Задание 18: Планиметрия — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 18 профильного ЕГЭ по математике - это классическая планиметрия. Задание состоит из двух пунктов: в пункте «а» нужно доказать геометрический факт, в пункте «б» - вычислить длину отрезка, угол или площадь фигуры.

Это одна из самых сложных и комплексных задач на экзамене, требующая не только знания формул, но и умения видеть скрытые геометрические конструкции.

Формат ответа: Полное развёрнутое решение с обоснованием каждого шага.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 3 первичных балла.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ окружности - абсолютный лидер этого задания. Большинство задач так или иначе связаны с ними:

Окружности и треугольники (вписанные, описанные, вневписанные) - самая частая тема.
Окружности и четырёхугольники - свойства вписанных и описанных многоугольников.
Касательные, секущие и пересекающиеся хорды.
Треугольники общего вида (подобие, площади, теоремы синусов и косинусов) без явных окружностей встречаются гораздо реже.

Ключевые теоремы

Чтобы успешно справляться с заданием 18, базовой школьной программы бывает недостаточно. Нужно держать в голове несколько мощных теорем.

ВАЖНОЕ

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ A B C = \frac{1}{2} ∠ A O C = \frac{1}{2} A C ⌢

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $9 0^{\circ} .$

ВАЖНОЕ

Свойство вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ} ⟺ ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

ВАЖНОЕ

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой (то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу):

∠ (l, A B) = \frac{1}{2} A B ⌢ = ∠ A C B

ВАЖНОЕ

Теорема о касательной и секущей

Если из точки $M$ вне окружности проведены касательная $M T$ (где $T$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B,$ то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей:

M T^{2} = M A \cdot M B

ВАЖНОЕ

Теорема о пересекающихся хордах

Если две хорды $A B$ и $C D$ пересекаются внутри окружности в точке $M,$ то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:

A M \cdot M B = C M \cdot M D

Основные формулы треугольника

В задании 18 постоянно приходится работать с треугольниками. Эти формулы нужно знать наизусть.

ВАЖНОЕ

Теорема синусов (расширенная)

В треугольнике со сторонами $a, b, c,$ противолежащими им углами $A, B, C$ и радиусом описанной окружности $R :$

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

ВАЖНОЕ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Следствие (для нахождения угла по трём сторонам):

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника

Основные формулы для вычисления площади:

S = \frac{1}{2} a h_{a} S = \frac{1}{2} ab sin C

Через радиусы описанной ( $R$ ) и вписанной ( $r$ ) окружностей:

S = \frac{ab c}{4 R} S = p r

где $p = \frac{a + b + c}{2}$ - полупериметр треугольника.

Формула Герона (площадь по трём сторонам):

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать планиметрию из части 2

1. Сделай крупный и чёткий чертёж. Не мельчи. Если чертёж получился неудачным (слишком узкие углы, сливающиеся линии) - обязательно перерисуй.
2. Ищи окружности. Даже если в условии нет ни слова про окружность, ищи прямые углы, опирающиеся на один отрезок, или четырёхугольники с суммой противоположных углов $18 0^{\circ} .$ Вокруг них можно описать окружность.
3. Для пункта «а» (доказательство): Раскручивай задачу с конца. Задай себе вопрос: «Что должно быть правдой, чтобы это утверждение выполнялось?». Ищи равные углы, применяй признаки подобия.
4. Для пункта «б» (вычисление): Обязательно используй факт, доказанный в пункте «а». Применяй теоремы синусов и косинусов, метод площадей, свойства биссектрис и медиан.
5. Проверь на адекватность. Длины и площади должны быть положительными, косинус угла не может по модулю превышать $1 .$

Примеры решения

Разберём три типовые задачи, иллюстрирующие разные подходы.

ПРИМЕР 1

Скрытая окружность и высоты треугольника

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A D$ и $C E,$ которые пересекаются в точке $H .$
а) Докажите, что точки $A, E, D, C$ лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка $E D,$ если $A C = 12,$ а угол $A B C$ равен $6 0^{\circ} .$

ПРИМЕР 2

Свойства вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $K .$
а) Докажите, что треугольники $K B C$ и $K D A$ подобны.
б) Найдите площадь треугольника $K B C,$ если известно, что $A D = 4 \cdot B C,$ а площадь четырёхугольника $A B C D$ равна $45 .$

ПРИМЕР 3

Касательная и секущая

Из точки $M,$ расположенной вне окружности, проведены касательная $M T$ ( $T$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $M$ и $B$ ).
а) Докажите, что $△ M T A \sim △ M B T .$
б) Найдите длину хорды $A B,$ если $M T = 6$ и $M A = 3 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ссылки на чертёж вместо строгих доказательств

Ошибка: Писать в решении фразы вроде «по рисунку видно, что прямые параллельны» или «треугольник выглядит равносторонним, значит все углы по $6 0^{\circ}$ ».
Правильно: Каждый геометрический факт должен опираться на теорему, признак или свойство. Если прямые параллельны - укажи равные накрест лежащие углы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Использование данных пункта «б» в пункте «а»

Ошибка: При доказательстве в пункте «а» подставлять числовые значения, которые даны только для вычислений в пункте «б».
Правильно: Пункт «а» - это универсальное утверждение для данного класса фигур. Оно доказывается в общем виде. Исключение: если числа даны в самом начале условия, до разделения на пункты - их использовать можно везде.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 18

Ориентировочное время: 25-35 минут.
Приоритет: Решай после уравнений (14), неравенств (16) и прикладной задачи (17). Это задача высокого уровня, требующая свежей головы.
Баллы за пункты: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо! Если не можешь доказать пункт «а», но знаешь, как с помощью этого факта решить пункт «б» - решай. Ты получишь $1$ балл.
Когда стоит пропустить: Если после 10 минут работы и двух разных чертежей ты не видишь ни одной зацепки (нет равных углов, не ясно, как применить данные) - оставь задачу и переходи к параметрам (19) или задаче на числа (20). Вернёшься, если останется время.

За что дают баллы

Максимальный балл за задание 18 - 3 балла. Критерии оценивания очень лояльны к частичному продвижению:

3 балла: Идеальное решение. Пункт «а» доказан без пробелов, в пункте «б» получен правильный ответ с полным обоснованием шагов.
2 балла: Есть вычислительная ошибка. Либо доказан пункт «а», а в пункте «б» допущена банальная ошибка в арифметике (но ход решения абсолютно верный). Либо пункт «а» не доказан вообще, но пункт «б» решён безупречно (с доказательством всех дополнительных фактов).
1 балл: Выполнена только одна часть работы. Либо верно доказан только пункт «а». Либо решён только пункт «б», но в решении использовано утверждение из пункта «а», которое ты не смог доказать.
0 баллов: Решение не содержит ни верного доказательства, ни правильного хода вычислений.

Проверь себя0 из 4

1.Вписанный угол опирается на диаметр окружности. Чему он равен?

2.Четырёхугольник

A B C D

вписан в окружность и

∠ A = 7 0^{\circ} .

Чему равен

∠ C ?

3.Из точки

M

вне окружности проведены касательная

M T

и секущая, пересекающая окружность в точках

A

B .

Какое равенство верно?

4.Треугольники подобны с коэффициентом

k = \frac{1}{3} .

Как относятся их площади?