Тригонометрические уравнения, разложение… — ЕГЭ профиль

Тригонометрические уравнения: метод разложения на множители

Задание 14 - это твои самые надёжные 2 первичных балла во второй части ЕГЭ. Самый популярный тип уравнений на этой позиции - тригонометрические уравнения, которые решаются методом разложения на множители. Значительная часть задач этого номера на экзамене опирается именно на этот приём.

Суть метода проста: нужно преобразовать уравнение так, чтобы с одной стороны получился ноль, а с другой - произведение нескольких выражений. Если произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю.

Основные формулы

Чтобы успешно группировать слагаемые и выносить общий множитель, тебе понадобится арсенал базовых тригонометрических формул.

ВАЖНОЕ

Формулы двойного угла

Это главные спонсоры появления общих множителей:

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x

ВАЖНОЕ

Формулы приведения

Упрощают аргументы вида $x \pm \frac{π}{2},$ $x \pm π$ и их производные:

sin (x + π) = - sin x, cos (x + π) = - cos x

sin (x - \frac{3 π}{2}) = cos x, cos (x - \frac{3 π}{2}) = - sin x

✓СОВЕТ

Как не путаться в приведении

1. Определи знак исходной функции в той четверти, куда попадает угол (при условии, что $x$ острый).
2. Если в аргументе нечётное число $\frac{π}{2}$ (то есть $\frac{π}{2},$ $\frac{3 π}{2}$ и т. д.), функция меняется на кофункцию ( $sin \leftrightarrow cos,$ $t g \leftrightarrow ct g$ ). Если чётное ( $π,$ $2 π$ ), функция сохраняется.

Единичная окружность с четырьмя четвертями, в каждой четверт

ВАЖНОЕ

Синус и косинус суммы/разности

Часто прячутся в уравнениях с коэффициентом $2 :$

sin (x \pm y) = sin x cos y \pm cos x sin y

cos (x \pm y) = cos x cos y \mp sin x sin y

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 14

1. Приведи всё к одному аргументу. Избавься от $2 x,$ сумм углов и слагаемых с $π$ с помощью формул.
2. Перенеси всё в левую часть. Справа должен остаться только $0 .$
3. Разложи на множители. Ищи одинаковые выражения. Если их не видно сразу, попробуй сгруппировать слагаемые попарно.
4. Приравняй каждый множитель к нулю. Получатся два или три простейших тригонометрических уравнения. Реши их и запиши серии корней (не забудь приписать $k \in Z$ ). Это ответ на пункт «а».
5. Отбери корни для пункта «б». Нарисуй числовую окружность, выдели дугой заданный отрезок, отметь точки и аккуратно вычисли их значения.

Потяни угол θ по окружности — так удобно отбирать корни на отрезке

Примеры решения

Разберём три задачи, от базовой к более сложной.

ПРИМЕР 1

Базовое вынесение множителя

Условие:
а) Решите уравнение

3 sin 2 x - 3 cos x = 0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- \frac{5 π}{2}; - π] .$

ПРИМЕР 2

Формулы приведения и однородное уравнение

Условие:
а) Решите уравнение

2 sin^{2} (x - \frac{3 π}{2}) + 3 sin 2 x = 0

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3 π}{2}; 3 π] .$

ПРИМЕР 3

Группировка четырёх слагаемых

Условие:
а) Решите уравнение

2 cos^{2} x + 2 cos x + 3 sin 2 x + 6 sin x = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 2 π; - \frac{π}{2}] .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сокращение на функцию вместо вынесения

Ошибка: Решая уравнение $sin x cos x = sin x,$ разделить обе части на $sin x$ и получить только $cos x = 1 .$
Правильно: Делить на выражение с переменной нельзя, так как можно потерять корни, при которых это выражение равно нулю. Перенеси всё в одну сторону и вынеси множитель: $sin x (cos x - 1) = 0 .$ Уравнение $sin x = 0$ даст полноценную серию корней. Делить можно только в однородных уравнениях (на $cos x$ ), если заранее доказано, что $cos x \neq = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отсутствие обоснования в пункте б

Ошибка: Написать сразу ответ в пункте «б» или нарисовать голую числовую прямую без вычислений.
Правильно: Отбор корней должен быть прозрачным. Если используешь окружность - обязательно выдели дугу штриховкой или жирной линией, подпиши концы отрезка и все отмеченные точки. Если отбираешь неравенствами - покажи процесс решения двойного неравенства для $k .$ Голый ответ оценивается в 0 баллов.

Что запомнить

Если в уравнении есть углы $2 x$ и $x,$ первым делом раскрой $2 x .$
Если видишь множитель $2$ перед синусом суммы/разности - смело применяй формулу суммы, после раскрытия скобок слагаемые хорошо сгруппируются.
Всегда проверяй, не получилась ли при вынесении за скобки формула однородного уравнения (вида $a sin x + b cos x = 0$ ).

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 14

Время выполнения: 15-20 минут. Это задание нужно решать быстро и чётко.
Очерёдность: Приступай к нему сразу после решения и проверки первой части (заданий 1-13). Это самое простое задание второй части.
Самопроверка: Получив точки в пункте «б», подставь их мысленно в исходное уравнение. Например, если корень $- \frac{3 π}{2},$ синус от него равен $1,$ а косинус $0 .$ Сойдётся ли левая часть с правой? Это занимает минуту, но спасает от потери баллов.

За что дают баллы

В задании 14 можно получить от 0 до 2 баллов:

2 балла (Максимум): Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Все шаги логичны, отбор корней доказателен.
1 балл: Верно решён только пункт «а» (пункт «б» не решён или решён неверно). ИЛИ допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 + 3 = 6$ ), но при этом алгоритм решения абсолютно верен, и с этой ошибкой оба пункта доведены до конца. Ошибка в знаке при использовании формул приведения или ошибка в значении табличного угла (например, $sin x = 1/2 ⟹ x = π /4$ ) считается логической, а не вычислительной - за неё ставят 0 баллов.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев. Правильный ответ без решения или без обоснованного отбора корней оценивается в 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Уравнение

sin x cos x = sin x

решают верно, если...

2.Чему равно

sin^{2} (x - \frac{3 π}{2}) ?

3.Каковы корни уравнения

t g x = - \frac{3}{3} ?

4.Когда в однородном уравнении

a sin x + b cos x = 0

(при

a \neq = 0,

b \neq = 0

) можно делить обе части на

cos x ?