Задание 13: Финансовая математика — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 13 - новичок в экзамене: оно появилось только в КИМ-2027, раньше такого номера в варианте не было. Это последнее задание первой части - дальше начинаются задания с развёрнутым решением. Смысл номера простой: проверить, умеешь ли ты переводить житейскую ситуацию на язык математики. Кредит, вклад, скидка, семейный бюджет - всё это надо превратить в уравнение и довести до числа.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.
Ориентир по времени: около 10 минут.

Не путай задание 13 с экономической задачей из КИМ-2026 - там она стояла под номером 16. Та задача жила во второй части, стоила 2 балла и требовала развёрнутого обоснования каждого шага. Здесь всё компактнее: одна модель, одно уравнение, в бланк уходит только число. Как ты рассуждал - никто не читает, проверяют ответ.

iЗАМЕЧАНИЕ

Один официальный образец

В демоверсии КИМ-2027 у задания 13 ровно один прототип - задача про кредит, её мы разберём первой. Спецификация описывает номер шире одного сюжета, поэтому дальше идут и другие модели: они собраны по формулировке требования из спецификации, а не по догадкам о том, «что ещё могут дать».

✎ЗАМЕТКА

Связь с другими заданиями

Ближайший сосед - задание 11: там тоже текстовая задача с кратким ответом, только сюжеты классические - движение, совместная работа, смеси. Техника одна и та же: ввести переменную, составить уравнение, решить. Задание 13 переносит эту технику на деньги - проценты, долги, вклады.

Если захочется тренажёра посложнее, загляни в архив КИМ-2026, в задание 16 про кредиты и вклады. Оно тяжелее, чем нужно для номера 13, но именно поэтому после него задание 13 кажется разминкой.

Какие темы встречаются

Спецификация описывает задание широко: моделировать реальные ситуации на языке математики, составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы, исследовать построенные модели аппаратом алгебры и решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из области управления личными и семейными финансами. На практике это шесть сюжетов.

1. Кредиты с равными платежами (аннуитет) - долг раз в период растёт на процент и гасится одинаковыми выплатами. Именно такой сюжет в демоверсии.
2. Кредиты с дифференцированными платежами - остаток долга каждый период уменьшается на одну и ту же величину, а сами выплаты разные.
3. Вклады и сложный процент - деньги лежат в банке, проценты начисляются на проценты.
4. Проценты и доли в реальных ситуациях - скидки, наценки, налоги, доли семейного бюджета.
5. Текстовые задачи на движение и работу - классика, но с кратким ответом.
6. Смеси и сплавы - концентрация раствора, доля металла в сплаве.

Ядро номера - первые четыре пункта, то есть деньги и проценты. Два последних сюжета ты уже разбирал в задании 11, там они основные; здесь они возможны «в том числе», поэтому дальше упор сделан на то, чего в номере 11 нет.

✓СОВЕТ

Как отличить аннуитет от дифференцированной схемы

Всё решает одна фраза условия - ищи её прежде, чем что-то считать.

«кредит погашен равными платежами», «ежемесячный платёж одинаков» - аннуитет. Одинаковы ВЫПЛАТЫ, а долг убывает неравномерно.
«долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц» - дифференцированная схема. Одинаково убывает ДОЛГ, а выплаты каждый раз разные.

Дальше выбор инструмента автоматический: одинаковые платежи - геометрическая прогрессия, равномерно убывающий долг - арифметическая.

Остаток долга при равных платежах и при равномерном уменьшении долга

Основные формулы

Весь номер держится на одной идее: процент - это множитель. Как только ставка превращается в коэффициент, задача становится обычным уравнением.

ВАЖНОЕ

Повышающий и понижающий коэффициент

Если величина растёт на $r %,$ её умножают на

k = 1 + \frac{r}{100}

Если убывает на $r %$ - на $k = 1 - \frac{r}{100} .$

Рост на $20%$ - это умножение на $1, 2,$ удержание $13%$ - умножение на $0, 87 .$ Коэффициенты не складывают, а перемножают: рост на $25%$ и последующее удержание $13%$ дают не $12%,$ а множитель $1, 25 \cdot 0, 87 = 1, 0875 .$

ВАЖНОЕ

Сложный процент

Если начисление повторяется $n$ раз подряд и каждый раз считается от новой суммы, то

S_{n} = S_{0} \cdot k^{n}

Три года по $10%$ дают не $30%,$ а $1, 1^{3} = 1, 331,$ то есть рост на $33, 1% .$ Разница между простым и сложным процентом - ровно то, что здесь проверяют.

Рост вклада: простой процент против сложного

✓СОВЕТ

Когда считать через коэффициент, а когда напрямую

Процент применяется несколько раз подряд - только коэффициент и степень. Складывать проценты за годы нельзя.
Процент применяется один раз и спрашивают «сколько это в рублях» - коэффициент не нужен, считай $\frac{p}{100} \cdot A$ напрямую.
Ставка «некрасивая» - переведи коэффициент в обыкновенную дробь. При $12, 5%$ получаем $1 + \frac{12 , 5}{100} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} :$ возводить в степень $\frac{9}{8}$ куда приятнее, чем $1, 125 .$

ВАЖНОЕ

Кредит с равными платежами (аннуитет)

Кредит $S,$ коэффициент $k,$ $n$ равных платежей по $X .$ Перед каждым платежом долг умножается на $k,$ поэтому после $n$ -го платежа долг равен

S \cdot k^{n} - X (k^{n - 1} + k^{n - 2} + \dots + k + 1) = 0

Скобка - сумма геометрической прогрессии, её можно свернуть:

S \cdot k^{n} = X \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}

Общая сумма выплат равна $n X .$

Показатель степени равен числу платежей, а не числу промежутков между ними. Три платежа - значит $k^{3}$ и скобка из трёх слагаемых: $k^{2} + k + 1 .$

Один год кредита: начисление процентов, затем платёж

ВАЖНОЕ

Кредит с равномерным уменьшением долга

Слова-маркеры: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше». Тогда остатки долга образуют арифметическую прогрессию с шагом $- \frac{S}{n},$ а переплата равна

Π = \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}

Общая сумма выплат: $S + Π .$ Считать удобнее именно переплату, а не каждый платёж по отдельности.

ВАЖНОЕ

Проценты и доли

$p %$ от числа $A$ - это $\frac{p}{100} \cdot A .$

Какую долю в процентах составляет $B$ от $A :$

\frac{B}{A} \cdot 100%

База важнее самого числа: «на $20%$ больше» и «на $20%$ меньше» отсчитываются от разных величин и друг друга не компенсируют.

ВАЖНОЕ

Смеси и сплавы

При смешивании сохраняется масса чистого вещества, а не проценты:

m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot c

где $c$ - концентрация в долях единицы. Считай не растворы, а именно вещество внутри них.

Масса чистого вещества при смешивании двух растворов

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 13

1. Определи тип по словам-маркерам. «Погашен равными платежами» - аннуитет. «Долг должен быть на одну и ту же величину меньше» - дифференцированная схема. «Проценты прибавляются к вкладу», «капитализация» - сложный процент. «Смешали», «сплав» - концентрация.
2. Введи одну переменную. Обозначь буквой ровно то, чего не хватает: платёж, исходную сумму, ставку или число лет. Всё остальное выражай через неё, не плоди буквы.
3. Переведи проценты в коэффициент сразу, до вычислений: $k = 1 \pm \frac{r}{100} .$
4. Составь модель. Для кредита - табличка «период / долг после начисления / выплата / остаток». Для остального - уравнение баланса: что было слева, что стало справа.
5. Не считай степени раньше времени. Держи $k^{n}$ буквой до последнего шага: в дробях почти всегда что-то сокращается, и огромные числа считать не придётся.
6. Перечитай вопрос. Платёж, общая сумма выплат и переплата - три разных числа. В демоверсии спрашивают общую сумму, то есть $3 X,$ а вовсе не $X .$
7. Оформи ответ. Целое число или конечная десятичная дробь. В бланк - без пробелов, без единиц измерения и без слова «рублей».

АЛГОРИТМ

Как проверить ответ за минуту

1. Сумма выплат больше кредита. Всегда. Получилось меньше или ровно столько же - модель построена неверно.
2. Долг после последнего платежа - ноль. Подставь найденный платёж обратно в таблицу и прогони её до конца: в остатке обязан получиться ноль.
3. Дифференцированная схема дешевле аннуитета при одинаковых ставке и сроке: долг гасится быстрее, значит и процентов набегает меньше. Вышло наоборот - ищи ошибку.
4. Ответ - целое число или конечная десятичная дробь. Получилась бесконечная периодическая дробь - почти наверняка ошибка в модели.
5. Проценты не складываются. Если в решении мелькнуло « $20% + 13% = 33%$ », перепроверь этот шаг первым делом.

Примеры решения

Разберём четыре сюжета: прототип из демоверсии, дифференцированный кредит, вклад и обычные проценты в семейном бюджете.

ПРИМЕР 1

Прототип из демоверсии: кредит тремя равными платежами

Условие:
В июле 2030 года планируется взять кредит $182000$ рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

ПРИМЕР 2

Кредит с равномерным уменьшением долга

Условие:
Кредит $600000$ рублей взят на $12$ месяцев. Условия возврата таковы:

каждый месяц долг увеличивается на $2%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
в течение месяца выплачивается часть долга;
в конце каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

ПРИМЕР 3

Вклад со сложным процентом

Условие:
Семья положила на вклад $200000$ рублей под $10%$ годовых. Проценты начисляются раз в год и прибавляются к вкладу; деньги не снимают и не докладывают. Через сколько лет сумма на вкладе впервые превысит $260000$ рублей?

ПРИМЕР 4

Проценты в семейном бюджете

Условие:
Зарплату сотрудника повысили на $25%,$ а из начисленной суммы удерживают налог $13% .$ После повышения на руки выдают $43500$ рублей. Какой была зарплата до повышения (до вычета налога)?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Простой процент вместо сложного

Ошибка: Умножить ставку на число лет: « $10%$ за три года - это $30%,$ значит вклад вырос в $1, 3$ раза».
Правильно: Если проценты прибавляются к сумме, каждое следующее начисление считается от НОВОЙ величины. Коэффициент возводится в степень: $1, 1^{3} = 1, 331 .$ Простой процент бывает только тогда, когда в условии прямо сказано, что проценты не капитализируются.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверное число платежей в аннуитете

Ошибка: В задаче сказано «погашен тремя равными платежами», а в уравнении появляется $S \cdot k^{2}$ - рассуждение «между тремя платежами всего два промежутка».
Правильно: Проценты начисляются ПЕРЕД каждой выплатой. Платежей три - значит и начислений три, в уравнении стоит $k^{3},$ а в скобке три слагаемых: $k^{2} + k + 1 .$ Проверяй по картинке с осью года: каждому платежу предшествует своё начисление.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Процент начислен не на остаток долга

Ошибка: Считать проценты каждый период от ИСХОДНОЙ суммы кредита, а не от текущего остатка.
Правильно: Банк начисляет на то, что ты ещё должен. В дифференцированной схеме это особенно заметно: в первый месяц процент берётся с полного долга, в последний - с одной $n$ -й его части. Именно поэтому переплата равна $\frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2},$ а не $\frac{r}{100} \cdot S \cdot n .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формула аннуитета применена к дифференцированной схеме

Ошибка: Увидеть слово «кредит» и сразу писать $S \cdot k^{n} = X \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1},$ не разобравшись в условии.
Правильно: Геометрическая прогрессия появляется только тогда, когда одинаковы ПЛАТЕЖИ. Если одинаково убывает ДОЛГ, платежи разные и работает арифметическая прогрессия. Одна фраза условия решает всё - перечитай её до того, как выписал формулу.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

В смесях сложены проценты

Ошибка: Смешали $4$ кг $30%$ -го раствора и $6$ кг $50%$ -го - и в ответ идёт $30% + 50% = 80%$ или среднее $40% .$
Правильно: Складываются массы чистого вещества, а не проценты: $4 \cdot 0, 3 + 6 \cdot 0, 5 = 1, 2 + 3 = 4, 2$ кг вещества на $10$ кг смеси, то есть $42% .$ Среднее арифметическое концентраций верно лишь в одном случае - когда массы растворов равны.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 13

Время выполнения: около $10$ минут. Если ушло больше пятнадцати - ты решаешь задачу второй части, перечитай условие.
Очерёдность: последнее задание первой части, но не последнее по важности. Реши его до того, как уйдёшь во вторую часть: балл здесь дешевле, чем в номерах 14-20.
Единицы измерения: запиши в начале, в чём считаешь - в рублях, тысячах или миллионах, - и не меняй до конца. Половина ошибок в этом номере это лишний или потерянный ноль.
Дроби вместо десятичных: при ставке $12, 5%$ бери $\frac{9}{8},$ а не $1, 125 .$ Степень обыкновенной дроби считается в уме, степень десятичной - нет.
Буквы до последнего: не превращай $k^{n}$ в число, пока не выразил искомую величину. В демо-прототипе $182000$ красиво делится на $3, 64$ - но увидеть это можно только в буквенном виде.
Ответ в бланк: без пробелов и единиц. Число $259200$ записывается как 259200.

Проверь себя0 из 5

1.Кредит

S

гасится тремя равными платежами

X,

коэффициент роста долга

k .

Какое уравнение верно?

2.В условии сказано: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц». Какая это схема?

3.Вклад

100000

рублей под

10%

годовых, проценты прибавляются к вкладу. Сколько на счёте через

2

года?

4.Смешали

3

кг

20%

-го и

7

кг

40%

-го раствора. Какая концентрация получилась?

5.Зарплату повысили на

20%,

а через месяц снизили на

20% .

Что стало с зарплатой?