Задание 1: Простейшая планиметрия | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 1 открывает первую часть профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет базовые знания геометрии на плоскости: умение работать с углами, вычислять площади и применять основные свойства фигур.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ можно встретить задачи нескольких типов, самые частые из них:

1. Углы и окружности - центральные и вписанные углы, хорды, касательные, вписанные и описанные многоугольники.
2. Треугольники - прямоугольные (особенно свойства медианы и биссектрисы), равнобедренные и треугольники общего вида.
3. Четырёхугольники - параллелограммы, ромбы, трапеции, вычисление их площадей и углов.

Основные формулы и факты

Для успешного решения первого задания нужно держать в голове базовые теоремы.

Вписанные и центральные углы

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

∠_{впис} = \frac{1}{2} A B ⌢

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

∠_{центр} = A B ⌢

Следствие: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $9 0^{\circ} .$

$Вписанный и центральный углы$

Площадь параллелограмма и треугольника

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведённую к ней высоту:

S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}

Площадь треугольника - это половина произведения стороны на высоту:

S = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

$Параллелограмм с двумя высотами$

Медиана прямоугольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Эта медиана разбивает исходный треугольник на два равнобедренных.

$Медиана к гипотенузе$

Общий алгоритм решения

Как решать задание 1

1. Прочитай условие и сделай чертёж. Если рисунок уже дан, перенеси на него все известные длины и углы из условия.
2. Найди ключевую фигуру. Определи, с чем предстоит работать: прямоугольный треугольник, вписанный четырёхугольник, параллелограмм.
3. Вспомни связывающее свойство. Например, если даны две стороны и высота параллелограмма, а найти нужно вторую высоту - используй формулу площади двумя способами.
4. Составь уравнение и реши его. Вырази неизвестную величину и проведи вычисления.
5. Проверь вопрос задачи. Убедись, что найденная величина - это именно то, что просят записать в ответ.

Примеры решения

Разберём две типичные задачи из разных подтем.

Пример 1. Вписанные углы

Условие:
Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A B C$ равен $9 8^{\circ},$ угол $C A D$ равен $4 4^{\circ} .$ Найдите угол $A B D .$ Ответ дайте в градусах.

$Вписанный четырехугольник$

Показать решение

$Вписанный четырехугольник и вся отмеченная информация$

В этой задаче удобнее всего работать с дугами окружности.

1. Угол $A B C$ - вписанный. Он опирается на дугу $A D C .$ Значит, дуга $A D C$ в два раза больше угла:

A D C ⌢ = 2 \cdot 9 8^{\circ} = 19 6^{\circ}

2. Угол $C A D$ - вписанный. Он опирается на дугу $C D .$ Значит, дуга $C D$ равна:

C D ⌢ = 2 \cdot 4 4^{\circ} = 8 8^{\circ}

3. Дуга $A D C$ состоит из двух дуг: $A D$ и $C D .$ Найдём градусную меру дуги $A D :$

A D ⌢ = A D C ⌢ - C D ⌢ = 19 6^{\circ} - 8 8^{\circ} = 10 8^{\circ}

4. Нас просят найти угол $A B D .$ Он является вписанным и опирается как раз на дугу $A D .$ Значит, он равен половине этой дуги:

∠ A B D = \frac{10 8 ^{\circ}}{2} = 5 4^{\circ}

В бланк ответов записываем число без знака градусов.

Ответ: 54

Пример 2. Площади и высоты

Условие:
Стороны параллелограмма равны $24$ и $27 .$ Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $18 .$ Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

$Параллелограмм$

Показать решение

Используем формулу площади параллелограмма $S = a \cdot h_{a},$ где $a$ - сторона, а $h_{a}$ - проведённая к ней высота.

$Параллелограмм, со всеми нужными элементами$

Площадь фигуры не меняется от того, какую сторону выбрать в качестве основания. Запишем площадь двумя способами и приравняем их:

a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}

Подставим известные значения. Меньшая сторона $a = 24,$ высота к ней $h_{a} = 18 .$ Большая сторона $b = 27,$ высоту к ней $h_{b}$ нужно найти:

24 \cdot 18 = 27 \cdot h_{b}

Выразим неизвестную высоту:

h_{b} = \frac{24 \cdot 18}{27}

Сократим дробь на $9 :$

h_{b} = \frac{24 \cdot 2}{3}

Сократим на $3 :$

h_{b} = 8 \cdot 2 = 16

Ответ: 16

Частые ошибки

Путаница между вписанным и центральным углом

Ошибка: Считать, что вписанный угол равен градусной мере дуги, или делить центральный угол на 2.
Правильно: Всегда помни правило: вершина угла в центре - берем дугу целиком (1 к 1). Вершина угла на окружности - берем ровно половину дуги.

Запись единиц измерения в бланк

Ошибка: Написать в бланке ЕГЭ ответ в виде « $5 4^{\circ}$ » или « $16$ см». Компьютер не распознает символы и засчитает неверный ответ.
Правильно: В бланк первой части записываются только числа (цифры, запятая для десятичных дробей и знак минуса, если нужен). Единицы измерения писать запрещено.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 1

Ориентировочное время: 2–5 минут.
Когда решать: В самом начале. Это отличная задача для "разгона" мозга и включения в работу.
Как проверить: Если задача на углы - посмотри на чертёж. Острый ли получился угол? Похож ли он визуально на $5 4^{\circ} ?$ Если ответ получился $15 0^{\circ},$ а на картинке явно острый угол - ищи ошибку.
Если не получается: Пропусти и иди дальше. Возможно, ты забыл какую-то одну теорему (например, свойство биссектрисы). Мозг продолжит искать её в фоновом режиме, вернёшься к задаче позже.