Разобрался в теме? Закрепи на задачах
Задачи по каждой теме с ИИ-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.
Задание 14 - это твой главный источник баллов во второй части ЕГЭ. Тригонометрические уравнения, которые сводятся к квадратным, встречаются здесь очень часто. Внешне они могут выглядеть пугающе из-за разных функций или двойных углов, но на деле решаются по одному и тому же простому шаблону.
Суть метода такая: с помощью формул приводишь уравнение к одной функции (только синусу или только косинусу) с одинаковым аргументом, а затем делаешь замену переменной и решаешь обычное квадратное уравнение. После обратной замены остаётся простейшее тригонометрическое уравнение вида sinx=a или cosx=a - с ним ты уже умеешь работать.
Чтобы свести уравнение к квадратному, тебе понадобится всего пара базовых формул. Учить десятки тождеств для этого типа задач не нужно.
Позволяет превратить синус в косинус и наоборот, если они стоят в квадрате:
sin2x+cos2x=1Отсюда выражаем:
sin2x=1−cos2xcos2x=1−sin2xВыбор формы зависит от того, какая ещё функция есть в уравнении: если рядом стоит sinx, бери запись через sin2x; если cosx - через cos2x.
Косинус двойного угла встречается в задании 14 чаще других формул. У него есть три формы, но для сведения к квадратному уравнению нужны эти две:
cos2x=1−2sin2xcos2x=2cos2x−1Выбирай ту формулу, которая оставит в уравнении только одну функцию.
1. Упрости аргументы. Если есть отрицательные углы (например, −x), избавься от минуса по правилам чётности и нечётности.
2. Приведи к одной функции. Используй формулы выше, чтобы в уравнении остался только sinx или только cosx.
3. Сделай замену. Пусть t=sinx или t=cosx. Обязательно укажи ограничение ∣t∣⩽1, так как синус и косинус не могут быть больше 1 или меньше −1.
4. Реши квадратное уравнение. Найди корни t1 и t2. Сразу отбрось те, которые не подходят под ограничение.
5. Сделай обратную замену. Реши простейшие уравнения вида sinx=t или cosx=t. Запиши ответ для пункта «а».
6. Отбери корни для пункта «б». Используй один из двух методов: либо нарисуй тригонометрическую окружность и отметь дугу отрезка, либо составь двойное неравенство α⩽x⩽β для каждой серии и найди целые значения параметра.
Ниже две типичные задачи в стиле реального ЕГЭ. Первая - на основное тождество и отрицательные углы с отбором по окружности, вторая - на двойной угол с отбором двойным неравенством. Оба метода отбора работают одинаково хорошо - выбирай тот, что тебе удобнее.
Условие:
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;3π].
Условие:
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π;−23π].
Ошибка: Получить корни квадратного уравнения t1=−2 и t2=−21 и записать sinx=−2, а затем x=arcsin(−2)+2πk.
Правильно: Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1. Уравнение sinx=−2 не имеет решений. Корень t1=−2 просто отбрасывается с пояснением «не подходит по условию ∣t∣⩽1», и дальше работаешь только с t2. Пропуск этой проверки - одна из самых частых ошибок в задании 14.
Ошибка: Написать sin(−x)=sinx или cos(−x)=−cosx.
Правильно: Запомни: минус «съедается» только косинусом. cos(−x)=cosx, но sin(−x)=−sinx. Потеряешь минус у синуса - получишь совершенно другие корни квадратного уравнения и, как следствие, неверный ответ.
1. Смесь sin2x и cosx (или наоборот) - используй основное тригонометрическое тождество sin2x+cos2x=1.
2. Смесь cos2x и функции без двойного угла - применяй формулу двойного угла так, чтобы осталась одна функция.
3. Всегда указывай ограничение ∣t∣⩽1 при замене и проверяй оба корня квадратного уравнения на принадлежность отрезку [−1;1].
4. При отборе корней по окружности в пункте «б» выделяй дугу, подписывай её концы и показывай вычисление каждой точки. При отборе двойным неравенством - явно записывай цепочку преобразований и перечисляй подходящие целые значения параметра.
Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Решай это задание первым из второй части. Это самый предсказуемый и стандартизированный номер.
Проверка: После получения ответа в пункте «а» возьми k=0 и подставь корень в исходное уравнение. Сошлось? Значит, первая часть решена верно.
Выбор метода отбора: Окружность наглядна на коротких отрезках (⩽2π), но на длинных отрезках или при нескольких сериях удобнее двойное неравенство - меньше шансов пропустить корень.
Оформление пункта «б»: Если отбираешь по окружности - выдели штриховкой дугу, отметь её концы (числами из условия) и покажи вычисление каждой точки (например, x=2π−π/3=5π/3). Если отбираешь неравенством - запиши цепочку преобразований и перечисли подходящие целые значения. За ответ без обоснования отбора балл не дадут.
В задании 14 можно получить от 0 до 2 первичных баллов.
2 балла: Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Переход к квадратному уравнению описан (замена, ограничение, отбор корня t), обратная замена выполнена, отбор корней показан явно (окружность или двойное неравенство).
1 балл: Возможны две ситуации:
0 баллов: Ошибка в тригонометрической формуле, неверное табличное значение синуса или косинуса, потерянное ограничение ∣t∣⩽1, грубая алгебраическая ошибка или записан только правильный ответ без решения.