Задание 12: Наибольшее и наименьшее значение функции

О задании

Задание 12 закрывает первую часть профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет умение работать с производной аналитически: дифференцировать функции, находить критические точки и вычислять наибольшие/наименьшие значения на отрезке.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На практике здесь встречаются четыре основных типа уравнений:

1. Многочлены (кубические функции вида $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ).
2. Произведения с экспонентой (например, $y = (x - a)^{2} \cdot e^{b - x}$ ).
3. Функции с натуральным логарифмом (например, $y = a ln (x - b) - c x$ ).
4. Дробно-рациональные функции (например, $y = x + \frac{a}{x}$ ).

Основные формулы

Для успешного решения необходимо помнить таблицу производных и базовые правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Производная произведения:

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Производная частного (дроби):

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Производная сложной функции:

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Таблица базовых производных

(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}

(e^{x})^{'} = e^{x} и (e^{- x})^{'} = - e^{- x}

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(C)^{'} = 0 (где C - любое число)

Общий алгоритм решения

Главное в этом задании - внимательно прочитать вопрос. Алгоритм немного меняется в зависимости от того, что именно просят найти.

Точка максимума / минимума - это координата по оси $X .$
Наибольшее / наименьшее значение - это координата по оси $Y .$

$Связь знака производной и поведения функции$

Как решать задание 12

1. Найди область допустимых значений (ОДЗ). Это особенно важно для функций с логарифмами ( $x > 0$ ) и дробями (знаменатель $\neq = 0$ ).
2. Вычисли производную $y^{'} .$ Используй правила дифференцирования.
3. Приравняй производную к нулю ( $y^{'} = 0$ ). Реши полученное уравнение. Его корни - это критические точки (подозрительные на экстремум).
4. Отметь точки на числовой прямой. Расставь знаки производной на полученных интервалах.

Если $y^{'}$ меняет знак с $+$ на $-$ $⟹$ это точка максимума.
Если $y^{'}$ меняет знак с $-$ на $+$ $⟹$ это точка минимума.

5. Запиши ответ.

Если просили найти точку (максимума/минимума) - в ответ идёт найденный $x .$
Если просили найти значение - подставь найденный $x$ в исходную функцию (в условие) и посчитай $y .$
Если просят наибольшее/наименьшее значение на отрезке, проверь, попадает ли критическая точка в отрезок, а затем подставь в исходную функцию саму точку и концы отрезка, чтобы выбрать нужное значение.

Примеры решения

Расположим примеры от простых многочленов к более сложным комбинированным функциям.

Пример 1. Точка экстремума многочлена

Условие:
Найдите точку минимума функции $y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7 .$

Показать решение

1. Найдём производную функции:
$y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - 9$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y^{'} = 0 :$
$3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$
Разделим обе части на $3 :$
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

По теореме Виета корни: $x_{1} = 1,$ $x_{2} = - 3 .$

3. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки производной. График производной - это парабола ветвями вверх, значит знаки чередуются: $+,$ $-,$ $+ .$

$Числовая ось с расставленными знаками$

При переходе через точку $x = - 3$ производная меняет знак с $+$ на $-$ (это точка максимума).
При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с $-$ на $+$ (это точка минимума).

Нас просят найти точку минимума, значит ответ $1 .$ Вычислять само значение функции не нужно.

Ответ: 1

Пример 2. Значение на отрезке (логарифмическая функция)

Условие:
Найдите наименьшее значение функции $y = 5 x - 5 ln (x + 3) + 4$ на отрезке $[- 2, 5; 0] .$

Показать решение

1. Найдём производную. Помни, что $(ln (x + 3))^{'} = \frac{1}{x + 3} .$
$y^{'} = 5 - 5 \cdot \frac{1}{x + 3} = 5 - \frac{5}{x + 3}$

2. Приравняем производную к нулю:
$5 - \frac{5}{x + 3} = 0 ⟹ 5 = \frac{5}{x + 3}$

Разделим на $5 :$
$1 = \frac{1}{x + 3} ⟹ x + 3 = 1 ⟹ x = - 2$

3. Проверим, принадлежит ли точка $x = - 2$ заданному отрезку $[- 2, 5; 0] .$ Да, принадлежит.
Определим знак производной в окрестности этой точки.
Если $x = - 0, 5$ (правее), $y^{'} = 5 - \frac{5}{2 , 5} > 0 .$
Если $x = - 2, 3$ (левее), $y^{'} = 5 - \frac{5}{0 , 7} < 0 .$
Знак меняется с $-$ на $+,$ значит $x = - 2$ - точка минимума. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке достигается именно в ней.

4. Найдём наименьшее значение функции, подставив $x = - 2$ в исходное уравнение:
$y (- 2) = 5 (- 2) - 5 ln (- 2 + 3) + 4 = - 10 - 5 ln (1) + 4$

Так как $ln (1) = 0,$ получаем:
$y (- 2) = - 10 - 0 + 4 = - 6$

Ответ: -6

Пример 3. Комбинация с экспонентой (производная произведения)

Условие:
Найдите точку максимума функции $y = (x + 5)^{2} \cdot e^{3 - x} .$

Показать решение

Здесь нужно применить правило производной произведения $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'},$ а также учесть, что $(e^{3 - x})^{'}$ - это сложная функция:
$(e^{3 - x})^{'} = e^{3 - x} \cdot (3 - x)^{'} = e^{3 - x} \cdot (- 1) = - e^{3 - x}$

1. Найдём производную:
$y^{'} = ((x + 5)^{2})^{'} \cdot e^{3 - x} + (x + 5)^{2} \cdot (e^{3 - x})^{'}$
$y^{'} = 2 (x + 5) \cdot e^{3 - x} + (x + 5)^{2} \cdot (- e^{3 - x})$

2. Вынесем общий множитель $e^{3 - x} \cdot (x + 5)$ за скобку:
$y^{'} = e^{3 - x} (x + 5) \cdot (2 - (x + 5)) = e^{3 - x} (x + 5) (2 - x - 5) = e^{3 - x} (x + 5) (- x - 3)$

3. Приравняем к нулю. Экспонента $e^{3 - x}$ всегда строго больше нуля, поэтому корни дают только скобки:
$x + 5 = 0 ⟹ x = - 5$
$- x - 3 = 0 ⟹ x = - 3$

4. Отметим точки на прямой и определим знаки. Выражение для $y^{'}$ представляет собой произведение всегда положительной экспоненты на квадратичную функцию $- (x + 5) (x + 3) .$ Это парабола ветвями вниз.
Знаки на интервалах: $-,$ $+,$ $- .$

$Числовая ось для экспоненциальной функции$

Точка максимума (переход с $+$ на $-$ ) достигается в $x = - 3 .$
Нас просят найти точку максимума, поэтому подставлять в исходную функцию не нужно.

Ответ: -3

Частые ошибки

Путаница между точкой и значением

Ошибка: В ответ на вопрос «Найдите точку минимума» записать значение $y,$ или наоборот.
Правильно: Чётко запомни: слово «точка» - это всегда $x .$ Слово «значение» - это всегда $y .$

Подстановка

x

в производную

Ошибка: При поиске наибольшего значения подставить найденный корень $x$ в выражение для производной $y^{'},$ а не в исходную функцию. Естественно, получается $0,$ и это пишется в ответ.
Правильно: Как только ты нашел $x,$ забудь про производную. Вычисляй значение только по исходной формуле $y = \dots$

Игнорирование сложной функции

Ошибка: При дифференцировании выражения $e^{5 - x}$ написать просто $e^{5 - x},$ забыв умножить на производную показателя степени. В итоге теряется минус, и знаки экстремумов меняются на противоположные.
Правильно: Всегда бери производную от «внутренности». $(e^{5 - x})^{'} = e^{5 - x} \cdot (5 - x)^{'} = - e^{5 - x} .$

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 12

Ориентировочное время: 5–10 минут.
Очерёдность: Оставь на финал первой части. Оно требует аккуратных вычислений на черновике, где легко допустить глупую ошибку из-за спешки.
Математический лайфхак: В задачах на поиск значения функции с $e$ или $ln$ ответ должен вписаться в клеточки ЕГЭ. Трансцендентные числа (типа $e^{2}$ или $ln 3$ ) записать в бланк невозможно. Значит, при подстановке $x$ показатель степени экспоненты обязан обратиться в $0$ ( $e^{0} = 1$ ), а аргумент логарифма обязан обратиться в $1$ ( $ln 1 = 0$ ). Если на экзамене не остаётся времени на производную - просто приравняй скобку при логарифме к единице, найди $x$ и подставь его в функцию. В 90% случаев это сработает.