Треугольники и их свойства — ЕГЭ профиль

Треугольники и их свойства (Задание 18)

В 18-м задании ЕГЭ профильного уровня тема «чистых» треугольников (без окружностей) встречается редко, но свойства треугольников - это фундамент абсолютно всей планиметрии. Без знания теорем синусов, косинусов и свойств ключевых линий (медиан, биссектрис, высот) невозможно решить ни одну задачу с окружностями или четырёхугольниками.

В этом конспекте собраны все главные инструменты, которые помогут тебе «раскрутить» любую геометрическую конструкцию.

Основные формулы и теоремы

Чтобы успешно решать планиметрию второй части, эти факты нужно знать наизусть и уметь применять "на автомате".

ВАЖНОЕ

Теорема синусов и косинусов

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos C

Расширенная теорема синусов: Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

ВАЖНОЕ

Свойства медианы

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (с равными площадями).
2. Все три медианы пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся ею в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.
3. Длина медианы $m_{a},$ проведённой к стороне $a,$ вычисляется по формуле:

m_{a} = \frac{1}{2} 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}

Двигай вершины: середины сторон и все три медианы перестраиваются, а G остаётся их общей точкой.

ВАЖНОЕ

Свойства биссектрисы

Биссектриса делит угол пополам. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (инцентр).
Теорема о биссектрисе: Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}

Длина биссектрисы $l_{a},$ проведённой к стороне $a,$ вычисляется через стороны и отрезки основания:

l_{a}^{2} = b \cdot c - B D \cdot D C

ВАЖНОЕ

Высоты и ортоцентр

Высота $h_{a}$ - перпендикуляр из вершины на противоположную сторону (или её продолжение).

1. Все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке - ортоцентре. В остроугольном треугольнике он лежит внутри, в тупоугольном - снаружи, в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла.
2. Длина высоты выражается через площадь и сторону:

h_{a} = \frac{2 S}{a}

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника

Для задания 18 нужно держать в голове сразу три основные формулы:

1. Через высоту: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}$
2. Через угол: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin C$
3. Формула Герона: $S = p (p - a) (p - b) (p - c),$ где $p = \frac{a + b + c}{2}$ - полупериметр.

ВАЖНОЕ

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполнен один из трёх признаков:

1. По двум углам: две пары углов равны.
2. По двум сторонам и углу: две пары сторон пропорциональны, а углы между ними равны.
3. По трём сторонам: все три пары сторон пропорциональны.

Если $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ с коэффициентом $k,$ то:

\frac{S _{A B C}}{S _{A_{1} B_{1} C_{1}}} = k^{2}

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу 18

1. Сделай крупный чертёж. Не мельчи. Отметь все равные отрезки (штрихами) и равные углы (дугами). Если дано отношение отрезков, подпиши их как $2 x$ и $3 x .$
2. Анализируй пункт «а» (доказательство). Ищи "зацепки": если проведена биссектриса - выпиши пропорцию сторон; если медиана - ищи равные площади. В 80% случаев доказательство сводится к нахождению подобных треугольников.
3. Решай пункт «б» (вычисление). Результат первого пункта всегда является ключом к решению второго. Применяй теоремы синусов и косинусов для нахождения нужных длин.
4. Оформляй логично. Каждый шаг (подобие, применение теоремы) должен сопровождаться названием используемого свойства или теоремы.

Примеры решения

Разберём два примера: первый покажет, как комбинировать свойства разных линий внутри одного треугольника, а второй продемонстрирует красивый метод дополнительных построений.

ПРИМЕР 1

Медиана, биссектриса и площади

Условие:
В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A L$ и медиана $B M,$ которые пересекаются в точке $K .$
а) Докажите, что $\frac{B K}{K M} = \frac{A B}{A M} .$
б) Найдите площадь треугольника $A K M,$ если $A B = 6,$ $A C = 10,$ а площадь треугольника $A B C$ равна $48 .$

ПРИМЕР 2

Внешние квадраты и теорема косинусов

Условие:
На сторонах $A C$ и $B C$ треугольника $A B C$ вне его построены квадраты $A C D E$ и $C B F G .$ Точка $M$ - середина стороны $A B .$
а) Докажите, что длина отрезка $C M$ равна половине длины отрезка $D F .$
б) Найдите длину отрезка $D F,$ если $A C = 6,$ $B C = 8,$ а $∠ A C B = 12 0^{\circ} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между медианой и биссектрисой

Ошибка: Считать, что биссектриса делит противоположную сторону пополам (как медиана).
Правильно: Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Пополам она делит сторону только в одном случае - если проведена к основанию равнобедренного треугольника.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неполное доказательство подобия

Ошибка: Увидеть на чертеже один общий угол, визуально оценить пропорциональность сторон и написать: " $△ A B C \sim △ D E F,$ следовательно...".
Правильно: Подобие требует строгого обоснования. Обязательно найди и распиши вторую пару равных углов (подобие по двум углам) или докажи пропорциональность двух пар сторон с равным углом между ними.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не проверено существование треугольника

Ошибка: Получить в ответе тройку сторон $3,$ $4,$ $8$ и считать задачу решённой.
Правильно: Для любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей ( $a + b > c$ ). Тройка $3, 4, 8$ не задаёт треугольник: $3 + 4 = 7 < 8 .$ Если из вычислений получился такой ответ - проверь условие и логику заново.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 18

Время выполнения: 25-35 минут.
Очерёдность: Задание 18 требует геометрического "озарения" и времени на перебор идей. Оставь его на вторую половину экзамена, после решения "джентльменского набора" (уравнение 14, неравенство 16, прикладная задача 17) и параметров (19).
Хитрость с частичным баллом: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо! Если ты никак не можешь доказать пункт «а», но знаешь, как с его помощью посчитать пункт «б» - смело считай. Напиши: "Предположим, что утверждение пункта а) верно. Тогда...". За абсолютно правильный вычислительный пункт с опорой на недоказанный первый дают 1 балл.
Когда пропустить: Если за 10 минут разглядывания чертежа ты не увидел ни одной знакомой конструкции (нет подобных треугольников, не "складываются" теоремы синусов/косинусов) - отложи задачу. Вернись к ней, если останется время в конце.

За что дают баллы

В задании 18 можно заработать от 0 до 3 первичных баллов. Вот как они распределяются:

3 балла (Максимум): Идеально доказан пункт «а» и абсолютно верно посчитан пункт «б». Все логические шаги (подобие, теоремы) названы и обоснованы.
2 балла: Есть два пути получить эту оценку. Первый: пункт «а» доказан верно, логика решения пункта «б» абсолютно правильная, но в самом конце допущена обидная арифметическая ошибка (например, ошибся в сложении дробей). Второй: пункт «б» решён безупречно (без использования недоказанного пункта «а»), но сам пункт «а» не решён.
1 балл: Верно и полно доказан только пункт «а». Либо пункт «а» вообще не тронут (или доказан с ошибкой), но пункт «б» решён верно с использованием утверждения из пункта «а».
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений ни в доказательстве, ни в вычислениях. Голый правильный ответ в пункте «б» без обоснования вычислений также оценивается в 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.В каком отношении центроид делит каждую медиану, считая от вершины?

2.Биссектриса

A L

треугольника

A B C

делит сторону

B C

на отрезки

B L

L C .

Чему равно отношение

\frac{B L}{L C} ?

3.Чему равно отношение

\frac{a}{sin A}

по расширенной теореме синусов?

4.Может ли существовать треугольник со сторонами

3,

4

8 ?