Задание 14: Уравнения — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 14 - это первое задание второй части профильного ЕГЭ по математике, требующее развёрнутого решения. Оно проверяет твоё умение решать уравнения и отбирать корни на заданном отрезке. Это одно из самых предсказуемых заданий, с которого стоит начинать решение второй части.

Формат ответа: Полное обоснованное решение пунктов «а» и «б».
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 2 первичных балла.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ чаще всего встречаются следующие типы уравнений:
1. Классические тригонометрические (разложение на множители, группировка, сведение к квадратному) - абсолютные лидеры экзамена.
2. Показательные и смешанные - уравнения, где показательная функция содержит тригонометрию в степени (например, $4^{s i n x} + \dots = 0$ ).
3. Уравнения с ограничениями (ОДЗ) - содержат логарифмы, дроби или корни чётной степени. Требуют внимательной проверки условий.

Основные формулы

Для успешного решения тебе нужно знать наизусть базовую тригонометрию.

ВАЖНОЕ

Решение простейших тригонометрических уравнений

sin x = a ⟹ x = arcsin a + 2 π k и x = π - arcsin a + 2 π k

cos x = a ⟹ x = \pm arccos a + 2 π k

t g x = a ⟹ x = arct g a + π k

(где $k \in Z$ )

ВАЖНОЕ

Формулы двойного угла

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x

ВАЖНОЕ

Формулы понижения степени

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2} и cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

ВАЖНОЕ

Формулы сумм/разностей

cos (x \pm y) = cos x cos y \mp sin x sin y

sin (x \pm y) = sin x cos y \pm cos x sin y

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 14

1. Запиши ОДЗ или произведи равносильный переход (если в уравнении есть знаменатели, корни чётной степени или логарифмы).
2. Преобразуй уравнение к простейшему виду. Раскрой скобки, примени формулы двойного угла, формулы суммы, формулы приведения. Твоя цель - сделать так, чтобы все функции зависели от одного угла и привести всё к одной функции.
3. Разложи на множители или сделай замену. Либо вынеси общий множитель за скобки, либо введи новую переменную (например, $t = sin x$ или $t = 3^{x}$ ) и реши простое квадратное, линейное или какое-то другое уравнение.
4. Реши простейшие уравнения. Запиши серии корней для пункта «а», обязательно добавляя период ( $+ 2 π k$ или $+ π k,$ $k \in Z$ ).
5. Отбери корни для пункта «б». Выбери метод: тригонометрическая окружность (обязательно нарисуй её) или двойное неравенство (обязательно покажи подстановку). Выпиши итоговый ответ.

Потяни угол θ по окружности — так удобно отбирать корни на отрезке

Примеры решения

Ниже разобраны примеры классических задач из реальных вариантов и демоверсий ЕГЭ. В первом примере мы отберём корни с помощью окружности, во втором и третьем - двойным неравенством. Оба метода абсолютно равноценны.

ПРИМЕР 1

Группировка (отбор по окружности)

Условие:
а) Решите уравнение: $2 sin^{3} x = 2 cos^{2} x + 2 sin x .$
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[- 4 π; - \frac{5 π}{2}] .$

ПРИМЕР 2

Двойные углы (отбор неравенством)

Условие:
а) Решите уравнение: $cos 2 x - sin 2 x = cos x + sin x + 1 .$
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[\frac{3 π}{2}; 3 π] .$

ПРИМЕР 3

Смешанное уравнение

Условие:
а) Решите уравнение: $9^{s i n x} + 9^{- s i n x} = \frac{10}{3} .$
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[- \frac{7 π}{2}; - 2 π] .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на функцию с потерей корней

Ошибка: Разделить обе части уравнения $2 sin x cos x = cos x$ на $cos x$ и получить $sin x = \frac{1}{2} .$ Ты теряешь серию корней, где $cos x = 0!$
Правильно: Перенести всё в одну сторону и вынести $cos x$ за скобки: $cos x (2 sin x - 1) = 0 .$ Делить на функцию с переменной можно только если ты строго доказал, что она не может быть равна нулю (например, при решении однородных уравнений типа $sin x = cos x$ ).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Необоснованный отбор корней в пункте «б»

Ошибка: Просто написать ответ «Видно, что корни: ...», но не рисовать окружность или не отбирать двойным неравенством. За это ставят 0 баллов за пункт «б».
Правильно: Окружность - это математическая модель, её надо рисовать. Выдели дугу, отметь точки концов отрезка, отметь точки корней, подпиши их числовые значения. Если не хочешь или боишься рисовать - отбирай двойным неравенством с явным вычислением (как в примерах 2 и 3), это гарантированный метод.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 14

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Решай это задание сразу после проверки тестовой части (задания 1-13). Это твои самые предсказуемые и надёжные 2 балла из второй части.
Проверка: После получения ответа в пункте «б» подставь найденные числа в исходное уравнение (хотя бы в уме). Если равенство не сошлось - ищи ошибку в знаке.
Оформление: Не экономь бумагу. Если используешь окружность - рисуй её крупно, чтобы экзаменатор чётко видел закрашенные границы отрезка.

За что дают баллы

В задании 14 можно получить от 0 до 2 баллов. Критерии оценивания строгие, но понятные:

2 балла (Максимум): Обоснованно получен правильный ответ и в пункте «а» (уравнение решено верно), и в пункте «б» (корни отобраны правильно, метод отбора чётко показан).
1 балл (Частичный):
- Случай 1: Пункт «а» решён идеально, а в пункте «б» допущена ошибка в отборе или он вообще не обоснован (написан голый ответ).
- Случай 2: В решении допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 - 3 = 1$ вместо $- 1$ ), но с этим неверным числом логика решения обоих пунктов безупречна. Внимание: ошибка в знаке при применении тригонометрической формулы - это ошибка в формуле, за неё поставят 0.
0 баллов: Записан только правильный ответ без решения, использованы неверные формулы, потеряны корни при делении, либо допущены грубые алгебраические ошибки. Правильный ответ без решения оценивается в 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно общее решение уравнения

cos x = a

при

∣ a ∣ ⩽ 1 ?

2.Почему нельзя делить обе части уравнения

2 sin x cos x = cos x

на

cos x ?

3.Сколько баллов дают за задание 14, если пункт «а» решён верно, а в пункте «б» написан голый ответ без обоснования отбора?

4.Какая формула понижения степени верна?