Тригонометрические функции — ЕГЭ профиль

Тригонометрические функции (графики)

Задание 12 в ЕГЭ профильного уровня проверяет умение работать с графиками функций. Тема тригонометрических графиков (синусоид и косинусоид) встречается здесь редко - они составляют малую часть от всех прототипов, уступая гиперболам, параболам и показательным функциям. Однако если такая задача попадётся, нужно чётко понимать геометрический смысл каждого коэффициента в формуле, чтобы не тратить время на подстановку случайных точек.

Основные формулы и параметры

Большинство задач описываются стандартным уравнением тригонометрической волны. Разберём его на примере косинуса.

ВАЖНОЕ

Общий вид тригонометрической функции

y = a \cdot cos (ω x - b) + c

Каждый коэффициент отвечает за своё геометрическое преобразование базового графика:

$c$ (вертикальный сдвиг, серединная линия) - задаёт положение оси симметрии графика, вокруг которой колеблется волна. Вычисляется как среднее арифметическое между верхом и низом:

c = \frac{y _{m a x} + y _{m i n}}{2}

$a$ (амплитуда) - растяжение по вертикали. Это расстояние от серединной линии до максимального (или минимального) значения.

∣ a ∣ = \frac{y _{m a x} - y _{m i n}}{2}

$b$ (горизонтальный сдвиг, сдвиг фазы) - смещает график вправо или влево. Максимум косинуса находится в той точке, где выражение в скобках обращается в ноль.

Меняй a, ω, b и c: наблюдай амплитуду, период, фазовый и вертикальный сдвиги волны.

ВАЖНОЕ

Период через коэффициент

ω

Параметр $ω$ (частота) сжимает или растягивает график вдоль оси $X .$ Период такой функции:

T = \frac{2 π}{ω}

Полезные частные случаи:

$ω = 1$ - стандартный период $T = 2 π .$
$ω = π$ - период $T = 2,$ на оси $X$ стоят целые числа без $π .$
$ω = 2$ - период $T = π,$ график «сжат» вдвое.

Алгоритм решения

В задачах первой части тебе обычно дают рисунок и частично известную формулу. Твоя цель - найти недостающие коэффициенты и вычислить значение функции в заданной точке.

АЛГОРИТМ

Как найти коэффициенты по графику

1. Найди серединную линию ( $c$ ). Проведи горизонтальную прямую ровно посередине между «верхушками» (максимумами) и «впадинами» (минимумами) волны. Значение $y$ этой прямой - это $c .$
2. Найди амплитуду ( $a$ ). Посчитай расстояние по вертикали от серединной линии до любого максимума. Если график перевёрнут (например, начинается с движения вниз для синуса), то $a$ будет отрицательным.
3. Определи горизонтальный сдвиг ( $b$ ). Для функции косинуса точка максимума всегда смещена от оси $Y$ на расстояние, обращающее скобку $(x - b)$ в ноль. Найти сдвиг проще всего по координате $x$ ближайшего максимума.
4. Запиши итоговую функцию. Собери все найденные параметры в единую формулу.
5. Сделай контрольную проверку. Возьми любую чётко читаемую точку с графика и подставь её $x$ в твою формулу. Если $y$ совпал - всё верно.
6. Вычисли ответ. Подставь заданный в условии $x$ в готовую функцию.

Примеры решения

От простых задач на базовые коэффициенты перейдём к задачам со сдвигами и изменениями периода.

ПРИМЕР 1

Поиск амплитуды и сдвига по оси Y

На рисунке изображён график функции $f (x) = a sin x + c .$ Найдите значение $a .$

ПРИМЕР 2

Функция с горизонтальным сдвигом

Дана функция $f (x) = a cos (x - b) + c,$ где $a, b, c$ - целые числа, причём $a > 0 .$ На рисунке изображён её график. Известно, что график функции проходит через максимум в точке $(\frac{5 π}{6}; 13),$ а серединная линия (ось симметрии графика) проходит на уровне $y = 6 .$ Найдите значение функции в точке $x = \frac{7 π}{3} .$

ПРИМЕР 3

График с изменённым периодом

На рисунке изображён график функции $f (x) = a sin (π x) + d .$ Найдите $f (2, 5) .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в знаках коэффициентов

a

b

Ошибка: Считать амплитуду $a$ строго положительной во всех случаях.
Правильно: Проверяй направление старта графика! Для $y = a sin x :$ если из точки на оси Y график идёт вверх - $a > 0,$ если вниз - $a < 0 .$ Для $y = a cos x :$ если на оси Y находится «горб» (максимум) - $a > 0,$ если «впадина» (минимум) - $a < 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверное чтение горизонтального сдвига

Ошибка: Видеть на графике функции $f (x) = a cos (x + b) + c$ сдвиг вправо на $\frac{π}{4}$ и писать в ответ $b = \frac{π}{4} .$
Правильно: Сдвиг вправо математически описывается знаком «минус» в аргументе: $cos (x - x_{0}) .$ Если формула задана с плюсом $cos (x + b),$ то для сдвига вправо параметр $b$ обязан быть отрицательным: $b = - \frac{π}{4} .$ Самый надёжный способ - приравнять аргумент к нулю в точке максимума.

Что запомнить

Коэффициент $c$ - это серединная линия. Ищи её как среднее арифметическое верха и низа.
Коэффициент $a$ - это расстояние от серединной линии до верха. Знак $a$ зависит от того, перевёрнут ли график.
Период меняет масштаб оси $X .$ Если в аргументе есть $π,$ то по оси $X$ будут стоять целые числа.
При вычислении итогового значения смело отбрасывай целые круги (кратные $2 π$ ).

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 12

Тайминг: 5-8 минут.
Очерёдность: Решай это задание в первой волне, сразу после уравнений и простых вычислений. Это достаточно алгоритмичная задача, которая приносит верный 1 балл.
Самопроверка: Когда восстановишь формулу функции, не спеши сразу подставлять искомый $x .$ Возьми с картинки любую чётко читаемую точку (например, минимум) и подставь её координату $x$ в свою формулу. Получился правильный $y ?$ Значит, коэффициенты $a, b, c$ найдены абсолютно верно.
Адекватность ответа: В задании первой части ответ всегда записывается целым числом или конечной десятичной дробью. Если при вычислении $f (x)$ у тебя остался корень из трёх или некрасивая дробь - ищи ошибку в знаках сдвига или периоде.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен период функции

y = sin (π x) ?

2.График функции

y = a sin x + c

имеет максимум

y_{m a x} = 3

и минимум

y_{m i n} = - 1 .

Чему равно

c ?

3.На оси

Y

у графика

y = a cos x

находится минимум («впадина»). Что можно сказать про

a ?

4.Чему равно

cos \frac{3 π}{2} ?