Задание 15: Неравенства | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 15 проверяет умение решать неравенства повышенной сложности. Это первая алгебраическая задача второй части, в которой требуется записать полное обоснованное решение.

Формат ответа: Развёрнутое решение и ответ в виде объединения промежутков.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 2 первичных балла.

Уверенное решение этого номера - обязательное условие для получения высоких баллов (80+) на экзамене.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ доминируют два типа неравенств:

1. Логарифмические неравенства - обычно это дробно-рациональные выражения, где логарифм выступает в роли переменной. Решаются заменой $t = lo g_{a} (x) .$
2. Показательные неравенства - конструкции со степенями, которые также сводятся к рациональным неравенствам через замену $t = a^{x} .$
3. Неравенства с логарифмами по переменному основанию - встречаются реже, но регулярно. Классическая ситуация для применения метода рационализации.

Основные формулы и методы

Для решения показательных и логарифмических неравенств необходимо в совершенстве владеть свойствами степеней и логарифмов, а также знать мощный инструмент - метод рационализации.

Свойства степеней

Основные тождества для упрощения показательных выражений (при $a > 0$ ):

a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y} a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}

(a^{x})^{y} = a^{x y} a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}

(ab)^{x} = a^{x} \cdot b^{x} a^{0} = 1

Свойства логарифмов

Основные тождества, которые применяются для упрощения (при $a > 0, a \neq = 1, b > 0, c > 0$ ):

lo g_{a} (b) + lo g_{a} (c) = lo g_{a} (b \cdot c)

lo g_{a} (b) - lo g_{a} (c) = lo g_{a} (\frac{b}{c})

lo g_{a^{k}} (b^{m}) = \frac{m}{k} lo g_{a} (b)

Равносильные переходы

При переходе от показательного или логарифмического неравенства к алгебраическому знак неравенства сохраняется при основании $> 1$ и меняется на противоположный при основании $< 1$ .

Для показательного неравенства (при $a > 0,$ $a \neq = 1$ ):

a^{f (x)} ⩾ a^{g (x)} ⟺ {f (x) ⩾ g (x), f (x) ⩽ g (x), если a > 1 если 0 < a < 1

Для логарифмического неравенства (на ОДЗ):

lo g_{a} f (x) ⩾ lo g_{a} g (x) ⟺ {f (x) ⩾ g (x), f (x) ⩽ g (x), если a > 1 если 0 < a < 1

Метод рационализации (замена множителя)

Если логарифмическое или показательное выражение является множителем в неравенстве, сравниваемом с нулём, его можно заменить на более простое рациональное выражение (при условии соблюдения всех ограничений исходного неравенства).

Для логарифмов. Знак выражения $lo g_{a} (f (x)) - lo g_{a} (g (x))$ совпадает со знаком:

(a - 1) (f (x) - g (x))

Частный случай: знак $lo g_{a} (f (x))$ совпадает со знаком:

(a - 1) (f (x) - 1)

Для степеней. Знак выражения $a^{f (x)} - a^{g (x)}$ совпадает со знаком:

(a - 1) (f (x) - g (x))

Частный случай: знак $a^{f (x)} - 1$ совпадает со знаком:

(a - 1) \cdot f (x)

Общий алгоритм решения

Вне зависимости от того, логарифмическое перед тобой неравенство или показательное, подход всегда одинаковый.

Алгоритм решения неравенства

1. Выпиши ограничения (ОДЗ). Для логарифмов: аргумент $> 0,$ основание $> 0$ и $\neq = 1 .$ Для дробей: знаменатель $\neq = 0 .$ Для корней чётной степени: подкоренное выражение $⩾ 0 .$
2. Упрости выражение. Сведи все логарифмы или степени к одному основанию. Используй свойства логарифмов или вынеси общие множители.
3. Выбери путь преобразования.

Если основание постоянное - делай замену переменной ( $t = 2^{x}$ или $t = lo g_{3} (x)$ ) и переходи к дробно-рациональному неравенству.
Если основание переменное - применяй метод рационализации, заменяя логарифм или степень на равносильное по знаку рациональное выражение.

4. Примени метод интервалов. Найди нули числителя и знаменателя. Отметь их на числовой оси (нули знаменателя всегда выколоты, даже в нестрогом неравенстве). Расставь знаки на полученных интервалах и выбери нужные.
5. Сделай обратную замену. Запиши полученные промежутки для $t$ в виде простейших неравенств и вернись к исходной переменной $x .$
6. Пересеки с ограничениями. Наложи полученный ответ на условия из первого шага. Запиши итоговый результат через объединение промежутков.

Примеры решения

Разберём три типичных примера: показательное неравенство с заменой, логарифмическое неравенство с заменой, и неравенство с переменным основанием через рационализацию.

Пример 1. Показательное неравенство

Решите неравенство: $\frac{9 ^{x} - 10 \cdot 3 ^{x} + 9}{3 ^{x} - 27} ⩾ 0$

Показать решение

Запишем выражение, приведя степени к одному основанию $3 :$

\frac{( 3 ^{x} ) ^{2} - 10 \cdot 3 ^{x} + 9}{3 ^{x} - 27} ⩾ 0

Сделаем замену переменной $t = 3^{x} .$ Заметим, что $t > 0$ при любых действительных $x .$
Неравенство принимает вид:

\frac{t ^{2} - 10 t + 9}{t - 27} ⩾ 0

Найдём корни квадратного трёхчлена в числителе по теореме Виета: $t_{1} = 1,$ $t_{2} = 9 .$ Разложим числитель на множители:

\frac{( t - 1 ) ( t - 9 )}{t - 27} ⩾ 0

Применим метод интервалов для переменной $t .$ Корни числителя $1$ и $9$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а корень знаменателя $27$ - выколотым.

$Числовая ось для переменной t$

Получаем решение для $t :$

1 ⩽ t ⩽ 9 или t > 27

Сделаем обратную замену $t = 3^{x} :$
1) $1 ⩽ 3^{x} ⩽ 9 ⟹ 3^{0} ⩽ 3^{x} ⩽ 3^{2} ⟹ 0 ⩽ x ⩽ 2$
2) $3^{x} > 27 ⟹ 3^{x} > 3^{3} ⟹ x > 3$

Ограничений на подкоренные выражения или логарифмы в исходном неравенстве нет, знаменатель уже учтён выколотой точкой.

Ответ: $[0; 2] \cup (3; + \infty)$

Пример 2. Логарифмическое неравенство с заменой

Решите неравенство: $\frac{lo g _{2}^{2} ( x ) - lo g _{2} ( x ) - 2}{lo g _{2} ( x ) - 3} ⩾ 0$

Показать решение

Выпишем ограничения. Аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатель не может быть нулём:

{x > 0 lo g_{2} (x) - 3 \neq = 0 ⟹ {x > 0 x \neq = 8

Сделаем замену переменной $t = lo g_{2} (x) .$ Заметим, что $t$ может принимать любые действительные значения (в отличие от показательной замены, ограничения $t > 0$ здесь нет).
Неравенство принимает вид:

\frac{t ^{2} - t - 2}{t - 3} ⩾ 0

Разложим числитель на множители. По теореме Виета корни $t_{1} = 2,$ $t_{2} = - 1 :$

\frac{( t - 2 ) ( t + 1 )}{t - 3} ⩾ 0

Применим метод интервалов. Корни числителя $- 1$ и $2$ - закрашенные (нестрогое неравенство), корень знаменателя $3$ - выколотый.

$Числовая ось для переменной t$

Получаем решение для $t :$

- 1 ⩽ t ⩽ 2 или t > 3

Сделаем обратную замену $t = lo g_{2} (x) :$
1) $- 1 ⩽ lo g_{2} (x) ⩽ 2 ⟹ 2^{- 1} ⩽ x ⩽ 2^{2} ⟹ \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ 4$
2) $lo g_{2} (x) > 3 ⟹ x > 2^{3} ⟹ x > 8$

Оба промежутка целиком лежат в области допустимых значений ( $x > 0,$ $x \neq = 8$ ), дополнительное ограничение $x \neq = 8$ уже учтено выколотой точкой $t = 3 .$

Ответ: $[\frac{1}{2}; 4] \cup (8; + \infty)$

Пример 3. Неравенство с переменным основанием

Решите неравенство: $lo g_{x} (4 - x) ⩽ 1$

Показать решение

Выпишем ограничения на переменную $x :$

⎩ ⎨ ⎧ 4 - x > 0 x > 0 x \neq = 1 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ x < 4 x > 0 x \neq = 1

Итоговая область допустимых значений: $x \in (0; 1) \cup (1; 4) .$

Представим единицу в виде логарифма по основанию $x$ и перенесём всё в левую часть:

lo g_{x} (4 - x) - lo g_{x} (x) ⩽ 0

Применим метод рационализации. На области допустимых значений знак разности логарифмов совпадает со знаком соответствующего рационального выражения:

(x - 1) ((4 - x) - x) ⩽ 0

(x - 1) (4 - 2 x) ⩽ 0

Вынесем $- 2$ из второй скобки:

- 2 (x - 1) (x - 2) ⩽ 0

Разделим обе части на $- 2,$ при этом знак неравенства перевернётся:

(x - 1) (x - 2) ⩾ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни $1$ и $2 .$
Решение: $x ⩽ 1$ или $x ⩾ 2 .$

$Пересечение решений с ограничениями$

Наложим полученный результат на исходные ограничения $x \in (0; 1) \cup (1; 4) .$

Пересечение $x ⩽ 1$ с ограничениями даёт интервал $(0; 1) .$ Точка $1$ выкалывается из-за ОДЗ.
Пересечение $x ⩾ 2$ с ограничениями даёт полуинтервал $[2; 4) .$

Ответ: $(0; 1) \cup [2; 4)$

Частые ошибки

Потеря ограничений логарифма

Ошибка: Решить логарифмическое неравенство $lo g_{2} (x - 5) < 3 ⟹ x - 5 < 8 ⟹ x < 13$ и записать в ответ $(- \infty; 13) .$
Правильно: Аргумент логарифма обязан быть строго больше нуля. Неравенство $x - 5 < 8$ должно дополняться условием $x - 5 > 0 .$ Правильный ответ: $(5; 13) .$

Сокращение выражений с переменной

Ошибка: Разделить обе части неравенства $(x - 3) \cdot lo g_{5} (x) ⩾ 0$ на $x - 3,$ не поменяв при этом знак или потеряв корень.
Правильно: Делить на выражение с переменной в неравенствах запрещено, так как ты не знаешь его знак. Нужно перенести всё в одну часть, разложить на множители и применять метод интервалов.

Забытое ограничение при замене переменной

Ошибка: Сделать замену $t = 3^{x},$ получить решение $t < - 2$ или $t > 5$ и тут же написать " $3^{x} < - 2$ или $3^{x} > 5$ ", возвращаясь к $x$ с обоими промежутками.
Правильно: При замене $t = a^{x}$ всегда выполнено $t > 0 .$ Любые промежутки для $t,$ попадающие в область $t ⩽ 0,$ надо сразу отбрасывать. Обратная закономерность действует для $t = lo g_{a} (x) :$ здесь $t$ может принимать любые действительные значения, никакого ограничения нет.

За что дают баллы

В задании 15 критерии оценивания довольно строгие, но оставляют возможность получить частичный балл:

2 балла выставляется за полностью верное и обоснованное решение с правильным ответом.
1 балл можно получить в двух случаях:
1. Допущена ровно одна вычислительная ошибка, но при этом шаг за шагом проведено верное рассуждение, доведённое до конца.
2. Полученный ответ отличается от абсолютно верного исключением ровно одной точки (например, ты забыл включить изолированную точку в ответ: написал $(2; + \infty)$ вместо ${1} \cup (2; + \infty)$ ).
0 баллов ставится, если допущена логическая ошибка (например, неправильно найдено ОДЗ и из-за этого потерян кусок ответа), допущена ошибка в свойствах логарифмов или ответ отличается от верного более чем на одну точку.

Стратегия на экзамене

Стратегия

Ориентировочное время: 15–20 минут.
Приоритет: Решай это задание сразу после задания 13 (уравнения). Это стандартная алгебра, которая приносит надёжные баллы.
Проверка ответа: Обязательно подставь 1-2 числа из полученных промежутков в исходное неравенство. Затем подставь число из промежутка, который в ответ не вошёл. Это позволит выявить $90%$ ошибок с ОДЗ или знаками в методе интервалов.
Формат ответа: Записывай ответ через знак объединения $\cup,$ строго различая круглые и квадратные скобки. Квадратная $[$ - точка включена (нестрогое неравенство), круглая $($ - выколота (строгое неравенство, нуль знаменателя или нарушение ОДЗ). Путаница скобок - стандартный способ потерять 1 балл.
Оформление: Пиши слова "Ограничения" или "Условия" вместо аббревиатуры "ОДЗ". К аббревиатуре ОДЗ эксперты относятся строго: если написал эти три буквы, обязан выписать и решить вообще все существующие ограничения выражения. Если забыл хоть одно (даже то, которое потом "само отсеется"), эксперт может снизить балл.