Вклады и сложный процент — ЕГЭ профиль

Вклады и сложный процент (Задание 13)

Вклад - самый предсказуемый сюжет тринадцатого номера. Банк раз в период увеличивает сумму на счёте на один и тот же процент, и больше ничего не происходит: ни платежей, ни остатка долга - только умножение. Такие задачи решаются в одно-два действия и почти всегда дают круглый ответ. Разобраться надо в двух вещах: как проценты превращаются в множитель и что именно спрашивают.

Коэффициент вместо процентов

Проценты неудобно перемножать и совсем неудобно возводить в степень. Переводи ставку в множитель первым делом.

ВАЖНОЕ

Коэффициент начисления

Если сумма увеличивается на $r$ процентов, она умножается на

k = 1 + \frac{r}{100}

Примеры: $5%$ дают $k = 1, 05;$ $10%$ дают $k = 1, 1;$ $20%$ дают $k = 1, 2;$ $12, 5%$ дают $k = 1, 125 = \frac{9}{8} .$

Начисление процентов - это одно умножение, повторённое столько раз, сколько было периодов.

Каждый год вклад умножается на один и тот же коэффициент

ВАЖНОЕ

Сложный процент без пополнений

Вклад $S_{0}$ лежит $n$ периодов, за период начисляется $r %,$ проценты капитализируются - прибавляются к вкладу. Тогда

S_{n} = S_{0} \cdot k^{n}, k = 1 + \frac{r}{100}

Капитализация и означает, что очередной процент считается от новой, уже увеличенной суммы.

iЗАМЕЧАНИЕ

Простой процент и сложный - это разные модели

При простом проценте банк каждый год прибавляет $r %$ от ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ суммы: $S_{n} = S_{0} (1 + \frac{r n}{100}) .$ При сложном - от текущей: $S_{n} = S_{0} \cdot k^{n} .$ Слова «проценты прибавляются к вкладу», «капитализация», «начисляются на сумму на счёте» означают сложный процент. Нет таких слов - перечитай условие: простой процент встречается редко и обычно как ловушка.

Простой и сложный процент: 100 000 рублей под 10 процентов годовых

Разница копится тихо: за первый год оба способа дают одно и то же, а за пять лет расхождение больше $11$ тысяч на вложенные сто тысяч.

Капитализация чаще раза в год

Проценты не обязаны начисляться раз в год: бывает раз в полгода, квартал или месяц. Годовая ставка делится на число периодов, но и начислений становится ровно столько же.

ВАЖНОЕ

Ставка за период

Годовая ставка $r %,$ капитализация $m$ раз в год. За один период сумма растёт на $\frac{r}{m}$ процентов, поэтому за год она умножается на

(1 + \frac{r}{100 m})^{m}

За $n$ лет показатель степени станет $mn .$

Одна годовая ставка, разная частота капитализации

Обратные задачи: что спрашивают

Формула $S_{n} = S_{0} \cdot k^{n}$ связывает четыре величины. Три дают в условии, четвёртую просят найти - отсюда и все типы задач темы.

АЛГОРИТМ

Как действовать в любой из трёх задач

1. Выпиши, что известно: $S_{0},$ $S_{n},$ ставку (коэффициент $k$ ), число начислений $n .$ Отметь, какая величина - вопрос.
2. Переведи ставку в коэффициент: $k = 1 + \frac{r}{100} .$ Если капитализация $m$ раз в год, сначала подели годовую ставку на $m .$
3. Посчитай $k^{n} .$ Число начислений $n$ - это количество периодов, а не лет, если период не год.
4. Сделай одно действие. Ищут $S_{n}$ - умножай. Ищут $S_{0}$ - дели на $k^{n} .$ Ищут ставку - находи $k^{n} = \frac{S _{n}}{S _{0}}$ и извлекай корень степени $n .$
5. Проверь обратным ходом: подставь найденное число и пройди по годам, суммы обязаны сойтись с условием.

Четвёртый вопрос - «через сколько лет вклад превысит такую-то сумму» - решается перебором: считай $S_{1},$ $S_{2},$ $S_{3}$ подряд, пока не перескочишь порог. Логарифмы не нужны, сроки короткие.

Пополнения: считай по цепочке

Если вкладчик докладывает деньги, замкнутая формула перестаёт работать: у каждого взноса свой срок. Зато работает пошаговый пересчёт.

ВАЖНОЕ

Рекуррентный шаг

S_{i + 1} = S_{i} \cdot k + V_{i}

Здесь $V_{i}$ - пополнение в конце $i$ -го периода ( $V_{i} = 0,$ если не вносили). Порядок действий внутри периода задаёт условие: «внесли сразу после начисления» - это запись выше, «внесли в начале года, потом начислили» - это $S_{i + 1} = (S_{i} + V_{i}) \cdot k .$

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Сколько накопится

Условие:
Родители открыли вклад на $300000$ рублей под $10%$ годовых с ежегодной капитализацией: в конце каждого года начисленные проценты прибавляются к сумме вклада. Вклад не пополняли и деньги с него не снимали. Какая сумма (в рублях) будет на вкладе через три года?

ПРИМЕР 2

Сколько положили изначально

Условие:
Вклад открыт под $20%$ годовых с ежегодной капитализацией процентов. Через два года на счёте оказалось $288000$ рублей; вклад не пополнялся, деньги не снимались. Сколько рублей было положено на счёт изначально?

ПРИМЕР 3

Под сколько процентов лежал вклад

Условие:
Вклад $400000$ рублей пролежал в банке два года; проценты начислялись раз в год по одной и той же ставке и прибавлялись к вкладу. Через два года на счёте стало $441000$ рублей. Сколько процентов годовых начислял банк?

ПРИМЕР 4

Две разные ставки подряд

Условие:
Инвестор вложил $500000$ рублей. За первый год вложение выросло на $10%,$ а за второй - ещё на $20%$ от суммы, накопившейся к концу первого года. На сколько процентов выросла первоначальная сумма за два года?

ПРИМЕР 5

Капитализация раз в полгода

Условие:
Вклад $200000$ рублей открыт на один год под $24%$ годовых с капитализацией раз в полгода. Какая сумма (в рублях) будет на счёте через год?

ПРИМЕР 6

Вклад с пополнениями

Условие:
Семья открыла вклад на $100000$ рублей под $20%$ годовых с ежегодной капитализацией процентов. В конце первого и в конце второго года, сразу после начисления процентов, семья дополнительно вносила на счёт по $50000$ рублей. Больше вклад не пополнялся. Какая сумма (в рублях) будет на счёте в конце третьего года?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Простой процент вместо сложного

Ошибка: Умножить ставку на число лет: « $10%$ за три года - это $30%,$ значит вклад вырос в $1, 3$ раза».
Правильно: Если проценты прибавляются к вкладу, каждое следующее начисление идёт от НОВОЙ суммы. Коэффициент возводится в степень: $1, 1^{3} = 1, 331,$ а не $1, 3 .$ На вкладе $100000$ рублей это лишние $3100$ рублей за три года.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ставки за разные годы сложены

Ошибка: Вклад вырос на $10%,$ потом на $20%$ - «всего на $30%$ ».
Правильно: Складывать проценты можно, только когда они считаются от одной и той же базы. Здесь база меняется, поэтому перемножаются КОЭФФИЦИЕНТЫ: $1, 1 \cdot 1, 2 = 1, 32,$ то есть рост на $32% .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Годовая ставка не поделена на число периодов

Ошибка: « $24%$ годовых, капитализация раз в квартал» - и в решение уходит $1, 2 4^{4} .$
Правильно: $24%$ - это ставка ЗА ГОД. За квартал начисляется $\frac{24}{4} = 6%,$ то есть $k = 1, 06,$ и таких начислений за год четыре: $1, 0 6^{4} .$ Годовой множитель обязан выйти чуть больше $1, 24,$ а не в разы больше.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Обратная задача решена вычитанием процентов

Ошибка: Сумма выросла на $20%$ и стала $288000;$ «значит, было на $20%$ меньше»: $288000 \cdot 0, 8 = 230400 .$
Правильно: Проценты считались от НАЧАЛЬНОЙ суммы, а не от итоговой, поэтому обратное действие - деление: $288000 : 1, 2 = 240000 .$ Правило короткое: увеличение на $r %$ отменяется делением на $k,$ а не умножением на $2 - k .$

Что запомнить

Ставка сразу превращается в коэффициент $k = 1 + \frac{r}{100};$ дальше вся тема - это степени $k .$
Без пополнений работает $S_{n} = S_{0} \cdot k^{n},$ где $n$ - число НАЧИСЛЕНИЙ, а не лет: при капитализации $m$ раз в год ставка за период $\frac{r}{m},$ а начислений за год $m .$
Три вопроса по одной формуле: итог - умножаем, начальную сумму - делим, ставку - извлекаем корень степени $n$ из $\frac{S _{n}}{S _{0}} .$
Пополнения ломают замкнутую формулу, но не пересчёт по шагам: $S_{i + 1} = S_{i} \cdot k + V_{i};$ порядок «начисление - взнос» диктует условие.
Коэффициенты за разные периоды ПЕРЕМНОЖАЮТСЯ, проценты - нет.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $3$ - $5$ минут. Из сюжетов номера вклады считаются быстрее всего: модель одна и известна заранее.
Дроби вместо десятичных: при ставке $12, 5%$ бери $k = \frac{9}{8},$ а не $1, 125 .$ Степень обыкновенной дроби считается в уме, десятичной - нет.
Степени наизусть: $1, 1^{2} = 1, 21,$ $1, 1^{3} = 1, 331,$ $1, 2^{2} = 1, 44,$ $1, 2^{3} = 1, 728,$ $1, 0 5^{2} = 1, 1025 .$ Эти пять чисел закрывают большинство задач.
Корень из дроби: в задачах на ставку $\frac{S _{n}}{S _{0}}$ всегда сокращается до дроби из полных квадратов или кубов ( $\frac{441}{400},$ $\frac{1331}{1000}$ ). Не сокращается - ищи ошибку в арифметике, а не в методе.
Проверка обязательна: пройди по годам вперёд с найденным числом - это $20$ секунд, а ловит почти любую ошибку. В бланк ответ идёт без пробелов: 399300.

Проверь себя0 из 5

1.Вклад

200000

рублей открыт под

15%

годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте через два года?

2.Ставка

10%

годовых, ежегодная капитализация. Через три года на счёте

133100

рублей. Сколько положили изначально?

3.Банк даёт

24%

годовых с капитализацией раз в квартал. На сколько процентов растёт вклад за один квартал?

4.Вклад

100000

рублей под

10%

годовых, но проценты НЕ капитализируются: каждый год начисляется

10%

от первоначальной суммы. Сколько на счёте через три года?

5.Вклад пополняют в конце каждого года суммой

V

сразу ПОСЛЕ начисления процентов. Какая запись верна?