Задание 3: Простейшая стереометрия — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 3 проверяет твоё умение работать с базовыми пространственными фигурами. Здесь не нужно строить сложные сечения или доказывать теоремы, как в задании 15 второй части. Главная цель - узнать фигуру, вспомнить нужную формулу и аккуратно посчитать.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ чаще всего встречаются следующие темы:
1. Объём составного многогранника - абсолютный лидер. Нужно найти объём части фигуры или фигуры с вырезом.
2. Комбинации тел - шар, вписанный в цилиндр, конус внутри призмы и так далее.
3. Конус, шар, призма, цилиндр - классические задачи на одну формулу.

Основные формулы

Все пространственные тела для вычисления объёма условно делятся на три группы: «прямые» (призмы и цилиндры), «острые» (пирамиды и конусы) и шар.

ВАЖНОЕ

Объёмы призм и цилиндров

V = S_{осн} \cdot h

(где $S_{осн}$ - площадь основания, $h$ - высота)

ВАЖНОЕ

Объёмы пирамид и конусов

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

(появляется коэффициент $\frac{1}{3}$ )

ВАЖНОЕ

Объём и площадь поверхности шара

V = \frac{4}{3} π R^{3} и S = 4 π R^{2}

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 3

1. Идентифицируй фигуры. Пойми, о каком теле (или комбинации тел) идёт речь.
2. Выпиши нужные формулы. Если в задаче есть цилиндр и конус - напиши формулы для обоих, чтобы видеть связь.
3. Найди связь параметров. В комбинациях тел у фигур часто совпадают высоты или радиусы оснований. Вырази неизвестное через известное.
4. Разбей на части (для составных тел). Если фигура нестандартная, дострой её до целого многогранника и вычти лишнее, либо разбей на несколько простых фигур (например, на два прямоугольных параллелепипеда).
5. Вычисли. Убедись, что в результате сократились все $π$ и корни, так как ответ должен быть целым числом или конечной десятичной дробью.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Составной многогранник

Условие:
В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 6,$ $B C = 5,$ $A A_{1} = 4 .$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, D, A_{1}, B_{1} .$

ПРИМЕР 2

Комбинация тел (шар и цилиндр)

Условие:
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна $33 .$ Найдите площадь поверхности шара.

ПРИМЕР 3

Комбинация тел (сфера и конус)

Условие:
Около конуса описана сфера. Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $72 .$ Найдите радиус сферы.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в коэффициентах объёма

Ошибка: При вычислении объёма пирамиды или конуса забыть умножить на $\frac{1}{3}$ и использовать формулу $V = S_{осн} \cdot h .$
Правильно: Всегда проверяй тип фигуры. Если фигура «сужается» к одной вершине (пирамида, конус) - в формуле объёма обязательно есть $\frac{1}{3} .$ У фигур с двумя одинаковыми основаниями (призма, цилиндр) этого коэффициента нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки размерности

Ошибка: Считать, что если все рёбра куба увеличить в $2$ раза, то его объём тоже увеличится в $2$ раза.
Правильно: При изменении всех линейных размеров в $k$ раз, площадь изменяется в $k^{2}$ раз, а объём - в $k^{3}$ раз. Если ребро увеличили в $2$ раза, объём вырастет в $2^{3} = 8$ раз.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 3

Время выполнения: 3-5 минут.
Очерёдность: Решай это задание в первую очередь, вместе с остальной тестовой частью.
Проверка: Если в задаче фигурирует число $π$ (цилиндры, конусы, шары), в финальном ответе оно должно обязательно сократиться. Ответы вида « $3 π$ » в бланк первой части записать нельзя. Если $π$ осталось - ищи ошибку в вычислениях или перечитай вопрос (иногда просят найти $\frac{V}{π}$ ).
Визуализация: Обязательно рисуй плоские сечения для задач с комбинацией тел (как в примере 3). Работать с плоским чертежом в разы проще, чем пытаться представить объёмную фигуру в уме.

Проверь себя0 из 4

1.По какой формуле вычисляется объём конуса?

2.Все рёбра куба увеличили в

3

раза. Во сколько раз увеличился его объём?

3.Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна

18 .

Чему равна площадь поверхности шара?

4.Плоскость проходит через диагонали двух противоположных граней прямоугольного параллелепипеда. Какую часть объёма параллелепипеда отсекает эта плоскость?