Уравнения с параметром, содержащие модуль

Уравнения с параметром, содержащие модуль

Задание 19 - это задача высокого уровня сложности, за которую можно получить 4 первичных балла. Модуль в уравнениях с параметром встречается не так часто, как классические квадратные трёхчлены, но именно он вызывает больше всего трудностей.

Главная особенность модуля - он создаёт «излом» на графике функции и заставляет перебирать несколько случаев раскрытия. Основной приём: строишь $y=|f(x)|$ на плоскости $(x;y)$ и двигаешь по ней прямую $y=a$ (или наклонную), считая пересечения.

Основные свойства и формулы

Для начала вспомним базу: как работает модуль.

ВАЖНОЕ

Определение модуля

Модуль числа - это расстояние от начала координат до точки на числовой прямой. Аналитически он раскрывается так:

$$|f(x)|=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{если }f(x)⩾0\\ -f(x),& \text{если }f(x)<0\end{array}$$

Графически это даёт простой приём: берёшь график $y=f(x)\text{,}$ ту часть, что лежит ниже оси $X\text{,}$ зеркально отражаешь наверх - получаешь график $y=|f(x)|\text{.}$ Для $y=|x|$ это «галочка» (V-образная ломаная) с вершиной в начале координат.

Три главных метода решения

Задачи с модулем решаются тремя путями:

1. Аналитический метод. Находишь нули подмодульных выражений, разбиваешь числовую прямую на интервалы и на каждом решаешь уравнение без модуля. Минус: нужно всегда проверять, попал ли корень в «свой» интервал.
2. Графический метод на плоскости $(x;y)\text{.}$ Строишь $y=|f(x)|$ и пересекаешь его графиком правой части. Модуль отражает отрицательную часть наверх. Подходит, когда $x$ и $a$ легко разделить.
3. Графический метод на плоскости $(x;a)\text{.}$ Когда $x$ и $a$ сплетены (например, $|x-a^2|+|x+1|=...$), откладываешь $x$ горизонтально, $a$ вертикально и рисуешь множество пар $(x;a)\text{,}$ удовлетворяющих уравнению. Горизонтальная прямая «высоты $a$» режет этот рисунок - число пересечений равно числу корней.

Алгоритм решения графическим методом

Примеры решения

Разберём задачи от простых к тем, что реально встречаются на экзамене.

Частые ошибки

Что запомнить

• $|f(x)|=g(x)$ требует обязательной проверки $g(x)⩾0\text{.}$

• Графический метод идеален для модулей. Модуль просто отражает отрицательную часть графика наверх.

• Функция $|x-c_1|+|x-c_2|$ - это «корыто» с дном на высоте $|c_1-c_2|\text{.}$

• При перемещении прямых обращай внимание на точки излома (уголки) и точки касания с гладкими дугами.

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

Критерии оценивания задания 19 (максимум 4 балла):

• 4 балла: Обоснованно получен верный ответ. Все случаи рассмотрены, графики (если они есть) построены верно, критические точки найдены без ошибок.

• 3 балла: Решение правильное, но итоговое множество отличается от верного только включением или исключением граничных точек (например, забыл выколоть точку касания, где корней меньше нужного).

• 2 балла: С помощью верного рассуждения получен какой-то промежуток (то есть логика правильная, но часть случаев потеряна) ИЛИ допущена вычислительная ошибка, из-за которой ответ исказился, но алгоритм доведён до конца.

• 1 балл: Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графиков (построены правильные функции) или аналитическому исследованию (выписаны правильные системы при раскрытии модуля).

• 0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев.