О задании
Задание 5 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение работать со сложными вероятностями. В отличие от простых задач, где достаточно поделить «подходящие исходы» на «все исходы», здесь работают теоремы сложения и умножения вероятностей.
- Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
- Уровень сложности: Повышенный.
- Максимальный балл: 1 первичный балл.
Какие темы встречаются
Все задачи пятого номера можно разделить на несколько типичных сюжетов:
1. Независимые испытания. Несколько стрелков стреляют по мишеням, несколько ламп горят в люстре, насосы качают воду. Нужно найти вероятность того, что сработают все, не сработает ни один или сработает «хотя бы один».
2. Формула полной вероятности. Классический сюжет: деталь поступает с одного из двух заводов, или пациент сдаёт тест на заболевание (тест может ошибаться).
3. Совместные события. Известна вероятность того, что кофе закончится в первом автомате, во втором автомате и в обоих сразу. Нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих.
Основные формулы и правила
Для решения нужно чётко понимать, как события связаны между собой.
Сумма вероятностей события A и противоположного ему события Aˉ (не A) всегда равна единице.
P(A)+P(Aˉ)=1Если события A и B независимы (наступление одного не влияет на другое), то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:
P(A и B)=P(A)⋅P(B)Если события A и B несовместны (не могут произойти одновременно), то вероятность наступления хотя бы одного из них равна сумме:
P(A или B)=P(A)+P(B)Если события совместны (могут произойти вместе), формулу нужно скорректировать, вычтя вероятность их пересечения:
P(A или B)=P(A)+P(B)−P(A и B)Общий алгоритм решения
1. Выдели отдельные события. Прочитай условие и разбей сложную ситуацию на простые шаги (например, «первый попал», «второй промахнулся»).
2. Определи связь. Задай вопрос: события происходят одновременно (нужно правило «И») или может произойти либо одно, либо другое (нужно правило «ИЛИ»)?
3. Составь выражение. Переведи текстовое условие на язык математики, заменив союзы на знаки + и ⋅.
4. Используй дерево вероятностей (опционально). Если сюжет подразумевает развилку (деталь пошла на проверку ⟹ её забраковали верно или ошибочно), нарисуй схему со стрелочками.
5. Вычисли и проверь. Подставь десятичные дроби в формулу. Убедись, что итоговый ответ находится строго в пределах от 0 до 1.
Примеры решения
Разберём два самых частых типа задач. Располагаем их от простого к сложному.
Условие:
В системе пожарной сигнализации установлено три независимых датчика. Вероятность того, что при пожаре отдельный датчик не сработает, равна 0,1. Найдите вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик.
Показать решение
Фраза «хотя бы один» - главный маркер того, что задачу нужно решать через противоположное событие.
Событие «сработает хотя бы один датчик» включает в себя ситуации: сработал ровно один, сработали два, сработали все три. Считать их по отдельности долго. Противоположное событие только одно: «не сработал ни один датчик» (то есть первый сломался, И второй сломался, И третий сломался).
1. Вероятность того, что не сработает первый датчик: P1=0,1.
2. Датчики независимы, поэтому вероятность того, что не сработают все три, равна произведению:
3. Найдём вероятность искомого события, вычтя вероятность противоположного из единицы:
P(хотя бы один)=1−0,001=0,999Ответ: 0,999
Условие:
Фабрика выпускает стеклянные вазы. В среднем 5% выпущенных ваз имеют скрытый дефект. Перед отправкой в магазин каждая ваза проходит контроль качества. Вероятность того, что система забракует дефектную вазу, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует качественную вазу, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная ваза будет забракована.
Показать решение
Такие задачи удобнее всего решать с помощью дерева вероятностей. Событие «ваза забракована» может наступить по двум несовместным сценариям:
- Сценарий 1: Ваза качественная И система её ошибочно забраковала.
- Сценарий 2: Ваза дефектная И система её верно забраковала.
1. Переведём проценты в дроби. Вероятность того, что ваза дефектная: 0,05. Значит, вероятность того, что ваза качественная: 1−0,05=0,95.
2. Посчитаем вероятность Сценария 1 (правило умножения):
3. Посчитаем вероятность Сценария 2 (правило умножения):
P2=0,05⋅0,98=0,0494. Ваза будет забракована, если реализуется Сценарий 1 ИЛИ Сценарий 2. Так как эти сценарии несовместны, вероятности нужно сложить:
P(забракована)=0,0285+0,049=0,0775Ответ: 0,0775
Частые ошибки
Ошибка: В задаче с тремя датчиками (вероятность поломки 0,1, вероятность срабатывания 0,9) сложить вероятности срабатывания: 0,9+0,9+0,9=2,7.
Правильно: Вероятность не может быть больше 1. Правило сложения работает только для несовместных событий. Срабатывание первого датчика не исключает срабатывания второго. Решай такие задачи только через вычитание вероятности противоположного события из 1.
Ошибка: Умножать вероятности там, где нужно складывать, или наоборот.
Правильно: Проговаривай условие про себя. Если между событиями логично поставить союз И (нужно, чтобы произошло и то, и другое вместе) - ставь знак умножения. Если союз ИЛИ (подходит любой из вариантов) - ставь знак сложения.
Стратегия на экзамене
- Ориентировочное время: 5–10 минут. Вычисления с десятичными дробями (особенно до 3-4 знака после запятой) требуют внимательности.
- Рисуй схемы: Если в задаче есть последовательность действий (сначала автомат ломается, потом приезжает мастер), рисуй дерево вероятностей. Это убережёт от потери возможных сценариев.
- Проверка ответа: Всегда оценивай полученное число на адекватность. Если система контроля очень точная, а дефектных деталей мало, вероятность брака должна быть небольшой (например, 0,07, а не 0,8). И главное: ответ обязан лежать в промежутке [0;1].
- Когда стоит пропустить: Если текст задачи запутан, в нём много условий («кофе кончится в первом, но останется во втором...») и с ходу не получается составить выражение, оставь задачу на второй круг.