Вписанные окружности и треугольники

Вписанные окружности и треугольники

Задание 18 - классическая планиметрия с двухчастной структурой: пункт «а» на доказательство, пункт «б» на вычисление. Вписанная окружность встречается реже, чем подобие и вписанные углы, но тема базовая: свойства касательных и формула $r=\frac{S}{p}$ работают и в задачах на другие конфигурации окружности.

Основные формулы и факты

В задачах на вписанную окружность работают три инструмента: формулы площади, свойства касательных и «метод $x,y,z$».

ВАЖНОЕ

Отрезки касательных (метод x, y, z)

Отрезки касательных из одной точки к окружности равны. Если $AF=AE=x\text{,}$ $BF=BD=y\text{,}$ $CD=CE=z\text{,}$ то стороны $c=x+y\text{,}$ $a=y+z\text{,}$ $b=x+z\text{,}$ а полупериметр $p=x+y+z\text{.}$ Отсюда:

$$x=p-a,y=p-b,z=p-c$$

Алгоритм решения

Примеры решения задач

Разберём три задачи от свойства инцентра в прямоугольном треугольнике до комбинации метода $x,y,z$ с теоремой Пифагора.

ПРИМЕР 1

Инцентр прямоугольного треугольника

Условие:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ вписана окружность радиуса $r$ с центром $I\text{.}$
а) Докажи, что $CI=r\sqrt{2}\text{.}$
б) Найди $CI\text{,}$ если катеты равны $5$ и $12\text{.}$

Следующий пример - классическая формула угла при инцентре, которую полезно знать наизусть.

ПРИМЕР 2

Угол при инцентре

Условие:
В треугольнике $ABC$ точка $I$ - центр вписанной окружности.
а) Докажи, что $\angle BIC=90^{\circ }+\frac{\angle A}{2}\text{.}$
б) Найди $\angle BIC\text{,}$ если $\angle BAC=48^{\circ }\text{,}$ радиус вписанной окружности $r=3\text{,}$ а расстояние $BI=5\text{.}$ Определи также $\sin \frac{\angle B}{2}\text{.}$

Последний пример - на комбинацию «$x,y,z$» со стандартной формулой. Типичный уровень реального ЕГЭ.

ПРИМЕР 3

Касание и прямой угол

Условие:
В треугольнике $ABC$ стороны равны $AB=6\text{,}$ $BC=8\text{,}$ $AC=10\text{.}$ Вписанная окружность касается стороны $AB$ в точке $K\text{.}$
а) Докажи, что треугольник $ABC$ прямоугольный, и найди $AK\text{.}$
б) Найди длину отрезка $CK$ (от вершины $C$ до точки касания $K$).

Частые ошибки

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

В 18-м задании ты можешь заработать от 0 до 3 баллов:

• 3 балла (максимум): идеально доказан «а» и верно посчитан «б». Каждый шаг (подобие, теорема, свойство биссектрисы) обоснован ссылкой.

• 2 балла: «а» доказан верно, логика «б» правильная, но арифметическая ошибка в вычислениях. ИЛИ «б» решён безупречно без опоры на недоказанный «а», а сам «а» не решён.

• 1 балл: верно доказан только «а». ИЛИ «а» не решён, но «б» решён верно с явной ссылкой на утверждение из «а» как на данность.

• 0 баллов: нет верных продвижений. Голый ответ в «б» без обоснований - 0, даже если правильный.