Вычисление значений степенных выражений — ЕГЭ профиль

Суть темы

В задании 8 профильного ЕГЭ проверяется умение преобразовывать числовые выражения. Одна из частых тем этого номера - работа со степенями.

Главная особенность этих задач: изначально выражение выглядит громоздко, в нём могут быть огромные показатели или неудобные десятичные дроби. Но поскольку это первая часть экзамена, ответом всегда должно получиться целое число или конечная десятичная дробь. Это означает, что при правильном применении формул все «страшные» степени обязательно сократятся.

Твоя главная цель в таких задачах - свести все числа к одинаковым основаниям.

Основные формулы

Для успешного решения нужно знать базовые свойства степеней. Они работают для любых действительных показателей, если основание степени больше нуля.

ВАЖНОЕ

Действия с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а при делении - вычитаются:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

ВАЖНОЕ

Действия с одинаковыми показателями

Степень произведения равна произведению степеней множителей. Это свойство работает и в обратную сторону:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Аналогично для дробей:

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

ВАЖНОЕ

Отрицательные и нулевые показатели

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице:

a^{0} = 1

Отрицательный показатель означает, что число нужно «перевернуть» (записать обратное число):

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

ВАЖНОЕ

Дробные показатели и корни

Корень $n$ -й степени из числа можно записать как степень с дробным показателем:

a^{m / n} = n a^{m}

Это свойство позволяет заменить все корни в задаче на обычные дроби в показателе и применять базовые формулы.

Схема-мнемоника перевода корня в дробный показатель

Алгоритм решения

Встретив задачу со степенями, действуй по чёткому плану. Это убережёт от вычислений в лоб.

АЛГОРИТМ

Алгоритм вычисления степенных выражений

1. Избавься от корней. Если в задаче есть корни, переведи их в дробные показатели степени.
2. Разложи составные основания на множители. Преврати все числа в степени простых чисел (например, $16$ замени на $2^{4},$ а $15$ - на $3 \cdot 5$ ).
3. Раскрой скобки. Примени формулы возведения произведения в степень и степени в степень.
4. Сгруппируй одинаковые основания. Собери все множители с одинаковыми основаниями и примени правила сложения/вычитания показателей.
5. Вычисли финальное значение. Возведи оставшееся простое число в получившуюся аккуратную степень.

Примеры

Разберём пять примеров, которые охватывают все основные подтипы задач на степени.

ПРИМЕР 1

Базовые свойства степеней

Найдите значение выражения $\frac{( 5 ^{12} ) ^{4}}{5 ^{45}} .$

1. Сначала раскроем скобки в числителе. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

(5^{12})^{4} = 5^{12 \cdot 4} = 5^{48}

2. Перепишем дробь с новым числителем:

\frac{5 ^{48}}{5 ^{45}}

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:

5^{48 - 45} = 5^{3}

4. Возводим число в куб:

5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Ответ: $125$

ПРИМЕР 2

Десятичные дроби в показателе

Найдите значение выражения $7^{0, 14} \cdot 4 9^{0, 43} .$

ПРИМЕР 3

Составные основания и отрицательные степени

Найдите значение выражения $\frac{1 5 ^{8, 2} \cdot 3 ^{- 6, 2}}{5 ^{7, 2}} .$

ПРИМЕР 4

Дробные показатели

Найдите значение выражения $\frac{9 ^{1/4} \cdot 2 7 ^{5/6}}{8 1 ^{1/4}} .$

ПРИМЕР 5

Выражение с корнями

Найдите значение выражения $\frac{3 16 \cdot 6 2}{2} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в сложении и умножении показателей

Ошибка: Возводить степень в степень сложением показателей: $(5^{3})^{4} = 5^{3 + 4} = 5^{7} .$
Правильно: При возведении степени в степень показатели перемножаются! $(5^{3})^{4} = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12} .$ Сложение работает только при умножении одинаковых оснований: $5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{7} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки при сложении дробных показателей

Ошибка: Складывать числители с числителями, а знаменатели со знаменателями: $2^{1/2} \cdot 2^{1/3} = 2^{2/5} .$
Правильно: Дроби складываются только приведением к общему знаменателю. Общий знаменатель $2$ и $3$ равен $6,$ поэтому $\frac{1}{2} = \frac{3}{6},$ $\frac{1}{3} = \frac{2}{6},$ и в сумме получается $\frac{5}{6} .$ Итог: $2^{1/2} \cdot 2^{1/3} = 2^{5/6} .$

Что запомнить

Если в задаче разные основания - разложи их на простые множители ( $2, 3, 5, 7$ ).
Если основания одинаковые - смело объединяй их, применяя сложение или вычитание показателей.
Радикалы (корни) неудобны для вычислений. Всегда переходи к дробным показателям: $3 7^{2} = 7^{2/3} .$
Следи за знаками в показателе при переносе степени из знаменателя в числитель: $\frac{1}{3 ^{- 4}} = 3^{4} .$

✓СОВЕТ

Таблица степеней, которую стоит знать наизусть

Степени двойки: $2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, 2^{5} = 32, 2^{6} = 64, 2^{7} = 128, 2^{8} = 256, 2^{9} = 512, 2^{10} = 1024 .$
Степени тройки: $3^{2} = 9, 3^{3} = 27, 3^{4} = 81, 3^{5} = 243, 3^{6} = 729 .$
Степени пятёрки: $5^{2} = 25, 5^{3} = 125, 5^{4} = 625 .$
Степени семёрки: $7^{2} = 49, 7^{3} = 343 .$
Разложения составных чисел: $6 = 2 \cdot 3,$ $10 = 2 \cdot 5,$ $12 = 2^{2} \cdot 3,$ $14 = 2 \cdot 7,$ $15 = 3 \cdot 5,$ $18 = 2 \cdot 3^{2},$ $21 = 3 \cdot 7,$ $35 = 5 \cdot 7 .$

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Время выполнения: 3-5 минут.
Проверка ответа: Если в итоге у тебя осталась степень вроде $3^{1, 4},$ которую нельзя посчитать - ищи ошибку. В заданиях первой части все «кривые» показатели должны сложиться или вычесться так, чтобы в результате получилось целое число ( $1, 2, 3...$ ) или, в крайнем случае, ноль.
Оформление черновика: Пиши дробные показатели крупно, чтобы $\frac{1}{2}$ не слилась в $12 .$ Одна потерянная черта дроби ломает весь пример.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

(2^{5})^{3} ?

2.Чему равно

3^{0, 3} \cdot 3^{0, 7} ?

3.Как записать

5 7^{2}

в виде степени?

4.Чему равно

\frac{1}{2 ^{- 3}} ?