого зависит весь ход решения.
2. Прочитай вопрос. Узнай, что именно нужно найти (значение производной, количество точек, длину промежутка, площадь фигуры).
3. Для геометрического смысла: найди на касательной две точки с целыми координатами (обычно они уже выделены жирными точками), дострой до прямоугольного треугольника и подели вертикальный катет на горизонтальный.
4. Для анализа свойств: если дан график $f^{'} (x),$ переведи вопрос на язык производной. Например, «где функция возрастает?» означает «где график $f^{'} (x)$ лежит выше оси $X ?$ ».
5. Для первообразной: если дан график $F (x),$ помни, что $F^{'} (x) = f (x) .$ Нули $f (x)$ - это точки экстремума $F (x),$ знак $f (x)$ определяется направлением $F (x) .$
6. Для физического смысла: возьми производную данной формулы и подставь нужный момент времени.
7. Проверь знак. Если касательная идёт вниз (функция убывает), производная обязательно отрицательная.

Примеры решения

Пример 1. Геометрический смысл

Условие:
На рисунке изображены график функции $y = f (x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0} .$ Найдите значение производной функции $f (x)$ в точке $x_{0} .$

Показать решение

1. По геометрическому смыслу производной $f^{'} (x_{0}) = t g α .$ Нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.
2. Найди на касательной две точки с целыми координатами. По графику видно, что прямая проходит через точки $(- 2; 3)$ и $(2; 2) .$
3. Дострой по этим точкам прямоугольный треугольник (мысленно или на черновике).
4. Посчитай длины катетов по клеточкам:

Вертикальный катет $Δ y = 1$
Горизонтальный катет $Δ x = 4$
5. Вычисли тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $t g α = \frac{1}{4} = 0, 25 .$
6. Определи знак. Касательная идёт «под горку» (слева направо опускается вниз), значит, угол наклона тупой, а функция убывает. Следовательно, производная отрицательная. Добавляем минус.

Ответ: $- 0, 25$

Пример 2. Чтение графика производной

Условие:
На рисунке изображён график $y = f^{'} (x)$ - производной функции $f (x) .$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}, x_{8} .$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f (x) ?$

Показать решение

1. Главное: перед нами график производной $y = f^{'} (x) .$
2. Вспомни правило: функция $f (x)$ возрастает там, где её производная положительна ( $f^{'} (x) > 0$ ).
3. На графике производной условие $f^{'} (x) > 0$ выполняется там, где линия графика проходит выше оси абсцисс (оси $X$ ).
4. Посчитай точки, которые лежат в этой зоне. По графику видно, что точки $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и $x_{6}$ находятся выше оси $X .$
5. Точки $x_{4}, x_{5}, x_{7}$ и $x_{8}$ находятся ниже оси $X$ - там производная отрицательна, а значит, сама функция убывает. Они нам не подходят.
6. Итого мы нашли $4$ подходящие точки.

Ответ: $4$

Пример 3. Чтение графика первообразной

Условие:
На рисунке изображён график $y = F (x)$ - одной из первообразных функции $f (x),$ определённой на интервале $(- 5; 7) .$ Найдите количество решений уравнения $f (x) = 0$ на отрезке $[- 3; 5] .$

Показать решение

1. Перед нами график первообразной $F (x),$ а не самой функции.
2. По определению первообразной $F^{'} (x) = f (x) .$ Значит, $f (x) = 0$ в тех точках, где касательная к графику $F (x)$ горизонтальна, то есть в точках экстремума графика $F (x) .$
3. На отрезке $[- 3; 5]$ график $F (x)$ имеет три точки экстремума: локальный максимум при $x = - 1,$ локальный минимум при $x = 2$ и локальный максимум при $x = 4 .$
4. Итого уравнение $f (x) = 0$ имеет $3$ решения.

Ответ: $3$

Пример 4. Физический смысл производной

Условие:
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 5 t + 3,$ где $x$ - расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени $t = 4$ с.

Показать решение

1. Скорость - это производная координаты по времени: $v (t) = x^{'} (t) .$
2. Найдём производную:

x^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 5

3. Подставим $t = 4 :$

v (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 5 = 48 - 48 + 5 = 5

Ответ: $5$

Частые ошибки

Путаница между

f (x)

f^{'} (x)

Ошибка: Искать точки максимума на графике производной по «горбам» графика.
Правильно: Всегда читай подпись к рисунку. Если дан график производной $f^{'} (x),$ то точки экстремума функции находятся на пересечении с осью $X$ . «Горбы» на графике $f^{'} (x)$ - это просто точки, где скорость роста/убывания максимальна, а не экстремумы самой функции.

Путаница между

F (x)

f (x)

Ошибка: Увидеть график $F (x)$ (первообразной) и искать нули функции там, где график пересекает ось $X .$
Правильно: Нули $f (x)$ - это точки, где $F^{'} (x) = 0,$ то есть точки экстремума графика $F (x)$ (где касательная горизонтальна). Пересечения с осью $X$ показывают, где $F (x) = 0,$ а не $f (x) = 0 .$

Потеря знака «минус»

Ошибка: Построить треугольник, поделить клеточки и записать положительный ответ, когда касательная убывает.
Правильно: Длины сторон треугольника всегда положительны. Треугольник даёт тебе только числовой модуль тангенса. Знак нужно ставить самостоятельно. Касательная идёт вверх $⟹$ плюс. Касательная идёт вниз $⟹$ минус.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 8

Ориентировочное время: 3–5 минут.
Приоритет: Решай сразу. Это одно из самых быстрых заданий первой части, оно не требует долгих расчётов в столбик.
Проверка знака: Перед записью ответа в бланк задай себе один вопрос: «Прямая/график идёт вверх или вниз?». Это спасёт 90% потерянных баллов в этом номере.
Внимание на сетку: Если в задаче дан прямоугольный треугольник, обязательно проверяй, проходят ли узлы (вершины прямых углов) ровно по пересечениям клеточек. Не бери точки «на глаз».