Тригонометрические уравнения, разные… — ЕГЭ профиль

Тригонометрические уравнения (разные задачи)

Задание 14 - это первая задача второй части и твой главный источник первичных баллов. В категории «разные задачи» собраны уравнения, которые нельзя решить в один шаг с помощью простой замены или вынесения за скобки.

Здесь от тебя требуется применить несколько тригонометрических формул, чтобы «причесать» уравнение, свести его к одинаковым углам и функциям, а затем решить стандартным методом (группировкой или сведением к квадратному).

Основные формулы

Для этого типа задач необходимо знать наизусть три блока формул.

ВАЖНОЕ

Формулы двойного угла

sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α

Для косинуса есть три варианта, выбирай тот, который выгоднее в конкретном уравнении:

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

ВАЖНОЕ

Синус и косинус суммы/разности

Часто встречаются в скобках вида $(x + \frac{π}{3})$ или $(x - \frac{π}{4}) .$

sin (α \pm β) = sin α \cdot cos β \pm cos α \cdot sin β

cos (α \pm β) = cos α \cdot cos β \mp sin α \cdot sin β

(Обрати внимание: у косинуса знак в формуле меняется на противоположный!)

ВАЖНОЕ

Формулы приведения

Позволяют упростить углы вида $(\frac{π}{2} \pm α),$ $(π \pm α)$ и т.д.
Правило:

1. Определи четверть, в которой находится исходный угол, и поставь знак исходной функции в этой четверти.
2. Если угол откладывается от вертикальной оси ( $π /2, 3 π /2$ ) - функция меняется на кофункцию (синус на косинус). Если от горизонтальной ( $π, 2 π$ ) - функция сохраняется.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Потяни угол θ и посмотри, как меняются знаки sin и cos по четвертям

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 14

1. Избавься от сложных аргументов. Раскрой скобки с помощью формул сложения или формул приведения. Твоя цель - получить везде аргументы вида $x$ и $2 x .$
2. Сведи углы к одному. Если остались углы $2 x,$ примени формулы двойного угла, чтобы везде остался только аргумент $x .$
3. Разложи на множители или сделай замену. Перенеси всё в одну сторону. Если видишь четыре слагаемых - применяй метод группировки. Если уравнение похоже на квадратное - делай замену $t = sin x$ или $t = cos x .$
4. Реши простейшие уравнения. Запиши серии корней с добавлением периода ( $+ 2 π k$ или $+ π k,$ где $k \in Z$ ).
5. Сделай отбор корней. В пункте «б» нарисуй единичную окружность, выдели нужный отрезок (штриховкой или дугой), отметь точки и вычисли их точные значения.

Два специальных приёма

Кроме группировки и замены $t = sin x$ (или $cos x$ ), для разных задач в задании 14 пригодятся ещё два приёма. Держи их в голове - на ЕГЭ они экономят время.

✓СОВЕТ

Однородное уравнение - дели на

cos^{2} x

Если все слагаемые в уравнении содержат $sin^{2} x,$ $sin x \cdot cos x$ или $cos^{2} x$ (и нет «голых» констант), это однородное уравнение второй степени:

a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = 0.

Раздели обе части на $cos^{2} x \neq = 0$ - получится квадратное уравнение относительно $t g x :$

a t g^{2} x + b t g x + c = 0.

Проверка $cos x \neq = 0$ обязательна: подставь $cos x = 0$ в исходное уравнение и убедись, что оно не обращается в $0 = 0 .$ Если обращается - корни $x = \frac{π}{2} + π k$ надо добавить отдельно.

✓СОВЕТ

Симметричное уравнение - замена

t = sin x + cos x

Если уравнение содержит одновременно $sin x + cos x$ (или $sin x - cos x$ ) и произведение $sin x \cdot cos x,$ делай замену $t = sin x + cos x .$ Тогда

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x ⟹ sin x cos x = \frac{t ^{2} - 1}{2} .

Ограничение на $t :$ так как $sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4}),$ получаем $t \in [- 2; 2] .$

Примеры решения

Разберём две задачи, которые выглядят нестандартно, но легко раскручиваются, если применять формулы шаг за шагом.

ПРИМЕР 1

Синус суммы и метод группировки

Условие:
а) Решите уравнение
$2 cos (x + \frac{π}{3}) + 3 sin 2 x = cos x$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{5 π}{2}; - π] .$

ПРИМЕР 2

Формула приведения и двойной угол

Условие:
а) Решите уравнение
$2 sin 2 x + 2 cos (π + x) + 12 sin x = 3$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2 π; \frac{7 π}{2}] .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки в формулах приведения

Ошибка: Написать $sin (\frac{3 π}{2} - x) = cos x .$
Правильно: Угол $(\frac{3 π}{2} - x)$ находится в III четверти. Синус там отрицательный. Так как опорный угол $\frac{3 π}{2},$ функция меняется. Значит, $sin (\frac{3 π}{2} - x) = - cos x .$ Всегда сначала определяй знак исходной функции!

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корней при делении

Ошибка: Получить уравнение $sin x \cdot cos x = sin x$ и поделить обе части на $sin x,$ получив только $cos x = 1 .$
Правильно: Делить на переменную в уравнениях нельзя - ты потеряешь корни. Перенеси всё в одну сторону и вынеси общий множитель: $sin x \cdot (cos x - 1) = 0 .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Время выполнения: 15-20 минут. Это задание нужно решать до автоматизма.
Очерёдность: Делай это задание первым из второй части. Это самый надёжный способ заработать свои первые баллы за развёрнутый ответ.
Оформление: В пункте «б» обязательно покажи, как именно ты отбираешь корни. Если используешь окружность - нарисуй её, заштрихуй дугу, подпиши концы отрезка и все отмеченные точки. Просто написать список отобранных корней недостаточно - за это поставят 0 баллов за пункт «б».
Проверка: Выбери один из найденных корней (например, $π$ или $π /2,$ если они есть в ответе) и подставь в самое первое, исходное уравнение. Получилось верное равенство? Значит, пункт «а» решён верно.

За что дают баллы

Максимальный балл за задание 14 - 2 балла.

2 балла: Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах (уравнение решено верно, корни отобраны с понятным обоснованием).
1 балл: Выполнен только пункт «а» (уравнение решено верно, но корни не отобраны или отобраны неверно/без обоснования).
ИЛИ
Допущена одна вычислительная ошибка (например, $2 \cdot 3 = 5,$ но не ошибка в тригонометрической формуле!), и при этом логика обоих пунктов доведена до конца.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев. Если допущена ошибка в тригонометрической формуле (например, перепутан знак в формуле приведения), всё задание обнуляется. Голый ответ без решения также оценивается в 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Какая из записей — верный вариант формулы косинуса двойного угла?

2.Чему равно

sin (\frac{3 π}{2} - x) ?

3.Дано уравнение

sin x \cdot cos x = sin x .

Как действовать правильно?

4.Сделана замена

t = sin x + cos x .

Чему равно

sin x cos x ?