Угол между прямой и плоскостью — ЕГЭ профиль

Угол между прямой и плоскостью (Задание 15)

Задание 15 проверяет знание стереометрии. Найти угол между прямой и плоскостью - одна из самых частых задач в пункте «б». Чтобы успешно с ней справиться, можно использовать два принципиально разных подхода: классический (геометрический) и метод координат.

Суть темы

Угол между прямой и плоскостью - это угол между самой прямой и её проекцией на эту плоскость.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол равен $9 0^{\circ} .$ Если параллельна плоскости или лежит в ней, то угол равен $0^{\circ} .$ Во всех остальных случаях угол между прямой и плоскостью - это острый угол (от $0^{\circ}$ до $9 0^{\circ}$ ).

Чтобы найти проекцию прямой, нужно взять любую точку на этой прямой и опустить из неё перпендикуляр на плоскость. Затем соединить основание перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости.

Основные формулы и методы

Для решения задач на вычисление угла применяются два метода. Выбор зависит от того, насколько удобно строить проекцию на чертеже.

ВАЖНОЕ

Классический метод (через прямоугольный треугольник)

1. Найти точку пересечения прямой $l$ и плоскости $α$ (пусть это точка $M$ ).
2. Из любой точки $A,$ лежащей на прямой $l,$ опустить перпендикуляр $A H$ на плоскость $α .$
3. Соединить точки $M$ и $H .$ Отрезок $M H$ - проекция прямой на плоскость.
4. Искомый угол - это угол $∠ A M H$ в прямоугольном треугольнике $△ A M H .$ Его можно найти через синус, косинус или тангенс.

ВАЖНОЕ

Векторно-координатный метод

Если фигура в задаче имеет много прямых углов (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма) или построить перпендикуляр геометрически сложно, введи систему координат.

Пусть вектор $l = (x_{l}; y_{l}; z_{l})$ - направляющий вектор прямой, а вектор $n = (A; B; C)$ - вектор нормали к плоскости (перпендикулярный любой прямой в этой плоскости).
Тогда синус искомого угла $ϕ$ вычисляется по формуле:

sin ϕ = \frac{∣ l \cdot n ∣}{∣ l ∣ \cdot ∣ n ∣} = \frac{∣ A \cdot x _{l} + B \cdot y _{l} + C \cdot z _{l} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot x _{l}^{2} + y _{l}^{2} + z _{l}^{2}}

iЗАМЕЧАНИЕ

Важно для метода координат

Обрати внимание: классическая формула угла между векторами ищет косинус. Но угол между прямой и плоскостью дополняет угол между направляющим вектором и нормалью до $9 0^{\circ} .$ Поэтому в формуле угла между прямой и плоскостью стоит синус!

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как искать угол между прямой и плоскостью

1. Выбери метод. Если в фигуре легко провести перпендикуляр к плоскости (например, плоскость является основанием пирамиды) - используй классику. Если плоскость проходит под кривым углом внутри фигуры - вводи координаты.
2. Для классического метода: построй перпендикуляр и проекцию. Обязательно словами обоснуй, почему проведённый отрезок действительно перпендикулярен плоскости (используй признак перпендикулярности прямой и плоскости).
3. Для метода координат: помести фигуру в систему координат. Найди координаты двух точек на прямой и вычти их, чтобы получить вектор $l .$ Найди уравнение плоскости $A x + B y + C z + D = 0,$ чтобы достать вектор нормали $n = (A; B; C) .$ Подставь в формулу синуса.
4. Запиши ответ. Если значение синуса не табличное, запиши ответ через арксинус: $ϕ = arcsin (\dots) .$

Примеры

Ниже разобраны две задачи. Первую решим классическим геометрическим путём, а во второй применим мощь метода координат.

ПРИМЕР 1

Классический метод в призме

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ все рёбра равны $2 .$ Точка $M$ - середина ребра $A_{1} C_{1} .$
а) Докажите, что прямая $B M$ перпендикулярна прямой $A C .$
б) Найдите угол между прямой $B M$ и плоскостью основания $A B C .$

ПРИМЕР 2

Метод координат в пирамиде

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B = 6,$ а боковое ребро $S A = 36 .$ На ребре $S C$ отмечена точка $K$ так, что $S K : K C = 1 : 2 .$
а) Докажите, что прямая $B D$ перпендикулярна плоскости $S A C .$
б) Найдите угол между прямой $B K$ и плоскостью $S A C .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в векторах: синус или косинус

Ошибка: Вычислить угол через метод координат по стандартной формуле и записать $cos ϕ = \dots,$ после чего дать ответ $arccos (\dots) .$
Правильно: При поиске угла между прямой и плоскостью векторная формула даёт синус искомого угла. Правильная запись: $sin ϕ = \dots ⟹ ϕ = arcsin (\dots) .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованная проекция в классическом методе

Ошибка: Начертить отрезок от точки до плоскости, объявить его перпендикуляром "на глаз" и начать считать углы.
Правильно: Обязательно докажи, что построенный тобой отрезок реально перпендикулярен плоскости. Для этого нужно доказать, что он перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Без этого доказательства за пункт «б» поставят 0 баллов.

Что запомнить

Угол между прямой и плоскостью - это угол с проекцией.
Искомый угол всегда острый (максимум $9 0^{\circ}$ ).
Координатный метод прощает слабое геометрическое зрение, но требует внимательности в счёте.
В формуле координатного метода вычисляется $sin α .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Ориентировочное время: 20-30 минут.
Приоритет: Решай задачу 15 только после заданий 14, 16 и 17. Стереометрия часто требует времени на хорошие чертежи и поиск идей.
Выбор метода: Внимательно посмотри на фигуру. Если это куб, прямоугольный параллелепипед или правильная пирамида - сразу вводи систему координат. Это механический способ получить верный ответ, даже если ты не видишь, где именно находится нужный угол в пространстве.
Хитрость оценивания: Пункт «б» можно решать, даже если ты не смог доказать пункт «а». Просто поверь в то, что просили доказать в «а», и используй этот факт. За правильный расчёт дадут 1 балл.

За что дают баллы

В задании 15 за стереометрию можно набрать до 3 первичных баллов.

3 балла (Максимум): Безупречно доказан пункт «а», правильно и обоснованно вычислен ответ в пункте «б».
2 балла: Пункт «а» не решён (или содержит логическую ошибку), но пункт «б» решён абсолютно верно и независимо. ИЛИ доказан пункт «а», логика пункта «б» абсолютно верна, но в самом конце допущена одна глупая вычислительная ошибка.
1 балл: Верно доказан только пункт «а». ИЛИ пункт «а» не сделан, а пункт «б» решён верно с опорой на утверждение из пункта «а» (которое ты принял как данность).
0 баллов: Геометрические построения ошибочны, координатный метод применён неверно, правильного продвижения нет. Голый ответ без решения не засчитывается.

Проверь себя0 из 4

1.Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и...

2.Что даёт векторно-координатная формула

\frac{∣ l \cdot n ∣}{∣ l ∣ \cdot ∣ n ∣}

при поиске угла между прямой и плоскостью?

3.Чему равен угол между прямой и плоскостью, если его синус равен

\frac{2}{2} ?

4.Прямая параллельна плоскости. Чему равен угол между ними?