Теоремы о вероятностях событий — ЕГЭ профиль

Суть темы

Задание 5 проверяет умение работать со сложными событиями. В отличие от задания 4, где всё сводится к формуле $P = \frac{m}{n}$ (одно действие), здесь события комбинируются: бросают несколько кубиков, работают несколько механизмов, стрелок делает серию выстрелов, деталь проходит проверку.

Чтобы решить такую задачу, нужно разбить сложное событие на простые и связать их с помощью логических союзов «И» (умножение вероятностей) и «ИЛИ» (сложение вероятностей). Вся теория сводится к четырём формулам: сложение, умножение, полная вероятность, противоположное событие.

Несовместные, совместные, независимые

Две пары понятий, которые путают на экзамене чаще всего. Запомни разницу - от неё зависит выбор формулы.

iЗАМЕЧАНИЕ

Совместность vs независимость

Несовместные события не могут произойти одновременно в одном испытании. Пример: при броске монеты выпал орёл И выпала решка - такое невозможно.
Совместные события могут произойти одновременно. Пример: в торговом центре два автомата; оба могут одновременно сломаться.
Независимые события - наступление одного не влияет на вероятность другого. Пример: две лампы перегорают независимо; первая сгорела - вторая от этого не ломается с большей вероятностью.
Зависимые события - одно влияет на другое. Пример: из коробки без возврата вытаскивают два шара; вероятность того, что второй шар белый, зависит от того, каким был первый.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Несовместные не равно независимым

Это разные понятия из разных категорий. Несовместность отвечает на вопрос «могут ли события произойти вместе?», независимость - «влияют ли они друг на друга?».

Более того, ненулевые несовместные события всегда зависимы: если одно произошло, второе точно не произойдёт - то есть знание одного полностью определяет другое.

Правило выбора формулы:

Для сложения вероятностей важно, совместны события или нет.
Для умножения вероятностей важно, независимы они или нет.

Основные формулы

Следующие пять формул закрывают $95 %$ задач пятого номера ЕГЭ.

ВАЖНОЕ

Теорема сложения (логическое «ИЛИ»)

Для несовместных событий $A$ и $B :$

P (A + B) = P (A) + P (B)

Для совместных событий (когда $A$ и $B$ могут произойти одновременно):

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A \cdot B)

Вычитание $P (A \cdot B)$ нужно, чтобы не посчитать пересечение дважды.

Диаграммы Венна: несовместные и совместные события

ВАЖНОЕ

Теорема умножения (логическое «И»)

Для независимых событий:

P (A \cdot B) = P (A) \cdot P (B)

Для зависимых событий через условную вероятность:

P (A \cdot B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

где $P (B ∣ A)$ - вероятность события $B$ при условии, что $A$ уже произошло.

Условная вероятность редко встречается в задании 5 напрямую, но это «строительный блок», без которого не понять формулу полной вероятности. Выражается она так:

P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cdot B )}{P ( A )}, P (A) \neq = 0

ВАЖНОЕ

Противоположное событие и «хотя бы один»

Сумма вероятностей события и противоположного ему всегда равна $1 :$

P (A) + P (A ˉ) = 1

Если в задаче есть фраза «хотя бы один», почти всегда выгодно решать через противоположное событие:

P (хотя бы один) = 1 - P (ни одного)

ВАЖНОЕ

Формула полной вероятности

Если событие $A$ может произойти только вместе с одной из несовместных «гипотез» $H_{1}, H_{2}, \dots, H_{n},$ покрывающих все возможные сценарии, то:

P (A) = P (H_{1}) \cdot P (A ∣ H_{1}) + P (H_{2}) \cdot P (A ∣ H_{2}) + \dots + P (H_{n}) \cdot P (A ∣ H_{n})

На практике это сложение вероятностей всех «веток дерева», по которым может наступить $A .$

Дерево вероятностей для формулы полной вероятности

Для серии повторяющихся независимых испытаний (например, «стрелок делает $n$ выстрелов, попадает с вероятностью $p$ ») работает отдельная формула.

ВАЖНОЕ

Формула Бернулли

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие наступит ровно $k$ раз (при постоянной вероятности успеха $p$ ):

P_{n} (k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

где $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ - число сочетаний.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как выбирать формулу

1. Разбей сложное событие на простые. Выпиши элементарные события словами: «первый датчик сработал», «ваза оказалась бракованной».
2. Сформулируй искомое событие через союзы. «Произойдёт $A$ И произойдёт $B,$ ИЛИ произойдёт $C$ И $D$ » - это готовое выражение.
3. Союз «И» переводи в умножение, союз «ИЛИ» - в сложение. Проверь совместность (перед сложением) и независимость (перед умножением).
4. Увидел «хотя бы один» - переходи к противоположному. Найди вероятность «ни одного» и вычти из $1 .$
5. Увидел ветвление сценариев («деталь из цеха 1 ИЛИ из цеха 2») - применяй формулу полной вероятности. Перемножай вероятности внутри ветки, складывай вероятности между ветками.
6. Проверь ответ. Вероятность должна лежать в $[0; 1] .$ Если получилось $1, 2$ или $- 0, 05$ - ищи ошибку в знаках.

Примеры

Разберём пять самых частых сюжетов задания 5.

ПРИМЕР 1

Независимые события и «хотя бы один»

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0, 4 .$ Лампы перегорают независимо друг от друга. Найди вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Событие «хотя бы одна работает» наступит, если целы одна, две или все три лампы. Противоположное событие ровно одно: «перегорели все три» - его вероятность посчитать проще.

1. Лампы независимы, значит вероятность того, что перегорят все три сразу, равна произведению:

P (все 3 сгорят) = 0, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0, 4 = 0, 064

2. Переходим к искомой вероятности через единицу:

P (хотя бы 1 работает) = 1 - 0, 064 = 0, 936

Ответ: $0, 936$

ПРИМЕР 2

Совместные события

В торговом центре два одинаковых банкомата. Вероятность того, что к концу дня в первом банкомате закончатся деньги, равна $0, 25 .$ Вероятность того, что деньги закончатся во втором банкомате, такая же. Вероятность того, что деньги закончатся в обоих банкоматах, равна $0, 15 .$ Найди вероятность того, что к концу дня деньги останутся в обоих банкоматах.

ПРИМЕР 3

Формула полной вероятности (контроль качества)

Автоматическая линия производит смартфоны. Вероятность того, что готовый смартфон бракованный, равна $0, 05 .$ Перед упаковкой каждый смартфон проходит проверку. Вероятность того, что система контроля забракует бракованный смартфон, равна $0, 96 .$ Вероятность того, что система по ошибке забракует исправный смартфон, равна $0, 02 .$ Найди вероятность того, что случайно взятый смартфон будет забракован системой контроля.

ПРИМЕР 4

Несовместные события на числовой оси

На метеостанции измеряют температуру воздуха. Известно, что вероятность того, что температура окажется ниже $+ 22^{\circ} C,$ равна $0, 9 .$ Вероятность того, что температура окажется выше $+ 15^{\circ} C,$ равна $0, 85 .$ Найди вероятность того, что температура окажется больше $+ 15^{\circ} C,$ но меньше $+ 22^{\circ} C .$

ПРИМЕР 5

Формула Бернулли

Биатлонист делает $5$ независимых выстрелов по мишеням. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0, 8 .$ Найди вероятность того, что он попадёт ровно $4$ раза.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Складывать вероятности совместных событий напрямую

Ошибка: В задаче про два автомата с кофе складывать вероятности поломок без поправки: $P (сломается хотя бы один) = 0, 2 + 0, 2 = 0, 4 .$

Правильно: События совместны - оба автомата могут сломаться в один день. Нужно вычесть вероятность их одновременной поломки:

P (A + B) = 0, 2 + 0, 2 - 0, 12 = 0, 28

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Прямой подсчёт «хотя бы одного»

Ошибка: При нахождении вероятности «хотя бы один из трёх стрелков попадёт в цель» складывать вероятности «попал ровно один» + «попали двое» + «попали все трое».

Правильно: Этот путь даёт громоздкие вычисления и легко приводит к ошибке в комбинациях. Всегда решай через противоположное: $1 - P (никто не попал) .$ Вероятность «никто не попал» - это произведение вероятностей промахов (события независимы).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путать независимость и несовместность

Ошибка: Ученик видит, что события «не пересекаются», и сразу перемножает вероятности.

Правильно: Для умножения важна независимость, а не несовместность. Более того, несовместные события с ненулевыми вероятностями зависимы: если одно произошло, второе стать не может. Для несовместных событий $P (A \cdot B) = 0,$ а не $P (A) \cdot P (B) .$

Что запомнить

Видишь «И» (и первое, и второе одновременно) $⟹$ УМНОЖАЙ (если события независимы).
Видишь «ИЛИ» (подходит любой из вариантов) $⟹$ СКЛАДЫВАЙ (если события несовместны; иначе вычитай пересечение).
Видишь «ХОТЯ БЫ ОДИН» $⟹$ вычитай из единицы вероятность «НИ ОДНОГО».
Видишь «деталь поступает с одного из нескольких заводов» или «тест может ошибаться» $⟹$ применяй формулу полной вероятности и рисуй дерево сценариев.
Видишь «ровно $k$ раз из $n$ » в серии одинаковых выстрелов/бросков $⟹$ формула Бернулли с $C_{n}^{k} .$
Проверяй ответ на адекватность: он должен быть в $[0; 1]$ и обычно представлять собой аккуратную десятичную дробь ( $0, 83,$ $0, 4096$ ).

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 5

Время выполнения: 5-10 минут. Основной риск - арифметическая ошибка при умножении десятичных дробей на 3-4 знака после запятой.
Очерёдность: Решай сразу в первом проходе вместе с остальной базой. Задание редко содержит ловушки, если внимательно читать текст.
Визуализация: Для задач с ветвлением сценариев (контроль качества, две фабрики, тест на болезнь) рисуй дерево вероятностей. Для задач на интервалы (взвешивание, температура, расход топлива) - числовую ось. Визуализация убирает большую часть логических ошибок.
Самопроверка: Если ответ вышел $> 1$ или $< 0$ - формула применена неверно. Если ответ получается бесконечной дробью - где-то арифметическая ошибка: ЕГЭ-ответ в этом задании всегда конечная десятичная дробь.
Когда пропускать: Если условие запутано («кофе кончится в первом, но останется во втором, а третий работает с вероятностью...»), не зависай на нём. Отметь и вернись после прохода по всем заданиям 1-9.

Проверь себя0 из 4

1.События

A

B

несовместны,

P (A) = 0, 3,

P (B) = 0, 45 .

Чему равна

P (A + B) ?

2.Два независимых датчика срабатывают с вероятностями

0, 9

0, 8 .

Какова вероятность, что сработают оба?

3.Вероятность перегорания каждой из двух независимых ламп равна

0, 3 .

Какова вероятность, что хотя бы одна лампа не перегорит?

4.Несовместные события с ненулевыми вероятностями — какие они?