О задании

Задание 19 - это последняя и самая «нестандартная» задача профильного ЕГЭ. Она проверяет математическую логику, умение строить примеры и доказывать утверждения. Многие боятся этого задания, считая его уделом олимпиадников, но пункты «а» и «б» часто решаются простым перебором и логикой уровня 6–8 класса. Это отличный шанс заработать дополнительные баллы!

Формат ответа: Развёрнутое обоснованное решение пунктов «а», «б» и «в».
Уровень сложности: Высокий.
Максимальный балл: 4 первичных балла (каждый пункт и шаг имеют вес).

Какие темы встречаются

В задании 19 нет сложных интегралов или логарифмов. Абсолютное большинство задач посвящено свойствам натуральных и целых чисел. Самые частые сюжеты:
1. Числовые наборы на доске или карточках (нужно стирать, добавлять, считать среднее арифметическое или сумму).
2. Делимость и остатки (задачи на суммы цифр, кратные числа).
3. Последовательности и прогрессии (арифметическая прогрессия встречается регулярно).

Основные факты и инструменты

В 19 задании нужно не столько знать формулы, сколько уметь пользоваться базовыми правилами математики.

Чётность и нечётность

При сложении и вычитании:

Ч \pm Ч = Ч, Н \pm Н = Ч, Ч \pm Н = Н

При умножении произведение чётно, если хотя бы один из множителей чётный.

Признаки делимости

На 2, 5, 10: число делится, если его последняя цифра делится на 2, 5 или 10.
На 3 и 9: число делится, если сумма всех его цифр делится на 3 или 9.
На 4: число делится, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4.

Остатки от деления

Любое целое число $a$ можно представить в виде $a = b \cdot q + r,$ где $b$ - делитель, $q$ - неполное частное, а $r$ - остаток ( $0 ⩽ r < b$ ). Важное свойство: остаток суммы равен сумме остатков, а остаток произведения равен произведению остатков.

Общий алгоритм решения

Как решать задание 19

1. Внимательно прочитай условия ограничения. Самые частые ловушки: сказано «натуральные» (без нуля и отрицательных), а используются целые; сказано «различные», а в примере есть одинаковые.
2. Пункт «а» (1 балл): Приведи пример. Не нужно выводить сложных формул. Начни с малых чисел, попробуй подобрать подходящий набор в черновике. Если нашлась подходящая комбинация - просто запиши её и покажи, что она подходит под все условия.
3. Пункт «б» (1 балл): Докажи невозможность или приведи пример. Если подобрать числа не получается, скорее всего, ответ «нет». Докажи это: используй оценку (сумма получается слишком большой/маленькой), свойства чётности или остатки.
4. Пункт «в» (2 балла): Оценка + Пример. Сначала докажи, что искомая величина не может быть больше (или меньше) какого-то числа $M .$ Затем обязательно приведи конкретный пример набора чисел, при котором достигается это значение $M .$

Примеры решения

Ниже разобраны классические задачи на «числа на доске», которые отлично иллюстрируют логику экзамена.

Пример 1. Оценки произведений

Условие:
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Показать решение

Пусть на доске записаны числа в порядке возрастания. Обозначим их буквами.

Решение пункта а:
Попробуем подобрать 5 чисел: $a < b < c < d < e .$
Минимальное произведение: $a \cdot b ⩾ 41 .$ Максимальное произведение: $d \cdot e ⩽ 99 .$
Попробуем взять числа подряд. Если $b = 7,$ то $a$ может быть $6 .$ Проверим набор: $6, 7, 8, 9, 11 .$
Наименьшее произведение: $6 \cdot 7 = 42$ (больше 40).
Наибольшее произведение: $9 \cdot 11 = 99$ (меньше 100).
Условие выполняется.
Ответ на пункт а: да, например, 6, 7, 8, 9, 11.

Решение пункта б:
Пусть чисел 6: $a < b < c < d < e < f .$
Так как $a \cdot b ⩾ 41$ и числа натуральные различные, то $b$ не может быть меньше 7 (если $b ⩽ 6,$ то $a ⩽ 5,$ и $a \cdot b ⩽ 30$ ).
Значит, $b ⩾ 7 .$ Тогда следующие числа: $c ⩾ 8,$ $d ⩾ 9,$ $e ⩾ 10,$ $f ⩾ 11 .$
Проверим произведение двух наибольших: $e \cdot f ⩾ 10 \cdot 11 = 110 .$
Но по условию произведение любых двух должно быть меньше 100. Противоречие.
Ответ на пункт б: нет.

Решение пункта в:
Пусть чисел 4: $a < b < c < d .$ Нужно максимизировать сумму $a + b + c + d .$
Наибольшее произведение: $c \cdot d ⩽ 99 .$
Чтобы сумма была максимальной, числа должны быть как можно больше.
Рассмотрим число $c .$ Если $c ⩾ 10,$ то $d ⩾ 11,$ и их произведение $c \cdot d ⩾ 110 > 100 .$ Значит, $c ⩽ 9 .$
Если $c = 9,$ то максимально возможное $d = 11$ (так как $9 \cdot 11 = 99 ⩽ 99,$ а $9 \cdot 12 = 108$ ).
Тогда максимальные значения для остальных чисел (учитывая, что они различные): $b = 8,$ $a = 7 .$
Проверим этот набор: $7, 8, 9, 11 .$
Минимальное произведение: $7 \cdot 8 = 56 > 40 .$
Максимальное произведение: $9 \cdot 11 = 99 < 100 .$
Набор подходит. Сумма равна $7 + 8 + 9 + 11 = 35 .$
Мы доказали, что числа не могут быть больше выбранных (оценка), и привели пример, когда сумма равна 35.
Ответ на пункт в: 35.

Пример 2. Среднее арифметическое

Условие:
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть $B$ - шестое по величине число, а $S$ - среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S - B .$

Показать решение

Пусть записаны числа $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{11} .$
Тогда $a_{1} + \dots + a_{6} = 6 \cdot 5 = 30 .$
И $a_{6} + \dots + a_{11} = 6 \cdot 15 = 90 .$

Решение пункта а:
Если наименьшее число $a_{1} = 3,$ то минимально возможная сумма шести первых чисел (так как они различные натуральные) равна:
$3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33 .$
Но по условию их сумма равна 30. Противоречие.
Ответ на пункт а: нет.

Решение пункта б:
Сумма всех одиннадцати чисел равна:
$\sum_{i = 1}^{11} a_{i} = (a_{1} + \dots + a_{6}) + (a_{6} + \dots + a_{11}) - a_{6} = 30 + 90 - a_{6} = 120 - a_{6} .$
Если среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9, то их сумма должна быть $11 \cdot 9 = 99 .$
Получаем уравнение: $120 - a_{6} = 99 ⟹ a_{6} = 21 .$
Но мы знаем, что $a_{1} + \dots + a_{6} = 30 .$ Если одно только шестое число равно 21, то сумма первых пяти чисел равна $30 - 21 = 9 .$
Но минимальная сумма пяти различных натуральных чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 > 9 .$ Противоречие.
Ответ на пункт б: нет.

Решение пункта в:
По условию $B = a_{6},$ а $S = \frac{120 - a _{6}}{11} .$
Нужно найти максимум выражения $S - B :$
$S - B = \frac{120 - a _{6}}{11} - a_{6} = \frac{120 - 12 a _{6}}{11} .$
Чтобы дробь была максимальной, значение $a_{6}$ должно быть минимально возможным.
Найдём минимальное $a_{6} .$ Рассмотрим сумму первых шести: $a_{1} + \dots + a_{5} + a_{6} = 30 .$
Числа различные, поэтому $a_{1} ⩽ a_{6} - 5,$ $a_{2} ⩽ a_{6} - 4$ и так далее.
Сумма первых пяти чисел не превышает:
$(a_{6} - 5) + (a_{6} - 4) + (a_{6} - 3) + (a_{6} - 2) + (a_{6} - 1) = 5 a_{6} - 15 .$
Значит, общая сумма шести чисел:
$5 a_{6} - 15 + a_{6} ⩾ 30 ⟹ 6 a_{6} ⩾ 45 ⟹ a_{6} ⩾ 7, 5 .$
Так как $a_{6}$ - натуральное число, минимально возможное значение $a_{6} = 8 .$

Проверим, достижимо ли $a_{6} = 8 .$
Для первой шестёрки нужна сумма 30: $1, 3, 5, 6, 7, 8$ (сумма 30, $a_{6} = 8$ ). Условие выполняется.
Для второй шестёрки нужна сумма 90: $8, 9, 10, 11, 12, x .$
$8 + 9 + 10 + 11 + 12 + x = 90 ⟹ 50 + x = 90 ⟹ x = 40 .$
Набор $1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40$ удовлетворяет всем условиям.
Значит, $a_{6} = 8$ возможно.
Вычисляем искомое значение:
$S - B = \frac{120 - 12 \cdot 8}{11} = \frac{120 - 96}{11} = \frac{24}{11} .$
Ответ на пункт в: $\frac{24}{11} .$

Частые ошибки

Оценка без примера (или пример без оценки)

Ошибка: В пункте «в» написать долгие рассуждения, доказать, что наибольшая сумма равна 35, и написать ответ. За это ставят только 1 балл из 2 возможных за этот пункт!
Правильно: Принцип «Оценка + Пример» неразделим. Доказав, что больше 35 быть не может (оценка), обязательно напиши: «Пример такого набора: 7, 8, 9, 11» и покажи вычисления.

Невнимательность к слову «различные» или «натуральные»

Ошибка: Подобрать для пункта «а» пример с нулём (ноль - целое, но не натуральное число) или пример, где есть два одинаковых числа, когда в условии сказано «различные».
Правильно: После того как придуман пример, перечитай первое предложение задачи и сверь каждую деталь.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 19

Время выполнения: 30-40 минут в самом конце экзамена.
Очерёдность: Не решай это задание первым из второй части! Оно затягивает. Приступай к нему, когда геометрия, параметры и уравнения уже решены или если они "не идут".
Сбор баллов: Пункт «а» - самый лёгкий балл на всём профильном ЕГЭ. Это просто игра в числа на черновике. Всегда пробуй решить хотя бы его. Пункт «б» тоже часто поддаётся простому перебору или школьной логике.
Пункт «в»: Для получения баллов за пункт «в» нужно и доказательство оценки (что лучше быть не может), и пример. Одного примера без доказательства недостаточно - за него не дадут баллов. Если не умеешь доказывать оценки, лучше потратить время на пункты «а» и «б» - они суммарно дают 2 балла.

За что дают баллы

Оценивание задания 19 максимально прозрачно:

4 балла (Максимум): Полностью и обоснованно решены все три пункта.
3 балла: Обоснованно получен верный ответ в пункте «в» И обоснованно решён пункт «а» ИЛИ пункт «б».
2 балла: Обоснованно получены верные ответы в пунктах «а» И «б» (пункт «в» не решён или решён неверно). ИЛИ обоснованно решён только пункт «в» (и оценка, и пример).
1 балл: Обоснованно получен верный ответ ТОЛЬКО в пункте «а» ИЛИ ТОЛЬКО в пункте «б».
0 баллов: Записаны только ответы (например, "а) да, б) нет") без обоснования. Ответ "Да" без примера не стоит ничего. Пример без доказательства в пункте «в» тоже не даёт баллов.