О задании
Задание 8 открывает блок математического анализа в первой части ЕГЭ. Оно проверяет твоё умение «читать» графики. Никаких сложных вычислений здесь нет - нужно лишь понимать, как связаны функция и её производная, а также знать геометрический смысл производной.
- Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
- Уровень сложности: Повышенный.
- Максимальный балл: 1 первичный балл.
Какие темы встречаются
На ЕГЭ задачи этого номера делятся на три группы:
1. Геометрический смысл производной - дан график функции и касательная, нужно найти значение производной в точке.
2. Исследование функций по графику - дан график производной (реже - самой функции), нужно найти точки экстремума, промежутки возрастания или убывания.
3. Первообразная и площадь фигуры - дан график первообразной F(x), нужно определить свойства функции f(x) или найти площадь фигуры по формуле Ньютона - Лейбница.
4. Физический смысл производной - дана формула зависимости величины от времени, нужно найти скорость изменения (производную) в конкретный момент.
Ключевые факты и формулы
Главное правило задания 8: производная показывает скорость изменения функции.
Значение производной функции y=f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной k и тангенсу угла наклона α этой касательной к положительному направлению оси X:
f′(x0)=k=tgα=ΔxΔy
Вторая группа задач требует твёрдого знания связи между функцией и её производной. Запомни эту шпаргалку:
- Если f′(x)>0 (график производной выше оси X), то функция f(x) возрастает.
- Если f′(x)<0 (график производной ниже оси X), то функция f(x) убывает.
- Если f′(x)=0 и меняет знак (график производной пересекает ось X), то у функции f(x) точка экстремума (максимум или минимум).
Если величина s зависит от времени t (например, путь, координата, температура), то её производная показывает мгновенную скорость изменения:
v(t)=s′(t)В частности, скорость - это производная координаты, а ускорение - производная скорости:
a(t)=v′(t)Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F′(x)=f(x).
Связь графика первообразной и свойств функции - это зеркало связи функции и производной:
- Если F(x) возрастает на промежутке, то f(x)>0 на этом промежутке.
- Если F(x) убывает на промежутке, то f(x)<0 на этом промежутке.
- Если F(x) имеет точку экстремума в x0, то f(x0)=0.
Площадь криволинейной трапеции (фигуры между графиком f(x) и осью X) вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:
S=∫abf(x)dx=F(b)−F(a)Общий алгоритм решения
1. Посмотри на подпись к графику. Это самый важный шаг. Что перед тобой: y=f(x), y=f′(x) или y=F(x)? От этого зависит весь ход решения.
2. Прочитай вопрос. Узнай, что именно нужно найти (значение производной, количество точек, длину промежутка, площадь фигуры).
3. Для геометрического смысла: найди на касательной две точки с целыми координатами (обычно они уже выделены жирными точками), дострой до прямоугольного треугольника и подели вертикальный катет на горизонтальный.
4. Для анализа свойств: если дан график f′(x), переведи вопрос на язык производной. Например, «где функция возрастает?» означает «где график f′(x) лежит выше оси X?».
5. Для первообразной: если дан график F(x), помни, что F′(x)=f(x). Нули f(x) - это точки экстремума F(x), знак f(x) определяется направлением F(x).
6. Для физического смысла: возьми производную данной формулы и подставь нужный момент времени.
7. Проверь знак. Если касательная идёт вниз (функция убывает), производная обязательно отрицательная.
Примеры решения
Условие:
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Показать решение
1. По геометрическому смыслу производной f′(x0)=tgα. Нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.
2. Найди на касательной две точки с целыми координатами. По графику видно, что прямая проходит через точки (−2;3) и (2;2).
3. Дострой по этим точкам прямоугольный треугольник (мысленно или на черновике).
4. Посчитай длины катетов по клеточкам:
- Вертикальный катет Δy=1
- Горизонтальный катет Δx=4
5. Вычисли тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): tgα=41=0,25.
6. Определи знак. Касательная идёт «под горку» (слева направо опускается вниз), значит, угол наклона тупой, а функция убывает. Следовательно, производная отрицательная. Добавляем минус.
Ответ: −0,25
Условие:
На рисунке изображён график y=f′(x) - производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено восемь точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
Показать решение
1. Главное: перед нами график производной y=f′(x).
2. Вспомни правило: функция f(x) возрастает там, где её производная положительна (f′(x)>0).
3. На графике производной условие f′(x)>0 выполняется там, где линия графика проходит выше оси абсцисс (оси X).
4. Посчитай точки, которые лежат в этой зоне. По графику видно, что точки x1,x2,x3 и x6 находятся выше оси X.
5. Точки x4,x5,x7 и x8 находятся ниже оси X - там производная отрицательна, а значит, сама функция убывает. Они нам не подходят.
6. Итого мы нашли 4 подходящие точки.
Ответ: 4
Условие:
На рисунке изображён график y=F(x) - одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−5;7). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−3;5].
Показать решение
1. Перед нами график первообразной F(x), а не самой функции.
2. По определению первообразной F′(x)=f(x). Значит, f(x)=0 в тех точках, где касательная к графику F(x) горизонтальна, то есть в точках экстремума графика F(x).
3. На отрезке [−3;5] график F(x) имеет три точки экстремума: локальный максимум при x=−1, локальный минимум при x=2 и локальный максимум при x=4.
4. Итого уравнение f(x)=0 имеет 3 решения.
Ответ: 3
Условие:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t3−6t2+5t+3, где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени t=4 с.
Показать решение
1. Скорость - это производная координаты по времени: v(t)=x′(t).
2. Найдём производную:
3. Подставим t=4:
v(4)=3⋅16−12⋅4+5=48−48+5=5Ответ: 5
Частые ошибки
Ошибка: Искать точки максимума на графике производной по «горбам» графика.
Правильно: Всегда читай подпись к рисунку. Если дан график производной f′(x), то точки экстремума функции находятся на пересечении с осью X. «Горбы» на графике f′(x) - это просто точки, где скорость роста/убывания максимальна, а не экстремумы самой функции.
Ошибка: Увидеть график F(x) (первообразной) и искать нули функции там, где график пересекает ось X.
Правильно: Нули f(x) - это точки, где F′(x)=0, то есть точки экстремума графика F(x) (где касательная горизонтальна). Пересечения с осью X показывают, где F(x)=0, а не f(x)=0.
Ошибка: Построить треугольник, поделить клеточки и записать положительный ответ, когда касательная убывает.
Правильно: Длины сторон треугольника всегда положительны. Треугольник даёт тебе только числовой модуль тангенса. Знак нужно ставить самостоятельно. Касательная идёт вверх ⟹ плюс. Касательная идёт вниз ⟹ минус.
Стратегия на экзамене
- Ориентировочное время: 3–5 минут.
- Приоритет: Решай сразу. Это одно из самых быстрых заданий первой части, оно не требует долгих расчётов в столбик.
- Проверка знака: Перед записью ответа в бланк задай себе один вопрос: «Прямая/график идёт вверх или вниз?». Это спасёт 90% потерянных баллов в этом номере.
- Внимание на сетку: Если в задаче дан прямоугольный треугольник, обязательно проверяй, проходят ли узлы (вершины прямых углов) ровно по пересечениям клеточек. Не бери точки «на глаз».