Задание 12: Графики функций — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 12 проверяет умение работать с функциями и их графиками. В условии даётся чертёж одной или двух функций на координатной плоскости. Твоя задача - восстановить математическую формулу функции по её графику (найти неизвестные коэффициенты), а затем вычислить значение функции в конкретной точке или найти координаты точки пересечения двух графиков.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ можно встретить графики всех основных элементарных функций:

1. Показательные и логарифмические функции - графики вида $y = a^{x}$ и $y = lo g_{a} x$ (часто со сдвигами).
2. Гиперболы - графики дробно-рациональных функций вида $y = \frac{k}{x} .$
3. Параболы - квадратичные функции.
4. Линейные функции - прямые $y = k x + b .$
5. Функции с корнем - графики вида $y = a x .$
6. Тригонометрия и прочее - синусоиды, косинусоиды.

Как «читать» графики

Для решения необходимо помнить, как параметры в формуле влияют на внешний вид графика.

ВАЖНОЕ

Сдвиг параболы

Уравнение параболы удобнее записывать не в стандартном виде $y = a x^{2} + b x + c,$ а через координаты её вершины $(x_{0}; y_{0}) :$

y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

Коэффициент $a$ отвечает за ширину и направление ветвей. Его легко найти, отступив от вершины на $1$ вправо: изменение по вертикали и будет равно $a .$

Потяни a, b, c и посмотри, как вершина параболы связана с коэффициентами

ВАЖНОЕ

Асимптоты гиперболы

Если гипербола сдвинута, её уравнение имеет вид:

y = \frac{k}{x - x _{0}} + y_{0}

Здесь $x = x_{0}$ - вертикальная асимптота, а $y = y_{0}$ - горизонтальная асимптота. Пунктирные линии на рисунке в КИМе почти всегда подсказывают эти значения.

ВАЖНОЕ

Показательная функция

График функции $y = a^{x}$ всегда проходит через точку $(0; 1),$ потому что $a^{0} = 1$ при любом допустимом $a .$

Если $a > 1$ - график возрастает (растёт слева направо).
Если $0 < a < 1$ - график убывает (падает слева направо).

Чтобы найти основание $a,$ подставь координаты любой выделенной точки. Проще всего использовать точку с абсциссой $x = 1 :$ тогда $y = a^{1} = a,$ и основание читается прямо с графика.

Потяни a и посмотри, как меняется рост или убывание показательной функции

ВАЖНОЕ

Базовая точка логарифма

График функции $y = lo g_{a} (x + b) + c$ имеет вертикальную асимптоту $x = - b .$
Базовая точка любого логарифма без сдвигов - $(1; 0) .$ Если логарифм сдвинут, эта точка смещается вместе с асимптотой.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 12

1. Определи вид функции. Посмотри на условие и чертёж. Пойми, какие параметры (буквы) нужно найти.
2. Найди выделенные узловые точки. Авторы задач всегда жирными точками отмечают узлы квадратной решётки, через которые точно проходит график. Используй именно их.
3. Составь систему уравнений. Подставь координаты $(x; y)$ каждой выделенной точки в уравнение функции. Если неизвестных параметров два, нужны две точки.
4. Вычисли параметры. Реши полученную систему и запиши итоговую формулу функции без неизвестных букв.
5. Сделай проверку. Возьми третью (контрольную) точку с графика и убедись, что твоя формула даёт верный результат.
6. Ответь на вопрос задачи. Найди значение функции в заданной точке $f (x_{0})$ или приравняй уравнения двух функций, чтобы найти точку их пересечения.

Примеры решения

Разберём задачи на самые популярные семейства функций.

ПРИМЕР 1

Пересечение гиперболы и прямой

На рисунке изображены графики функций $f (x) = \frac{k}{x}$ и $g (x) = a x + b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B .$ Найдите ординату точки $B .$

ПРИМЕР 2

Логарифмическая функция со сдвигом

На рисунке изображён график функции $f (x) = lo g_{a} (x + b) .$ Найдите значение $f (14) .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница с координатами

Ошибка: Взять точку пересечения графика с осью $Y$ и записать её координаты как $(y; 0)$ вместо $(0; y) .$ Из-за этого получается полностью неверная система уравнений.
Правильно: Абсцисса (ось $X$ ) всегда пишется на первом месте, ордината (ось $Y$ ) - на втором. Точка на оси $Y$ имеет координату $x = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря «известного» корня

Ошибка: При поиске точки пересечения графиков получить квадратное уравнение, ошибиться в дискриминанте и получить кривые корни, забыв, что один корень уже известен по графику.
Правильно: Если графики пересекаются в двух точках и координаты одной из них хорошо видны на рисунке (например, точка $A (2; 3)$ ), то число $x = 2$ обязано быть одним из корней твоего уравнения $f (x) = g (x) .$ Используй этот факт для самопроверки!

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-10 минут.
Когда решать: В первую половину экзамена, вместе с остальной тестовой частью. Задание алгоритмичное, но требует аккуратного счёта.
Опорные точки: Никогда не бери точки графика "на глаз", если они не выделены жирными точками (узлами). График может проходить на миллиметр выше или ниже перекрестья клеток. Используй только специально отмеченные точки!
Проверка: Всегда проверяй найденную формулу функции. Если ты вычислил коэффициенты по двум точкам, найди на графике третью выделенную точку и подставь её в формулу. Сошлось? Значит, уравнение составлено идеально.

Проверь себя0 из 4

1.Через какую точку всегда проходит график функции

y = a^{x} ?

2.Гипербола задана формулой

y = \frac{k}{x - x _{0}} + y_{0} .

Какая прямая является её вертикальной асимптотой?

3.График функции

y = lo g_{a} (x + b)

имеет вертикальную асимптоту

x = - 3 .

Чему равно

b ?

4.Прямая

y = a x + b

проходит через точки

(1; 1)

(2; 3) .

Чему равен коэффициент

a ?