Пусть на доске записаны числа в порядке возрастания. Обозначим их буквами.

Решение пункта а:
Попробуем подобрать 5 чисел: $a<b<c<d<e\text{.}$
Минимальное произведение: $a\cdot b⩾41\text{.}$ Максимальное произведение: $d\cdot e⩽99\text{.}$
Попробуем взять числа подряд. Если $b=7\text{,}$ то $a$ может быть $6\text{.}$ Проверим набор: $6,7,8,9,11\text{.}$
Наименьшее произведение: $6\cdot 7=42$ (больше 40).
Наибольшее произведение: $9\cdot 11=99$ (меньше 100).
Условие выполняется.
Ответ на пункт а: да, например, 6, 7, 8, 9, 11.

Решение пункта б:
Пусть чисел 6: $a<b<c<d<e<f\text{.}$
Так как $a\cdot b⩾41$ и числа натуральные различные, то $b$ не может быть меньше 7 (если $b⩽6\text{,}$ то $a⩽5\text{,}$ и $a\cdot b⩽30$).
Значит, $b⩾7\text{.}$ Тогда следующие числа: $c⩾8\text{,}$ $d⩾9\text{,}$ $e⩾10\text{,}$ $f⩾11\text{.}$
Проверим произведение двух наибольших: $e\cdot f⩾10\cdot 11=110\text{.}$
Но по условию произведение любых двух должно быть меньше 100. Противоречие.
Ответ на пункт б: нет.

Решение пункта в:
Пусть чисел 4: $a<b<c<d\text{.}$ Нужно максимизировать сумму $a+b+c+d\text{.}$
Наибольшее произведение: $c\cdot d⩽99\text{.}$
Чтобы сумма была максимальной, числа должны быть как можно больше.
Рассмотрим число $c\text{.}$ Если $c⩾10\text{,}$ то $d⩾11\text{,}$ и их произведение $c\cdot d⩾110>100\text{.}$ Значит, $c⩽9\text{.}$
Если $c=9\text{,}$ то максимально возможное $d=11$ (так как $9\cdot 11=99⩽99\text{,}$ а $9\cdot 12=108$).
Тогда максимальные значения для остальных чисел (учитывая, что они различные): $b=8\text{,}$ $a=7\text{.}$
Проверим этот набор: $7,8,9,11\text{.}$
Минимальное произведение: $7\cdot 8=56>40\text{.}$
Максимальное произведение: $9\cdot 11=99<100\text{.}$
Набор подходит. Сумма равна $7+8+9+11=35\text{.}$
Мы доказали, что числа не могут быть больше выбранных (оценка), и привели пример, когда сумма равна 35.
Ответ на пункт в: 35.

Пусть записаны числа $a_1<a_2<\cdots <a_{11}\text{.}$
Тогда $a_1+\cdots +a_6=6\cdot 5=30\text{.}$
И $a_6+\cdots +a_{11}=6\cdot 15=90\text{.}$

Решение пункта а:
Если наименьшее число $a_1=3\text{,}$ то минимально возможная сумма шести первых чисел (так как они различные натуральные) равна:
$3+4+5+6+7+8=33\text{.}$
Но по условию их сумма равна 30. Противоречие.
Ответ на пункт а: нет.

Решение пункта б:
Сумма всех одиннадцати чисел равна:
${\sum }_{i=1}^{11}{a}_i=(a_1+\cdots +a_6)+(a_6+\cdots +a_{11})-a_6=30+90-a_6=120-a_6\text{.}$
Если среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9, то их сумма должна быть $11\cdot 9=99\text{.}$
Получаем уравнение: $120-a_6=99⟹a_6=21\text{.}$
Но мы знаем, что $a_1+\cdots +a_6=30\text{.}$ Если одно только шестое число равно 21, то сумма первых пяти чисел равна $30-21=9\text{.}$
Но минимальная сумма пяти различных натуральных чисел: $1+2+3+4+5=15>9\text{.}$ Противоречие.
Ответ на пункт б: нет.

Решение пункта в:
По условию $B=a_6\text{,}$ а $S=\frac{120-a_6}{11}\text{.}$
Нужно найти максимум выражения $S-B\text{:}$
$S-B=\frac{120-a_6}{11}-a_6=\frac{120-12a_6}{11}\text{.}$
Чтобы дробь была максимальной, значение $a_6$ должно быть минимально возможным.
Найдём минимальное $a_6\text{.}$ Рассмотрим сумму первых шести: $a_1+\cdots +a_5+a_6=30\text{.}$
Числа различные, поэтому $a_1⩽a_6-5\text{,}$ $a_2⩽a_6-4$ и так далее.
Сумма первых пяти чисел не превышает:
$(a_6-5)+(a_6-4)+(a_6-3)+(a_6-2)+(a_6-1)=5a_6-15\text{.}$
Значит, общая сумма шести чисел:
$5a_6-15+a_6⩾30⟹6a_6⩾45⟹a_6⩾7,5\text{.}$
Так как $a_6$ - натуральное число, минимально возможное значение $a_6=8\text{.}$

Проверим, достижимо ли $a_6=8\text{.}$
Для первой шестёрки нужна сумма 30: $1,3,5,6,7,8$ (сумма 30, $a_6=8$). Условие выполняется.
Для второй шестёрки нужна сумма 90: $8,9,10,11,12,x\text{.}$
$8+9+10+11+12+x=90⟹50+x=90⟹x=40\text{.}$
Набор $1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,40$ удовлетворяет всем условиям.
Значит, $a_6=8$ возможно.
Вычисляем искомое значение:
$S-B=\frac{120-12\cdot 8}{11}=\frac{120-96}{11}=\frac{24}{11}\text{.}$
Ответ на пункт в: $\frac{24}{11}\text{.}$