Задание 19: Задача с параметром

Если задача сводится к уравнению вида $a{x}^2+bx+c=0$ при $a\ne 0\text{,}$ всё зависит от дискриминанта $D=b^2-4ac\text{:}$

• $D>0$ - два корня.
• $D=0$ - один корень (условие касания).
• $D<0$ - нет корней.
  Помни про теорему Виета: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}\text{,}$ $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\text{.}$

Важно: если коэффициент при $x^2$ зависит от параметра, отдельно разбери случай $a=0$ - уравнение становится линейным.

Для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ с корнями $x_1,x_2$ часто требуется проверить не только их существование, но и их расположение:

• Оба корня положительны: $D⩾0\text{,}$ $x_1+x_2>0\text{,}$ $x_1\cdot x_2>0\text{.}$
• Оба корня отрицательны: $D⩾0\text{,}$ $x_1+x_2<0\text{,}$ $x_1\cdot x_2>0\text{.}$
• Корни разных знаков: $x_1\cdot x_2<0$ (при этом $D>0$ автоматически).
• Один из корней равен заданному числу $x_0\text{:}$ подставляем и получаем $a{x}_0^2+b{x}_0+c=0\text{.}$

Геометрическое место точек, равноудалённых от центра $(x_0;y_0)$ на радиус $R\text{,}$ задаётся уравнением:

Если выразить $y\text{,}$ получится полуокружность: $y=y_0+\sqrt{R^2-(x-x_0{)}^2}$ (верхняя) или с минусом перед корнем (нижняя).

Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax+By+C=0\text{,}$ равно:

Когда применять: условие касания прямой и окружности - расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d=R$). Часто это короче, чем приравнивать уравнения и работать с дискриминантом.

По определению модуль неотрицателен и раскрывается так:

График $y=|x|$ - это «галочка» (V-образная ломаная) с вершиной в начале координат. Обе ветви наклонены под углом $45^{\circ }$ к оси $X\text{.}$

График $y=|x-x_0|+y_0$ - та же «галочка», но с вершиной в точке $(x_0;y_0)\text{.}$

Если в уравнении две переменные - $x$ и параметр $a\text{,}$ - попробуй выразить $a$ через $x\text{:}$

После этого построй график функции $a=f(x)$ на плоскости $(x;a)\text{.}$ Горизонтальная прямая $a=\text{const}$ пересекает график в стольких точках, сколько корней имеет исходное уравнение при соответствующем значении параметра.

Преимущество метода: вместо движения прямой или окружности ты просто ищешь горизонтали на фиксированном графике. Это особенно удобно, когда параметр входит линейно.

Если уравнение сводится к виду $f(x;y)\cdot g(x;y)=0\text{,}$ то оно распадается на совокупность:

Графически это объединение двух фигур. Например, уравнение $(x^2+y^2-9)(y-x)=0$ задаёт объединение окружности радиуса $3$ и прямой $y=x\text{:}$ точка $(x;y)$ удовлетворяет уравнению тогда и только тогда, когда она лежит на окружности ИЛИ на прямой.

Если одно из уравнений системы распадается на множители, система тоже разбивается на несколько подсистем - решения нужно объединить.

Чётная функция: $f(-x)=f(x)\text{.}$ Если $x_0$ - корень уравнения, то и $-x_0$ тоже корень.

Следствие для задач на единственность: если функция в уравнении чётная по $x\text{,}$ то единственный корень возможен только при $x=0$ (иначе будет пара симметричных корней).

Алгоритм «необходимо + достаточно»:
1. Подставляем $x=0$ в уравнение и находим значения параметра $a$ (необходимое условие).
2. Для каждого найденного $a$ подставляем обратно в исходное уравнение и проверяем, действительно ли корень $x=0$ единственный (достаточное условие).

То же работает и для симметрии относительно точки $x_0\text{:}$ если $f(2x_0-x)=f(x)\text{,}$ то корни симметричны относительно $x_0\text{,}$ и «кандидат» на единственный корень - $x=x_0\text{.}$

Монотонность: если $f$ строго монотонна (только возрастает или только убывает), то уравнение $f(x)=c$ имеет не более одного корня. Кроме того:

Это позволяет «скидывать» одинаковую функцию с обеих сторон уравнения.