Задание 8: Вычисления и преобразования — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 8 проверяет базовые навыки работы с числовыми и буквенными выражениями. Здесь не нужно решать уравнения или строить графики - от тебя требуется только аккуратно применить нужную формулу и довести числовое выражение до красивого ответа.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

Все прототипы задания 8 можно разделить на три большие группы:

1. Тригонометрические выражения - формулы двойного угла, основное тригонометрическое тождество, формулы приведения.
2. Логарифмические выражения - свойства суммы и разности логарифмов, вынесение степени, переход к новому основанию.
3. Степенные и иррациональные выражения - умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень, вынесение множителя из-под корня.

Ключевые формулы

Для успешного решения нужно твёрдо знать свойства трёх основных математических функций.

ВАЖНОЕ

Свойства степеней и корней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении - вычитаются:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

(a^{m})^{n} = a^{mn}

Корень можно переписать в виде степени с дробным показателем:

n a^{m} = a^{m / n}

ВАЖНОЕ

Свойства логарифмов

Сумма логарифмов - это логарифм произведения. Разность - логарифм частного:

lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b \cdot c)

lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} (\frac{b}{c})

Степень аргумента выносится в числитель, степень основания - в знаменатель:

lo g_{a^{q}} (b^{p}) = \frac{p}{q} lo g_{a} b

ВАЖНОЕ

Основные тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

Единичная окружность и знаки тригонометрических функций

Потяни угол θ и посмотри, как меняются sin и cos

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 8

1. Определи тип выражения. Посмотри на пример и реши, с чем предстоит работать: со степенями, корнями, логарифмами или тригонометрией.
2. Найди общую базу. Если это степени - приведи всё к одинаковым основаниям. Если логарифмы - сделай так, чтобы у них было одно основание. Если тригонометрия - ищи кратные углы (например, $10 4^{\circ}$ и $5 2^{\circ}$ ).
3. Примени свойства. Сверни выражение по формуле.
4. Вычисли числовое значение. Убедись, что все буквы, корни, знаки логарифмов и синусов полностью сократились или вычислились.
5. Проверь формат. Ответ должен получиться целым числом или конечной десятичной дробью (например, $2, 5$ или $- 14$ ).

Примеры решения

Разберём три типичные задачи из разных подтем.

ПРИМЕР 1

Степенные выражения

Найдите значение выражения $\frac{6 ^{12}}{2 ^{9} \cdot 3 ^{11}} .$

ПРИМЕР 2

Логарифмические выражения

Найдите значение выражения $lo g_{0, 5} (12) - lo g_{0, 5} (3) .$

ПРИМЕР 3

Тригонометрические выражения

Найдите значение выражения $\frac{8 sin 10 4 ^{\circ}}{sin 5 2 ^{\circ} \cdot cos 5 2 ^{\circ}} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак результата логарифма

Ошибка: Думать, что логарифм всегда даёт положительное число, и записывать $lo g_{0, 2} 25 = 2 .$
Правильно: Логарифм может быть отрицательным. Основание $0, 2 = \frac{1}{5} .$ Чтобы из $\frac{1}{5}$ получить $25,$ дробь нужно перевернуть (отрицательная степень) и возвести в квадрат. Верный ответ: $- 2 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки в знаках при формулах приведения

Ошибка: Применять формулу приведения, ориентируясь на знак конечной функции, а не исходной. Например, записать $cos (9 0^{\circ} + α) = sin α .$
Правильно: Всегда смотри на четверть исходного угла. Угол $9 0^{\circ} + α$ находится во второй четверти. Исходная функция (косинус) во второй четверти отрицательна. Значит, $cos (9 0^{\circ} + α) = - sin α .$

Единичная окружность с осями x (cos) и y (sin), разбитая на

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 8

Ориентировочное время: 2-5 минут.
Действия при тупике: Если в ответе остался корень (например, $3$ ) или логарифм - вычисления не завершены или допущена ошибка. В бланк первой части можно вписать только числа. Возвращайся на шаг назад и ищи ошибку в свойствах.
Самопроверка: Проверяй себя обратным действием. Если получилось $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2,$ возведи $3$ в степень $- 2 .$ Получилась $\frac{1}{9} ?$ Значит, всё верно.
Приоритет: Решай это задание сразу после текстовых задач и лёгкой геометрии. Это чистая техника, которая не требует сложного анализа.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} ?

2.Чему равна разность

lo g_{a} 12 - lo g_{a} 3 ?

3.Чему равно

lo g_{0, 5} 4 ?

4.По какой формуле раскрывается

sin 2 α ?