О задании

Задание 13 - это первое задание второй части профильного ЕГЭ по математике, требующее развёрнутого решения. Оно проверяет твоё умение решать уравнения и отбирать корни на заданном отрезке. Это одно из самых предсказуемых заданий, с которого стоит начинать решение второй части.

Формат ответа: Полное обоснованное решение пунктов «а» и «б».
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 2 первичных балла.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ чаще всего встречаются следующие типы уравнений:
1. Классические тригонометрические (разложение на множители, группировка, сведение к квадратному) - абсолютные лидеры экзамена.
2. Показательные и смешанные - уравнения, где показательная функция содержит тригонометрию в степени (например, $4^{s i n x} + \dots = 0$ ).
3. Уравнения с ограничениями (ОДЗ) - содержат логарифмы, дроби или корни чётной степени. Требуют внимательной проверки условий.

Основные формулы

Для успешного решения тебе нужно знать наизусть базовую тригонометрию.

Решение простейших тригонометрических уравнений

sin x = a ⟹ x = arcsin a + 2 π k и x = π - arcsin a + 2 π k

cos x = a ⟹ x = \pm arccos a + 2 π k

tg x = a ⟹ x = arctg a + π k

(где $k \in Z$ )

Формулы двойного угла

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x

Формулы понижения степени

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2} и cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

Формулы сумм/разностей

cos (x \pm y) = cos x cos y \mp sin x sin y

sin (x \pm y) = sin x cos y \pm cos x sin y

Общий алгоритм решения

Алгоритм решения задания 13

1. Запиши ОДЗ или произведи равносильный переход (если в уравнении есть знаменатели, корни чётной степени или логарифмы).
2. Преобразуй уравнение к простейшему виду. Раскрой скобки, примени формулы двойного угла, формулы суммы, формулы приведения. Твоя цель - сделать так, чтобы все функции зависели от одного угла и привести всё к одной функции.
3. Разложи на множители или сделай замену. Либо вынеси общий множитель за скобки, либо введи новую переменную (например, $t = sin x$ или $t = 3^{x}$ ) и реши простое квадратное, линейное или какое-то другое уравнение.
4. Реши простейшие уравнения. Запиши серии корней для пункта «а», обязательно добавляя период ( $+ 2 π k$ или $+ π k,$ $k \in Z$ ).
5. Отбери корни для пункта «б». Выбери метод: тригонометрическая окружность (обязательно нарисуй её) или двойное неравенство (обязательно покажи подстановку). Выпиши итоговый ответ.

Примеры решения

Ниже разобраны примеры классических задач из реальных вариантов и демоверсий ЕГЭ. В первом примере мы отберём корни с помощью окружности, во втором и третьем - двойным неравенством. Оба метода абсолютно равноценны.

Пример 1. Группировка (отбор по окружности)

Условие:
а) Решите уравнение: $2 sin^{3} x = 2 cos^{2} x + 2 sin x .$
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[- 4 π; - \frac{5 π}{2}] .$

Показать решение

Решение пункта а:
Перенесём $2 sin x$ в левую часть и вынесем за скобки:

2 sin x (sin^{2} x - 1) = 2 cos^{2} x

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^{2} x - 1 = - cos^{2} x :$

- 2 sin x cos^{2} x - 2 cos^{2} x = 0

Вынесем общий множитель $- cos^{2} x :$

- cos^{2} x (2 sin x + 2) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $cos^{2} x = 0 ⟹ cos x = 0 ⟹ x = \frac{π}{2} + π k, k \in Z .$
2) $2 sin x + 2 = 0 ⟹ sin x = - \frac{2}{2} .$
Корни этого уравнения: $x = - \frac{π}{4} + 2 π n$ и $x = - \frac{3 π}{4} + 2 π m,$ где $n, m \in Z .$

Решение пункта б:
Отберём корни с помощью числовой окружности.

Проверим наши серии корней:

Серия $x = \frac{π}{2} + π k$ даёт на дуге точки $- \frac{7 π}{2}$ и $- \frac{5 π}{2}$ (правая граница отрезка).
Серия $x = - \frac{3 π}{4} + 2 π m$ даёт корень в третьей четверти: $- \frac{3 π}{4} - 2 π = - \frac{11 π}{4} .$
Серия $x = - \frac{π}{4} + 2 π n$ не даёт корней на заданном отрезке. Убедимся в этом явно: подставим $n = - 1,$ получим $x = - \frac{π}{4} - 2 π = - \frac{9 π}{4} = - 2, 25 π .$ Правая граница нашего отрезка это $- \frac{5 π}{2} = - 2, 5 π .$ Так как $- 2, 25 π > - 2, 5 π,$ этот корень лежит правее отрезка. При $n = - 2$ получим $- 4, 25 π,$ что левее $- 4 π .$

Ответ:
а) $\frac{π}{2} + π k;$ $- \frac{π}{4} + 2 π n;$ $- \frac{3 π}{4} + 2 π m,$ где $k, n, m \in Z .$
б) $- \frac{7 π}{2};$ $- \frac{11 π}{4};$ $- \frac{5 π}{2} .$

Пример 2. Двойные углы (отбор неравенством)

Условие:
а) Решите уравнение: $cos 2 x - sin 2 x = cos x + sin x + 1 .$
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[\frac{3 π}{2}; 3 π] .$

Показать решение

Решение пункта а:
Применим формулы двойного угла: $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ и $sin 2 x = 2 sin x cos x .$ Также представим $1$ как $cos^{2} x + sin^{2} x :$

cos^{2} x - sin^{2} x - 2 sin x cos x = cos x + sin x + cos^{2} x + sin^{2} x

Уничтожим $cos^{2} x$ слева и справа:

- 2 sin^{2} x - 2 sin x cos x - cos x - sin x = 0

Вынесем $- 2 sin x$ из первых двух слагаемых, а у остальных просто вынесем минус:

- 2 sin x (sin x + cos x) - (cos x + sin x) = 0

- (sin x + cos x) (2 sin x + 1) = 0

1) $sin x + cos x = 0 .$ Разделим на $cos x \neq = 0 :$ $tg x = - 1 ⟹ x = - \frac{π}{4} + π k, k \in Z .$
2) $2 sin x + 1 = 0 ⟹ sin x = - \frac{1}{2} .$
Корни: $x = - \frac{π}{6} + 2 π n$ и $x = - \frac{5 π}{6} + 2 π m,$ где $n, m \in Z .$

Решение пункта б:
Отберём корни методом двойного неравенства.

1) Для $x = - \frac{π}{4} + π k :$

1, 5 π \leq - \frac{π}{4} + π k \leq 3 π ⟹ 1, 5 \leq - 0, 25 + k \leq 3 ⟹ 1, 75 \leq k \leq 3, 25

Целые $k :$ $2, 3 .$
При $k = 2 ⟹ x = - \frac{π}{4} + 2 π = \frac{7 π}{4} .$
При $k = 3 ⟹ x = - \frac{π}{4} + 3 π = \frac{11 π}{4} .$

2) Для $x = - \frac{π}{6} + 2 π n :$

1, 5 \leq - \frac{1}{6} + 2 n \leq 3 ⟹ 1, 66... \leq 2 n \leq 3, 16... ⟹ 0, 83... \leq n \leq 1, 58...

Целые $n :$ $1 .$
При $n = 1 ⟹ x = - \frac{π}{6} + 2 π = \frac{11 π}{6} .$

3) Для $x = - \frac{5 π}{6} + 2 π m :$

1, 5 \leq - \frac{5}{6} + 2 m \leq 3 ⟹ 2, 33... \leq 2 m \leq 3, 83... ⟹ 1, 16... \leq m \leq 1, 91...

Здесь нет целых значений $m,$ серия не даёт корней на отрезке.

Ответ:
а) $- \frac{π}{4} + π k;$ $- \frac{π}{6} + 2 π n;$ $- \frac{5 π}{6} + 2 π m,$ где $k, n, m \in Z .$
б) $\frac{7 π}{4};$ $\frac{11 π}{6};$ $\frac{11 π}{4} .$

Пример 3. Смешанное уравнение

Условие:
а) Решите уравнение: $9^{s i n x} + 9^{- s i n x} = \frac{10}{3} .$
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[- \frac{7 π}{2}; - 2 π] .$

Показать решение

Решение пункта а:
Сделаем замену $t = 9^{s i n x},$ где $t > 0 .$ Тогда $9^{- s i n x} = \frac{1}{t} .$

t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}

Умножим всё на $3 t$ (так как $t \neq = 0$ ):

3 t^{2} - 10 t + 3 = 0

Дискриминант: $D = 100 - 36 = 64 .$
Корни: $t_{1} = \frac{10 + 8}{6} = 3$ и $t_{2} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3} .$

Сделаем обратную замену:
1) $9^{s i n x} = 3 ⟹ 3^{2 s i n x} = 3^{1} ⟹ 2 sin x = 1 ⟹ sin x = \frac{1}{2} .$
Корни: $x = \frac{π}{6} + 2 π k$ и $x = \frac{5 π}{6} + 2 π n .$

2) $9^{s i n x} = \frac{1}{3} ⟹ 3^{2 s i n x} = 3^{- 1} ⟹ 2 sin x = - 1 ⟹ sin x = - \frac{1}{2} .$
Корни: $x = - \frac{π}{6} + 2 π m$ и $x = - \frac{5 π}{6} + 2 π l .$

Для удобства эти четыре серии можно записать компактно: $x = \pm \frac{π}{6} + π k, k \in Z .$

Решение пункта б:
Отберём корни методом двойного неравенства. Так как мы свернули серии в $x = \pm \frac{π}{6} + π k,$ проверим их. Отрезок: $[- 3, 5 π; - 2 π] .$

1) $x = \frac{π}{6} + π k :$

- 3, 5 \leq \frac{1}{6} + k \leq - 2 ⟹ - 3, 66... \leq k \leq - 2, 16...

Единственное целое $k = - 3 .$ Корень: $x = \frac{π}{6} - 3 π = - \frac{17 π}{6} .$

2) $x = - \frac{π}{6} + π n :$

- 3, 5 \leq - \frac{1}{6} + n \leq - 2 ⟹ - 3, 33... \leq n \leq - 1, 83...

Целые $n = - 3$ и $n = - 2 .$
При $n = - 3 :$ $x = - \frac{π}{6} - 3 π = - \frac{19 π}{6} .$
При $n = - 2 :$ $x = - \frac{π}{6} - 2 π = - \frac{13 π}{6} .$

Ответ:
а) $\pm \frac{π}{6} + π k,$ где $k \in Z .$
б) $- \frac{19 π}{6};$ $- \frac{17 π}{6};$ $- \frac{13 π}{6} .$

Частые ошибки

Деление на функцию с потерей корней

Ошибка: Разделить обе части уравнения $2 sin x cos x = cos x$ на $cos x$ и получить $sin x = \frac{1}{2} .$ Ты теряешь серию корней, где $cos x = 0!$
Правильно: Перенести всё в одну сторону и вынести $cos x$ за скобки: $cos x (2 sin x - 1) = 0 .$ Делить на функцию с переменной можно только если ты строго доказал, что она не может быть равна нулю (например, при решении однородных уравнений типа $sin x = cos x$ ).

Необоснованный отбор корней в пункте «б»

Ошибка: Просто написать ответ «Видно, что корни: ...», но не рисовать окружность или не отбирать двойным неравнеством. За это ставят 0 баллов за пункт «б».
Правильно: Окружность - это математическая модель, её надо рисовать. Выдели дугу, отметь точки концов отрезка, отметь точки корней, подпиши их числовые значения. Если не хочешь или боишься рисовать - отбирай двойным неравенством с явным вычислением (как в примерах 2 и 3), это гарантированный метод.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 13

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Решай это задание сразу после проверки тестовой части (задания 1-12). Это твои самые предсказуемые и надёжные 2 балла из второй части.
Проверка: После получения ответа в пункте «б» подставь найденные числа в исходное уравнение (хотя бы в уме). Если равенство не сошлось - ищи ошибку в знаке.
Оформление: Не экономь бумагу. Если используешь окружность - рисуй её крупно, чтобы экзаменатор чётко видел закрашенные границы отрезка.

За что дают баллы

В задании 13 можно получить от 0 до 2 баллов. Критерии оценивания строгие, но понятные:

2 балла (Максимум): Обоснованно получен правильный ответ и в пункте «а» (уравнение решено верно), и в пункте «б» (корни отобраны правильно, метод отбора чётко показан).
1 балл (Частичный):
- Случай 1: Пункт «а» решён идеально, а в пункте «б» допущена ошибка в отборе или он вообще не обоснован (написан голый ответ).
- Случай 2: В решении допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 - 3 = 1$ вместо $- 1$ ), но с этим неверным числом логика решения обоих пунктов безупречна. Внимание: ошибка в знаке при применении тригонометрической формулы - это ошибка в формуле, за неё поставят 0.
0 баллов: Записан только правильный ответ без решения, использованы неверные формулы, потеряны корни при делении, либо допущены грубые алгебраические ошибки. Правильный ответ без решения оценивается в 0 баллов.