Вписанные окружности

Суть темы

В задании 1 ЕГЭ по математике проверяется базовое знание планиметрии. Тема «Вписанные окружности» встречается не очень часто, но если попадается, то решается в 1-2 действия. Главная сложность здесь - терминология.

Часто происходит путаница: кто в кого вписан?
Если окружность вписана в многоугольник, значит, она находится внутри него и касается всех его сторон. Сам многоугольник при этом называется описанным около окружности.

Для успешного решения задач этого типа не нужно строить сложные чертежи или искать подобия. Достаточно знать несколько ключевых свойств касательных и два соотношения для радиуса.

Основные формулы

Вся теория по этой теме строится на одном фундаментальном факте о касательных.

ВАЖНОЕ

Отрезки касательных из одной точки

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Из этого свойства вытекает главное правило для четырёхугольников, которое применяется в большинстве задач подтемы:

ВАЖНОЕ

Свойство описанного четырёхугольника

Если в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны:

$$a+c=b+d$$

Для задач на треугольник пригодятся два соотношения - связь радиуса с площадью и специальная формула для прямоугольного треугольника.

ВАЖНОЕ

Радиус вписанной окружности через площадь

Радиус окружности, вписанной в любой многоугольник, связан с его площадью $S$ и полупериметром $p$ формулой:

$$S=p\cdot r$$

откуда $r=\frac{S}{p}\text{.}$ Для треугольника со сторонами $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}\text{.}$

ВАЖНОЕ

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с катетами $a\text{,}$ $b$ и гипотенузой $c$ радиус вписанной окружности вычисляется по короткой формуле:

$$r=\frac{a+b-c}{2}$$

Алгоритм решения

Примеры

Разберём типичные задачи, которые встречаются на реальном экзамене, - от самой простой до полноценного ЕГЭ-уровня.

ПРИМЕР 1

Периметр описанного четырёхугольника

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Известно, что $AB=9$ и $CD=14\text{.}$ Найди периметр четырёхугольника $ABCD\text{.}$

По условию окружность вписана в четырёхугольник, значит, суммы его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD$$

Найдём эту сумму для известных сторон:

$$AB+CD=9+14=23$$

Вторая пара сторон даёт такую же сумму, поэтому периметр равен удвоенной сумме:

$$P=(AB+CD)+(BC+AD)=23+23=46$$

Ответ: $46$

Частые ошибки

Что запомнить

1. Вписанная окружность лежит внутри фигуры и касается всех её сторон.
2. Отрезки касательных из одной точки к окружности равны.
3. В описанном четырёхугольнике: $a+c=b+d=\frac{P}{2}\text{.}$
4. Для любого многоугольника: $S=p\cdot r\text{,}$ где $p$ - полупериметр.
5. Для прямоугольного треугольника: $r=\frac{a+b-c}{2}$ (где $c$ - гипотенуза).
6. Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.

Стратегия на экзамене