Вписанные окружности и четырехугольники — ЕГЭ профиль

Вписанные окружности и четырёхугольники

Задание 18 - это планиметрическая задача повышенного уровня. Тема «Вписанные окружности и четырёхугольники» встречается на ЕГЭ редко (в 2-3% вариантов), но именно её редкость делает её опасной: без ключевого критерия задача кажется нерешаемой.

Суть темы сводится к ситуациям, когда окружность лежит внутри четырёхугольника и касается всех четырёх его сторон. В таком случае четырёхугольник называется описанным около окружности (а окружность - вписанной в четырёхугольник).

Основные формулы и свойства

Для решения задач этого типа нужно уверенно владеть свойствами касательных, углов и знать критерий существования вписанной окружности.

ВАЖНОЕ

Свойство отрезков касательных из одной точки

Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки к окружности, равны. Прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными.

Из этого свойства следует важный факт: центр вписанной в четырёхугольник окружности лежит на пересечении биссектрис всех четырёх углов.

ВАЖНОЕ

Теорема Пито (критерий вписанной окружности)

В выпуклый четырёхугольник $A B C D$ можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны:

A B + C D = B C + A D

ВАЖНОЕ

Площадь описанного четырёхугольника

Площадь любого многоугольника, в который вписана окружность, равна произведению полупериметра на радиус:

S = p \cdot r, p = \frac{A B + B C + C D + A D}{2}

С учётом теоремы Пито полупериметр описанного четырёхугольника равен сумме двух противоположных сторон: $p = A B + C D = B C + A D .$

Алгоритм решения

Задачи на эту тему почти всегда сводятся либо к методу касательных, либо к работе с биссектрисами и прямоугольными треугольниками у центра.

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с описанным четырёхугольником

1. Сделай крупный аккуратный чертёж. Сначала нарисуй окружность, затем проведи к ней четыре касательные так, чтобы они образовали выпуклый четырёхугольник. Отметь все четыре точки касания. Если рисовать в обратном порядке, окружность почти наверняка получится кривой.
2. Отметь радиусы в точки касания. Проведи четыре радиуса - они перпендикулярны соответствующим сторонам и часто становятся катетами прямоугольных треугольников.
3. Введи отрезки касательных. Обозначь отрезки касательных из вершин $A, B, C, D$ буквами $x, y, z, w .$ Стороны запишутся как $A B = x + y,$ $B C = y + z,$ $C D = z + w,$ $A D = w + x .$ Теорема Пито выполнится автоматически, а задача часто сводится к системе уравнений.
4. Соедини вершины с центром. Лучи $O A, O B, O C, O D$ - биссектрисы углов четырёхугольника. В парах соседних биссектрис полезно использовать факт: $∠ A /2 + ∠ B /2 + ∠ C /2 + ∠ D /2 = 18 0^{\circ} .$
5. Примени $S = p r .$ Если нужна площадь или радиус - сразу проверь, можно ли использовать эту формулу: она связывает три величины и часто закрывает вычисление одним действием.

Примеры решения

Разберём два примера. В первом - равнобокая описанная трапеция: применение теоремы Пито и базовой тригонометрии. Второй - на уровень реального ЕГЭ, с доказательством прямого угла и использованием соотношения в прямоугольном треугольнике.

ПРИМЕР 1

Описанная равнобокая трапеция

Условие:
В равнобокую трапецию $A B C D$ (с основаниями $B C$ и $A D$ ) вписана окружность. Периметр трапеции равен $40,$ а косинус острого угла при основании $A D$ равен $0, 6 .$

а) Докажи, что высота трапеции равна её средней линии, умноженной на синус острого угла при основании.

б) Найди радиус вписанной окружности.

ПРИМЕР 2

Описанная трапеция и прямой угол у центра

Условие:
В четырёхугольник $A B C D$ вписана окружность с центром $O .$ Известно, что $B C ∥ A D,$ а сторона $A B$ касается окружности в точке $M .$

а) Докажи, что $∠ A O B = 9 0^{\circ} .$

б) Найди периметр четырёхугольника $A B C D,$ если $A M = 1,$ $B M = 9,$ и $A B C D$ - равнобокая трапеция.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между вписанным и описанным четырёхугольником

Ошибка: Применять теорему Пито ( $A B + C D = B C + A D$ ) к четырёхугольнику, который вписан в окружность (то есть все его вершины лежат на окружности).

Правильно: Теорема Пито работает только тогда, когда окружность вписана в четырёхугольник (касается всех четырёх сторон). Для четырёхугольника, вписанного в окружность, другое правило: сумма противоположных углов равна $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

Ключевое слово в условии: «вписана окружность» (значит, в четырёхугольник) vs «вписан четырёхугольник» (значит, в окружность).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Центр вписанной окружности - не точка пересечения диагоналей

Ошибка: Считать, что центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника.

Правильно: Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис углов. С пересечением диагоналей он совпадает только у ромба и квадрата, потому что там диагонали сами являются биссектрисами углов. В произвольной описанной трапеции или описанном дельтоиде центр лежит вообще не на пересечении диагоналей.

Что запомнить

1. Окружность вписана в четырёхугольник $⟺$ $A B + C D = B C + A D$ (теорема Пито).
2. Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис всех четырёх углов.
3. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Площадь $S = p \cdot r .$
4. Отрезки касательных из одной вершины равны. Параметризация $x, y, z, w$ сводит задачу к системе уравнений.
5. Если в условии « $B C ∥ A D$ » и вписана окружность - вспомни про $∠ A O B = ∠ D O C = 9 0^{\circ}$ (биссектрисы односторонних углов).
6. В равнобокой описанной трапеции боковая сторона равна средней линии, а диаметр вписанной окружности равен высоте.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 18

Время выполнения: 25-35 минут.
Очерёдность: Оставь планиметрию на вторую половину экзамена, после уравнения (14), неравенства (16) и прикладной задачи (17). Если в условии видишь слово «вписана окружность» и четырёхугольник - сразу записывай теорему Пито, даже не вчитавшись до конца.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Если не получается доказать пункт «а», прими его на веру и используй для вычислений в «б» - за правильный ответ с опорой на недоказанное утверждение всё равно дают 1 балл.
Быстрая проверка ответа: Если нашёл радиус или площадь, проверь себя формулой $S = p \cdot r .$ Полупериметр описанного четырёхугольника равен сумме двух противоположных сторон - это считается в одно действие.
Когда стоит пропустить: Если спустя 10 минут чертёж стал неряшливым, а связи между углами и сторонами не видны - переходи к заданию 19 (параметры) или 20 (теория чисел). Вернёшься к 18-му, если останется время.

За что дают баллы

В задании 18 можно заработать от 0 до 3 первичных баллов:

3 балла (максимум): Пункт «а» доказан со всеми обоснованиями, пункт «б» решён верно и с опорой на доказанное. Нет логических пробелов, ответ совпадает с эталоном.
2 балла: Пункт «а» доказан полностью, пункт «б» решён по верной логике, но в вычислениях допущена арифметическая ошибка (например, $2 \cdot 3 = 5$ ). ИЛИ пункт «б» решён безупречно и обоснованно, но пункт «а» не решён.
1 балл: Полностью и верно доказан только пункт «а». ИЛИ пункт «а» не тронут, но пункт «б» решён верно с явной ссылкой на недоказанное утверждение из пункта «а» (так делать можно и нужно, если застрял).
0 баллов: Решение не содержит верных математических продвижений. Голый ответ в пункте «б» без обоснований и вычислений тоже оценивается в 0 баллов - даже если ответ случайно совпал с правильным.

Проверь себя0 из 4

1.В выпуклый четырёхугольник

A B C D

можно вписать окружность. Какое равенство обязательно выполняется?

2.Периметр описанного четырёхугольника равен

36,

радиус вписанной окружности равен

4 .

Чему равна площадь четырёхугольника?

3.В равнобокую трапецию вписана окружность. Чему равна её боковая сторона?

4.В трапеции

A B C D

с основаниями

B C

A D

вписана окружность с центром

O .

Чему равен угол

A O B ?