Задание 3: Простейшая стереометрия | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 3 проверяет твоё умение работать с базовыми пространственными фигурами. Здесь не нужно строить сложные сечения или доказывать теоремы, как в задании 14 второй части. Главная цель - узнать фигуру, вспомнить нужную формулу и аккуратно посчитать.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ чаще всего встречаются следующие темы:
1. Объём составного многогранника - абсолютный лидер. Нужно найти объём части фигуры или фигуры с вырезом.
2. Комбинации тел - шар, вписанный в цилиндр, конус внутри призмы и так далее.
3. Конус, шар, призма, цилиндр - классические задачи на одну формулу.

Основные формулы

Все пространственные тела для вычисления объёма условно делятся на три группы: «прямые» (призмы и цилиндры), «острые» (пирамиды и конусы) и шар.

$Группы пространственных тел$

Объёмы призм и цилиндров

V = S_{осн} \cdot h

(где $S_{осн}$ - площадь основания, $h$ - высота)

Объёмы пирамид и конусов

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

(появляется коэффициент $\frac{1}{3}$ )

Объём и площадь поверхности шара

V = \frac{4}{3} π R^{3} и S = 4 π R^{2}

Общий алгоритм решения

Алгоритм решения задания 3

1. Идентифицируй фигуры. Пойми, о каком теле (или комбинации тел) идёт речь.
2. Выпиши нужные формулы. Если в задаче есть цилиндр и конус - напиши формулы для обоих, чтобы видеть связь.
3. Найди связь параметров. В комбинациях тел у фигур часто совпадают высоты или радиусы оснований. Вырази неизвестное через известное.
4. Разбей на части (для составных тел). Если фигура нестандартная, дострой её до целого многогранника и вычти лишнее, либо разбей на несколько простых фигур (например, на два прямоугольных параллелепипеда).
5. Вычисли. Убедись, что в результате сократились все $π$ и корни, так как ответ должен быть целым числом или конечной десятичной дробью.

Примеры решения

Пример 1. Составной многогранник

Условие:
В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 6,$ $B C = 5,$ $A A_{1} = 4 .$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, D, A_{1}, B_{1} .$

$Многогранник в параллелепипеде$

Показать решение

Многогранник с вершинами $A, B, C, D, A_{1}, B_{1}$ - это треугольная призма, отсечённая от исходного прямоугольного параллелепипеда плоскостью $A_{1} B_{1} C D .$

Плоскость, проходящая через диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда, делит его объём ровно пополам.

$Многогранник в параллелепипеде$

1) Найдём объём всего параллелепипеда:

V_{параллелепипеда} = A B \cdot B C \cdot A A_{1} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

2) Разделим объём пополам:

V_{искомый} = \frac{120}{2} = 60

Ответ: $60$

Пример 2. Комбинация тел (шар и цилиндр)

Условие:
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна $33 .$ Найдите площадь поверхности шара.

$Шар, вписанный в цилиндр$

Показать решение

$Шар, вписанный в цилиндр$

Пусть радиус шара равен $R .$ Так как шар вписан в цилиндр, он касается оснований и боковой поверхности цилиндра.
Отсюда следует два важных факта:
1. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R .$
2. Высота цилиндра равна диаметру шара, то есть $h = 2 R .$

Запишем формулу площади полной поверхности цилиндра (две площади основания плюс боковая поверхность):

S_{цил} = 2 π R^{2} + 2 π R \cdot h

Подставим $h = 2 R :$

S_{цил} = 2 π R^{2} + 2 π R \cdot 2 R = 2 π R^{2} + 4 π R^{2} = 6 π R^{2}

По условию $6 π R^{2} = 33 .$

Запишем формулу площади поверхности шара:

S_{шар} = 4 π R^{2}

Теперь выразим $S_{шар}$ через $S_{цил} .$ Заметим, что $4 π R^{2}$ составляет две трети от $6 π R^{2} :$

S_{шар} = \frac{4}{6} \cdot S_{цил} = \frac{2}{3} \cdot 33 = 22

Ответ: $22$

Пример 3. Комбинация тел (сфера и конус)

Условие:
Около конуса описана сфера. Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $72 .$ Найдите радиус сферы.

$Сфера и конус$

Показать решение

Сделай плоский чертёж осевого сечения. В сечении мы получим равнобедренный треугольник (конус), вписанный в окружность (сферу).
По условию центр сферы совпадает с центром основания конуса. Это значит, что основание конуса проходит через центр сферы, а диаметр основания конуса равен диаметру сферы.

$Сфера и конус$

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник, где катеты - это высота конуса и радиус основания, а гипотенуза - образующая $l = 72 .$
Так как центр сферы лежит на середине гипотенузы осевого сечения, радиус основания конуса $R$ и его высота $h$ равны радиусу сферы $R .$
Получаем прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $R$ и гипотенузой $72 .$

По теореме Пифагора:

R^{2} + R^{2} = (72)^{2}

2 R^{2} = 49 \cdot 2

2 R^{2} = 98 ⟹ R^{2} = 49 ⟹ R = 7

Ответ: $7$

Частые ошибки

Путаница в коэффициентах объёма

Ошибка: При вычислении объёма пирамиды или конуса забыть умножить на $\frac{1}{3}$ и использовать формулу $V = S_{осн} \cdot h .$
Правильно: Всегда проверяй тип фигуры. Если фигура «сужается» к одной вершине (пирамида, конус) - в формуле объёма обязательно есть $\frac{1}{3} .$ У фигур с двумя одинаковыми основаниями (призма, цилиндр) этого коэффициента нет.

Ошибки размерности

Ошибка: Считать, что если все рёбра куба увеличить в $2$ раза, то его объём тоже увеличится в $2$ раза.
Правильно: При изменении всех линейных размеров в $k$ раз, площадь изменяется в $k^{2}$ раз, а объём - в $k^{3}$ раз. Если ребро увеличили в $2$ раза, объём вырастет в $2^{3} = 8$ раз.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 3

Время выполнения: 3–5 минут.
Очерёдность: Решай это задание в первую очередь, вместе с остальной тестовой частью.
Проверка: Если в задаче фигурирует число $π$ (цилиндры, конусы, шары), в финальном ответе оно должно обязательно сократиться. Ответы вида « $3 π$ » в бланк первой части записать нельзя. Если $π$ осталось - ищи ошибку в вычислениях или перечитай вопрос (иногда просят найти $\frac{V}{π}$ ).
Визуализация: Обязательно рисуй плоские сечения для задач с комбинацией тел (как в примере 3). Работать с плоским чертежом в разы проще, чем пытаться представить объёмную фигуру в уме.