Цилиндр

Цилиндр (Задание 3)

Задание 3 проверяет знание базовой стереометрии. Цилиндр встречается здесь не так часто, как пирамида или призма, но задачи на него весьма коварны. Главная их особенность - они редко просят вычислить объём «в лоб». Чаще всего нужно понять, как изменится объём или площадь, если увеличить радиус или высоту в несколько раз.

Для решения таких задач не нужно знать точные значения радиуса и высоты, достаточно понимать, как работают формулы.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Объём цилиндра

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. В основании цилиндра всегда лежит круг, площадь которого равна $\pi R^2\text{.}$

$$V=\pi R^{2}h$$

ВАЖНОЕ

Осевое сечение цилиндра

Если разрезать цилиндр плоскостью, проходящей через центры обоих оснований, в сечении получится прямоугольник. Его стороны - это диаметр основания ($2R$) и высота цилиндра ($h$).

$$S_{\text{сеч}}=2R\cdot h$$

Алгоритм решения задач на изменение параметров

Типичная задача ЕГЭ про цилиндр звучит так: «У первого цилиндра высота в $X$ раз больше, а радиус в $Y$ раз меньше...». Чтобы не запутаться, действуй строго по шагам.

Примеры решения

Разберём задачи от самых простых к типичным экзаменационным.

ПРИМЕР 1

Изменение радиуса и высоты

Даны два цилиндра. Объём первого цилиндра равен $12\text{.}$ У второго цилиндра высота в $2$ раза меньше, а радиус основания в $3$ раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Частые ошибки

Что запомнить

• Степень влияния: Изменение высоты меняет объём линейно (высота $\times 2⟹$ объём $\times 2$). Изменение радиуса меняет объём квадратично (радиус $\times 2⟹$ объём $\times 4$).
• Переливание воды: Если переливаем воду из узкого стакана в широкий, объём остаётся неизменным. Составляй уравнение $V_1=V_2\text{.}$
• Без вычислений $\pi \text{:}$ Никогда не пытайся подставлять вместо $\pi$ число $3,14\text{.}$ В заданиях первой части $\pi$ всегда сокращается.