Угол между скрещивающимися прямыми

Задание 15 проверяет пространственное мышление. Поиск угла между скрещивающимися прямыми - одна из самых частых подзадач этого номера. Плюс темы в том, что она решается двумя способами: классическим (параллельный перенос) и координатным. На экзамене выбирай тот, где выкладки проще.

Суть темы

Скрещивающиеся прямые - это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не параллельны и никогда не пересекаются. Представь эстакаду над шоссе: машины едут по двум разным дорогам, которые не пересекаются, но и не идут параллельно.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

iЗАМЕЧАНИЕ

Важное правило

Угол между прямыми (пересекающимися или скрещивающимися) всегда лежит в $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}] .$ Он не может быть тупым. Если при вычислениях получился тупой - запиши смежный острый ( $18 0^{\circ}$ минус найденный).

Основные формулы и методы

У задачи два инструмента. Выбор зависит от фигуры.

1. Классический метод (параллельный перенос)

Идея: возьми одну из скрещивающихся прямых и сдвинь её параллельно самой себе так, чтобы она пересекла вторую. Удобно переносить через вершину второй прямой или через середину отрезка.

ВАЖНОЕ

Алгоритм параллельного переноса

Пусть даны скрещивающиеся прямые $a$ и $b .$

1. Выбери удобную точку $M$ на прямой $a .$
2. Проведи через $M$ прямую $b_{1},$ параллельную $b .$
3. Угол между $a$ и $b$ равен углу между пересекающимися $a$ и $b_{1} .$
4. Дострой треугольник и найди угол по теореме косинусов.

2. Координатно-векторный метод

Идеально работает в фигурах с прямыми углами: кубах, прямоугольных параллелепипедах, правильных призмах и пирамидах, цилиндрах.

Любая прямая задаётся направляющим вектором - ненулевым вектором, лежащим на прямой или ей параллельным. Для отрезка $M N$ направляющий вектор считается через «конец минус начало»: $M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M}) .$

ВАЖНОЕ

Косинус угла между прямыми через векторы

Пусть прямая $l_{1}$ имеет направляющий вектор $l_{1} = {x_{1}; y_{1}; z_{1}},$ а прямая $l_{2}$ - направляющий вектор $l_{2} = {x_{2}; y_{2}; z_{2}} .$

Косинус угла $α$ между этими прямыми:

cos α = \frac{∣ l _{1} \cdot l _{2} ∣}{∣ l _{1} ∣ \cdot ∣ l _{2} ∣} = \frac{∣ x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2} + z _{1} z _{2} ∣}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} + z _{1}^{2} \cdot x _{2}^{2} + y _{2}^{2} + z _{2}^{2}}

Модуль в числителе гарантирует, что косинус положителен, а значит, найденный угол $α$ будет острым (или прямым, если числитель равен нулю).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на скрещивающиеся прямые

1. Сделай качественный чертёж. Обозначь обе прямые и ключевые точки. Невидимые рёбра - пунктиром.
2. Оцени фигуру. Куб, цилиндр, параллелепипед - вводи систему координат. Пирамида без прямых углов в основании - ищи параллельный перенос.
3. Пункт «а» (доказательство). Часто просят доказать перпендикулярность. Инструменты: теорема о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности прямой и плоскости. В координатном методе достаточно показать, что скалярное произведение направляющих векторов равно нулю.
4. Пункт «б» (вычисление).

Классика: перенос, треугольник, теорема косинусов.
Координаты: направляющие векторы, подстановка в формулу.
5. Запиши ответ. Проверь, просят сам угол ( $arccos$ ) или только его косинус.

Примеры решения

Первый пример - разгоночный, показывает оба метода на одной задаче. Второй - полный формат ЕГЭ с пунктами «а» и «б» в цилиндре.

ПРИМЕР 1

Правильная пирамида (два метода)

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ все рёбра равны $2 .$ Найдите угол между прямыми $S A$ и $B C .$

ПРИМЕР 2

Скрещивающиеся прямые в цилиндре

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности нижнего основания выбран диаметр $A B$ и точка $C,$ на окружности верхнего основания выбраны точки $A_{1}$ и $C_{1},$ причём $A A_{1}$ и $C C_{1}$ - образующие цилиндра. Известно, что $A C = 6,$ $B C = 8,$ $A A_{1} = 12 .$

а) Докажите, что прямые $B C$ и $A C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите косинус угла между прямыми $A C_{1}$ и $A_{1} B .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытый модуль в координатном методе

Ошибка: Получить отрицательный косинус (например $- 0, 5$ ) и записать в ответ угол $12 0^{\circ} .$
Правильно: Угол между прямыми по определению не может быть тупым. Векторы могут смотреть в разные стороны и образовывать тупой угол, но прямые задают две пары вертикальных углов, из которых в ответ идёт острый. Всегда бери модуль скалярного произведения в числителе: $∣ - 0, 5∣ = 0, 5,$ угол $6 0^{\circ} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ложный угол на плоском чертеже

Ошибка: Соединить две скрещивающиеся прямые случайным отрезком (например, нарисовать диагональ на грани) и пытаться искать угол в получившемся неплоском «треугольнике».
Правильно: Угол существует только между пересекающимися прямыми. Пока ты параллельно не сдвинул одну прямую до пересечения со второй или не ввёл координаты, плоского угла на чертеже просто нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверно определён направляющий вектор

Ошибка: Для прямой $M N$ взять координаты вектора как $M N = (x_{M} + x_{N}; y_{M} + y_{N}; z_{M} + z_{N})$ - то есть сложить координаты вместо вычитания.
Правильно: Направляющий вектор отрезка - это «конец минус начало»: $M N = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M}) .$ Знак итогового косинуса не важен (его съест модуль), но величины координат - принципиально.

Что запомнить

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
Угол между ними - это острый угол между параллельными им прямыми, проведёнными через одну точку.
Два метода: параллельный перенос (сложные пирамиды без прямых углов) и координаты (кубы, параллелепипеды, правильные призмы, цилиндры).
Формула: $cos α = \frac{∣ l _{1} \cdot l _{2} ∣}{∣ l _{1} ∣ \cdot ∣ l _{2} ∣} .$ Модуль обязателен.
Если в основании цилиндра задан треугольник с вершиной на окружности и гипотенузой-диаметром - в этой вершине всегда прямой угол (вписанный угол на диаметр).

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Ориентировочное время: 20-30 минут.
Приоритет: Решай после 13 (уравнения) и 15 (неравенства). Стереометрия требует концентрации и времени на чертёж.
Хитрости оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Не получается доказать перпендикулярность в «а», но умеешь посчитать угол в «б» через координаты - считай. За верный «б» без опоры на недоказанный «а» дают 2 балла. За верный «а» + арифметическую ошибку в «б» - 2 балла.
Для круглых тел: В цилиндре и конусе координаты работают прекрасно. Начало ставь либо в центр основания, либо в вершину прямого угла (если такой есть внутри конфигурации - например, вписанный угол на диаметре).
Быстрая проверка: Косинус должен получиться в диапазоне $[0; 1] .$ Если получилось $> 1$ - ошибка в подсчёте длин векторов. Если $< 0$ - забыл модуль.

За что дают баллы

Максимум за задание 15 - 3 первичных балла.

3 балла: Строгое доказательство пункта «а» со ссылками на теоремы и верный обоснованный ответ в пункте «б».
2 балла:
- Пункт «а» доказан верно, логика пункта «б» правильная, но допущена вычислительная ошибка (например, неправильно сложены числа под корнем).
- ИЛИ пункт «б» решён абсолютно верно и обоснованно, а пункт «а» не решался (или решён с фатальной логической ошибкой).
1 балл:
- Идеально доказан только пункт «а».
- ИЛИ в пункте «б» получен правильный ответ с использованием утверждения из пункта «а», при этом сам пункт «а» не доказан.
0 баллов: Решение не содержит верных продвижений (нет доказательства, выбран неверный метод, ошибка в координатах точек, исказившая геометрический смысл). Голый ответ без решения - всегда 0.

Проверь себя0 из 4

1.В каком диапазоне лежит угол между скрещивающимися прямыми?

2.Зачем в формуле

cos α = \frac{∣ l _{1} \cdot l _{2} ∣}{∣ l _{1} ∣ \cdot ∣ l _{2} ∣}

стоит модуль в числителе?

3.Направляющий вектор отрезка

M N

считается так:

4.В координатном методе получили

cos α = - 0, 5 .

Каков угол между прямыми?