О задании
Задание 13 - это первое задание второй части профильного ЕГЭ по математике, требующее развёрнутого решения. Оно проверяет твоё умение решать уравнения и отбирать корни на заданном отрезке. Это одно из самых предсказуемых заданий, с которого стоит начинать решение второй части.
- Формат ответа: Полное обоснованное решение пунктов «а» и «б».
- Уровень сложности: Повышенный.
- Максимальный балл: 2 первичных балла.
Какие темы встречаются
На ЕГЭ чаще всего встречаются следующие типы уравнений:
1. Классические тригонометрические (разложение на множители, группировка, сведение к квадратному) - абсолютные лидеры экзамена.
2. Показательные и смешанные - уравнения, где показательная функция содержит тригонометрию в степени (например, 4sinx+⋯=0).
3. Уравнения с ограничениями (ОДЗ) - содержат логарифмы, дроби или корни чётной степени. Требуют внимательной проверки условий.
Основные формулы
Для успешного решения тебе нужно знать наизусть базовую тригонометрию.
(где k∈Z)
Общий алгоритм решения
1. Запиши ОДЗ или произведи равносильный переход (если в уравнении есть знаменатели, корни чётной степени или логарифмы).
2. Преобразуй уравнение к простейшему виду. Раскрой скобки, примени формулы двойного угла, формулы суммы, формулы приведения. Твоя цель - сделать так, чтобы все функции зависели от одного угла и привести всё к одной функции.
3. Разложи на множители или сделай замену. Либо вынеси общий множитель за скобки, либо введи новую переменную (например, t=sinx или t=3x) и реши простое квадратное, линейное или какое-то другое уравнение.
4. Реши простейшие уравнения. Запиши серии корней для пункта «а», обязательно добавляя период (+2πk или +πk, k∈Z).
5. Отбери корни для пункта «б». Выбери метод: тригонометрическая окружность (обязательно нарисуй её) или двойное неравенство (обязательно покажи подстановку). Выпиши итоговый ответ.
Примеры решения
Ниже разобраны примеры классических задач из реальных вариантов и демоверсий ЕГЭ. В первом примере мы отберём корни с помощью окружности, во втором и третьем - двойным неравенством. Оба метода абсолютно равноценны.
Условие:
а) Решите уравнение: 2sin3x=2cos2x+2sinx.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [−4π;−25π].
Показать решение
Решение пункта а:
Перенесём 2sinx в левую часть и вынесем за скобки:
Используем основное тригонометрическое тождество sin2x−1=−cos2x:
−2sinxcos2x−2cos2x=0Вынесем общий множитель −cos2x:
−cos2x(2sinx+2)=0Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) cos2x=0⟹cosx=0⟹x=2π+πk,k∈Z.
2) 2sinx+2=0⟹sinx=−22.
Корни этого уравнения: x=−4π+2πn и x=−43π+2πm, где n,m∈Z.
Решение пункта б:
Отберём корни с помощью числовой окружности.
Проверим наши серии корней:
- Серия x=2π+πk даёт на дуге точки −27π и −25π (правая граница отрезка).
- Серия x=−43π+2πm даёт корень в третьей четверти: −43π−2π=−411π.
- Серия x=−4π+2πn не даёт корней на заданном отрезке. Убедимся в этом явно: подставим n=−1, получим x=−4π−2π=−49π=−2,25π. Правая граница нашего отрезка это −25π=−2,5π. Так как −2,25π>−2,5π, этот корень лежит правее отрезка. При n=−2 получим −4,25π, что левее −4π.
Ответ:
а) 2π+πk; −4π+2πn; −43π+2πm, где k,n,m∈Z.
б) −27π; −411π; −25π.
Условие:
а) Решите уравнение: cos2x−sin2x=cosx+sinx+1.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [23π;3π].
Показать решение
Решение пункта а:
Применим формулы двойного угла: cos2x=cos2x−sin2x и sin2x=2sinxcosx. Также представим 1 как cos2x+sin2x:
Уничтожим cos2x слева и справа:
−2sin2x−2sinxcosx−cosx−sinx=0Вынесем −2sinx из первых двух слагаемых, а у остальных просто вынесем минус:
−2sinx(sinx+cosx)−(cosx+sinx)=0−(sinx+cosx)(2sinx+1)=01) sinx+cosx=0. Разделим на cosx=0: tgx=−1⟹x=−4π+πk,k∈Z.
2) 2sinx+1=0⟹sinx=−21.
Корни: x=−6π+2πn и x=−65π+2πm, где n,m∈Z.
Решение пункта б:
Отберём корни методом двойного неравенства.
1) Для x=−4π+πk:
1,5π≤−4π+πk≤3π⟹1,5≤−0,25+k≤3⟹1,75≤k≤3,25Целые k: 2,3.
При k=2⟹x=−4π+2π=47π.
При k=3⟹x=−4π+3π=411π.
2) Для x=−6π+2πn:
1,5≤−61+2n≤3⟹1,66...≤2n≤3,16...⟹0,83...≤n≤1,58...Целые n: 1.
При n=1⟹x=−6π+2π=611π.
3) Для x=−65π+2πm:
1,5≤−65+2m≤3⟹2,33...≤2m≤3,83...⟹1,16...≤m≤1,91...Здесь нет целых значений m, серия не даёт корней на отрезке.
Ответ:
а) −4π+πk; −6π+2πn; −65π+2πm, где k,n,m∈Z.
б) 47π; 611π; 411π.
Условие:
а) Решите уравнение: 9sinx+9−sinx=310.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [−27π;−2π].
Показать решение
Решение пункта а:
Сделаем замену t=9sinx, где t>0. Тогда 9−sinx=t1.
Умножим всё на 3t (так как t=0):
3t2−10t+3=0Дискриминант: D=100−36=64.
Корни: t1=610+8=3 и t2=610−8=31.
Сделаем обратную замену:
1) 9sinx=3⟹32sinx=31⟹2sinx=1⟹sinx=21.
Корни: x=6π+2πk и x=65π+2πn.
2) 9sinx=31⟹32sinx=3−1⟹2sinx=−1⟹sinx=−21.
Корни: x=−6π+2πm и x=−65π+2πl.
Для удобства эти четыре серии можно записать компактно: x=±6π+πk,k∈Z.
Решение пункта б:
Отберём корни методом двойного неравенства. Так как мы свернули серии в x=±6π+πk, проверим их. Отрезок: [−3,5π;−2π].
1) x=6π+πk:
−3,5≤61+k≤−2⟹−3,66...≤k≤−2,16...Единственное целое k=−3. Корень: x=6π−3π=−617π.
2) x=−6π+πn:
−3,5≤−61+n≤−2⟹−3,33...≤n≤−1,83...Целые n=−3 и n=−2.
При n=−3: x=−6π−3π=−619π.
При n=−2: x=−6π−2π=−613π.
Ответ:
а) ±6π+πk, где k∈Z.
б) −619π; −617π; −613π.
Частые ошибки
Ошибка: Разделить обе части уравнения 2sinxcosx=cosx на cosx и получить sinx=21. Ты теряешь серию корней, где cosx=0!
Правильно: Перенести всё в одну сторону и вынести cosx за скобки: cosx(2sinx−1)=0. Делить на функцию с переменной можно только если ты строго доказал, что она не может быть равна нулю (например, при решении однородных уравнений типа sinx=cosx).
Ошибка: Просто написать ответ «Видно, что корни: ...», но не рисовать окружность или не отбирать двойным неравнеством. За это ставят 0 баллов за пункт «б».
Правильно: Окружность - это математическая модель, её надо рисовать. Выдели дугу, отметь точки концов отрезка, отметь точки корней, подпиши их числовые значения. Если не хочешь или боишься рисовать - отбирай двойным неравенством с явным вычислением (как в примерах 2 и 3), это гарантированный метод.
Стратегия на экзамене
- Время выполнения: 15-20 минут.
- Очерёдность: Решай это задание сразу после проверки тестовой части (задания 1-12). Это твои самые предсказуемые и надёжные 2 балла из второй части.
- Проверка: После получения ответа в пункте «б» подставь найденные числа в исходное уравнение (хотя бы в уме). Если равенство не сошлось - ищи ошибку в знаке.
- Оформление: Не экономь бумагу. Если используешь окружность - рисуй её крупно, чтобы экзаменатор чётко видел закрашенные границы отрезка.
За что дают баллы
В задании 13 можно получить от 0 до 2 баллов. Критерии оценивания строгие, но понятные:
- 2 балла (Максимум): Обоснованно получен правильный ответ и в пункте «а» (уравнение решено верно), и в пункте «б» (корни отобраны правильно, метод отбора чётко показан).
- 1 балл (Частичный):
- Случай 1: Пункт «а» решён идеально, а в пункте «б» допущена ошибка в отборе или он вообще не обоснован (написан голый ответ).
- Случай 2: В решении допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, 2−3=1 вместо −1), но с этим неверным числом логика решения обоих пунктов безупречна. Внимание: ошибка в знаке при применении тригонометрической формулы - это ошибка в формуле, за неё поставят 0.
- 0 баллов: Записан только правильный ответ без решения, использованы неверные формулы, потеряны корни при делении, либо допущены грубые алгебраические ошибки. Правильный ответ без решения оценивается в 0 баллов.