Задание 1: Простейшая планиметрия

О задании

Задание 1 открывает первую часть профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет базовые знания геометрии на плоскости: умение работать с углами, вычислять площади и применять основные свойства фигур.

• Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
• Уровень сложности: Базовый.
• Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ можно встретить задачи нескольких типов, самые частые из них:

1. Углы и окружности - центральные и вписанные углы, хорды, касательные, вписанные и описанные многоугольники.
2. Треугольники - прямоугольные (особенно свойства медианы и биссектрисы), равнобедренные и треугольники общего вида.
3. Четырёхугольники - параллелограммы, ромбы, трапеции, вычисление их площадей и углов.

Основные формулы и факты

Для успешного решения первого задания нужно держать в голове базовые теоремы.

ВАЖНОЕ

Вписанные и центральные углы

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$${\angle }_{\text{впис}}=\frac{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$$

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

$${\angle }_{\text{центр}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$$

Следствие: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }\text{.}$

ВАЖНОЕ

Площадь параллелограмма и треугольника

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведённую к ней высоту:

$$S=a\cdot h_a=b\cdot h_b$$

Площадь треугольника - это половина произведения стороны на высоту:

$$S=\frac{1}{2}a\cdot h_a$$

ВАЖНОЕ

Медиана прямоугольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Эта медиана разбивает исходный треугольник на два равнобедренных.

Общий алгоритм решения

Примеры решения

Разберём две типичные задачи из разных подтем.

ПРИМЕР 1

Вписанные углы

Условие:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $44^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Частые ошибки

Стратегия на экзамене