О задании

Задание 5 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение работать со сложными вероятностями. В отличие от простых задач, где достаточно поделить «подходящие исходы» на «все исходы», здесь работают теоремы сложения и умножения вероятностей.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

Все задачи пятого номера можно разделить на несколько типичных сюжетов:

1. Независимые испытания. Несколько стрелков стреляют по мишеням, несколько ламп горят в люстре, насосы качают воду. Нужно найти вероятность того, что сработают все, не сработает ни один или сработает «хотя бы один».
2. Формула полной вероятности. Классический сюжет: деталь поступает с одного из двух заводов, или пациент сдаёт тест на заболевание (тест может ошибаться).
3. Совместные события. Известна вероятность того, что кофе закончится в первом автомате, во втором автомате и в обоих сразу. Нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих.

Основные формулы и правила

Для решения нужно чётко понимать, как события связаны между собой.

Вероятность противоположного события

Сумма вероятностей события $A$ и противоположного ему события $\overset{ˉ}{A}$ (не $A$ ) всегда равна единице.

P (A) + P (\overset{ˉ}{A}) = 1

Умножение вероятностей (правило «И»)

Если события $A$ и $B$ независимы (наступление одного не влияет на другое), то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

P (A и B) = P (A) \cdot P (B)

Сложение вероятностей (правило «ИЛИ»)

Если события $A$ и $B$ несовместны (не могут произойти одновременно), то вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме:

P (A или B) = P (A) + P (B)

Если события совместны (могут произойти вместе), формулу нужно скорректировать, вычтя вероятность их пересечения:

P (A или B) = P (A) + P (B) - P (A и B)

Общий алгоритм решения

Как решать задание 5

1. Выдели отдельные события. Прочитай условие и разбей сложную ситуацию на простые шаги (например, «первый попал», «второй промахнулся»).
2. Определи связь. Задай вопрос: события происходят одновременно (нужно правило «И») или может произойти либо одно, либо другое (нужно правило «ИЛИ»)?
3. Составь выражение. Переведи текстовое условие на язык математики, заменив союзы на знаки $+$ и $\cdot .$
4. Используй дерево вероятностей (опционально). Если сюжет подразумевает развилку (деталь пошла на проверку $⟹$ её забраковали верно или ошибочно), нарисуй схему со стрелочками.
5. Вычисли и проверь. Подставь десятичные дроби в формулу. Убедись, что итоговый ответ находится строго в пределах от $0$ до $1 .$

Примеры решения

Разберём два самых частых типа задач. Располагаем их от простого к сложному.

Пример 1. Независимые события и «хотя бы один»

Условие:
В системе пожарной сигнализации установлено три независимых датчика. Вероятность того, что при пожаре отдельный датчик не сработает, равна $0, 1 .$ Найдите вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик.

Показать решение

Фраза «хотя бы один» - главный маркер того, что задачу нужно решать через противоположное событие.

Событие «сработает хотя бы один датчик» включает в себя ситуации: сработал ровно один, сработали два, сработали все три. Считать их по отдельности долго. Противоположное событие только одно: «не сработал ни один датчик» (то есть первый сломался, И второй сломался, И третий сломался).

1. Вероятность того, что не сработает первый датчик: $P_{1} = 0, 1 .$
2. Датчики независимы, поэтому вероятность того, что не сработают все три, равна произведению:

P (ни один) = 0, 1 \cdot 0, 1 \cdot 0, 1 = 0, 001

3. Найдём вероятность искомого события, вычтя вероятность противоположного из единицы:

P (хотя бы один) = 1 - 0, 001 = 0, 999

Ответ: 0,999

Пример 2. Формула полной вероятности (дерево)

Условие:
Фабрика выпускает стеклянные вазы. В среднем $5 %$ выпущенных ваз имеют скрытый дефект. Перед отправкой в магазин каждая ваза проходит контроль качества. Вероятность того, что система забракует дефектную вазу, равна $0, 98 .$ Вероятность того, что система по ошибке забракует качественную вазу, равна $0, 03 .$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная ваза будет забракована.

Показать решение

Такие задачи удобнее всего решать с помощью дерева вероятностей. Событие «ваза забракована» может наступить по двум несовместным сценариям:

Сценарий 1: Ваза качественная И система её ошибочно забраковала.
Сценарий 2: Ваза дефектная И система её верно забраковала.

1. Переведём проценты в дроби. Вероятность того, что ваза дефектная: $0, 05 .$ Значит, вероятность того, что ваза качественная: $1 - 0, 05 = 0, 95 .$
2. Посчитаем вероятность Сценария 1 (правило умножения):

P_{1} = 0, 95 \cdot 0, 03 = 0, 0285

3. Посчитаем вероятность Сценария 2 (правило умножения):

P_{2} = 0, 05 \cdot 0, 98 = 0, 049

4. Ваза будет забракована, если реализуется Сценарий 1 ИЛИ Сценарий 2. Так как эти сценарии несовместны, вероятности нужно сложить:

P (забракована) = 0, 0285 + 0, 049 = 0, 0775

Ответ: 0,0775

Частые ошибки

Сложение вероятностей для события «хотя бы один»

Ошибка: В задаче с тремя датчиками (вероятность поломки $0, 1,$ вероятность срабатывания $0, 9$ ) сложить вероятности срабатывания: $0, 9 + 0, 9 + 0, 9 = 2, 7 .$
Правильно: Вероятность не может быть больше $1 .$ Правило сложения работает только для несовместных событий. Срабатывание первого датчика не исключает срабатывания второго. Решай такие задачи только через вычитание вероятности противоположного события из $1 .$

Путаница между И и ИЛИ

Ошибка: Умножать вероятности там, где нужно складывать, или наоборот.
Правильно: Проговаривай условие про себя. Если между событиями логично поставить союз И (нужно, чтобы произошло и то, и другое вместе) - ставь знак умножения. Если союз ИЛИ (подходит любой из вариантов) - ставь знак сложения.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 5

Ориентировочное время: 5–10 минут. Вычисления с десятичными дробями (особенно до 3-4 знака после запятой) требуют внимательности.
Рисуй схемы: Если в задаче есть последовательность действий (сначала автомат ломается, потом приезжает мастер), рисуй дерево вероятностей. Это убережёт от потери возможных сценариев.
Проверка ответа: Всегда оценивай полученное число на адекватность. Если система контроля очень точная, а дефектных деталей мало, вероятность брака должна быть небольшой (например, $0, 07,$ а не $0, 8$ ). И главное: ответ обязан лежать в промежутке $[0; 1] .$
Когда стоит пропустить: Если текст задачи запутан, в нём много условий («кофе кончится в первом, но останется во втором...») и с ходу не получается составить выражение, оставь задачу на второй круг.