Текстовые задачи на движение и работу — ЕГЭ профиль

Текстовые задачи на движение и работу (Задание 13)

Движение и работа - самый старый школьный сюжет из всех, что попали в тринадцатый номер. Но упаковка тут новая: на задание отводится десять минут, обоснование не требуется, а в бланк уходит одно число. Поэтому и условия короткие - один участок пути, два участника, одна фраза со сравнением: «на 2 часа быстрее», «на 20 км/ч большей», «на 5 деталей в час больше». Именно из этой фразы и получается уравнение.

Две тройки величин

ВАЖНОЕ

Путь и работа устроены одинаково

S = v \cdot t A = p \cdot t

$S$ - путь, $v$ - скорость, $t$ - время в пути; $A$ - объём работы, $p$ - производительность, то есть сколько работы делается за единицу времени. Из каждой формулы выражается любая величина:

v = \frac{S}{t}, t = \frac{S}{v}, p = \frac{A}{t}, t = \frac{A}{p}

Путь и работа: одна и та же тройка величин

iЗАМЕЧАНИЕ

Всю работу берут за единицу

Если объём работы в условии не назван («собрать шкаф», «покрасить забор»), его принимают за $1 .$ Тогда у рабочего, который справляется в одиночку за $t$ часов, производительность равна $\frac{1}{t}$ - это доля работы, выполняемая за час. Если объём назван (200 деталей, 90 страниц), считать удобнее прямо в этих единицах; ответ от выбора единиц не зависит.

Что складывается, а что нет

Складываются только скорости и производительности - то, что делается за единицу времени. Времена не складываются никогда.

ВАЖНОЕ

Совместная работа

p = p_{1} + p_{2} = \frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}, t_{вместе} = \frac{1}{p _{1} + p _{2}}

За час вдвоём делают ровно столько, сколько каждый сделал бы за свой час поодиночке. Совместное время всегда меньше меньшего из двух одиночных.

Та же логика в движении: навстречу друг другу объекты сближаются со скоростью $v_{1} + v_{2},$ а вдогонку - со скоростью $∣ v_{1} - v_{2} ∣ .$

Движение по воде

ВАЖНОЕ

Скорость по течению и против течения

v_{по} = v + u, v_{против} = v - u

$v$ - собственная скорость (скорость в стоячей воде), $u$ - скорость течения. Плот собственной скорости не имеет и плывёт ровно со скоростью течения.

Течение сдвигает скорость в обе стороны на одну и ту же величину

Средняя скорость

ВАЖНОЕ

Средняя скорость

v_{ср} = \frac{S _{1} + S _{2} + \dots}{t _{1} + t _{2} + \dots}

Весь пройденный путь делится на всё затраченное время, включая остановки. Среднее арифметическое скоростей сюда не годится.

Как из фразы получается уравнение

Условие в этом номере почти всегда содержит ровно одну фразу-сравнение, и именно она превращается в равенство. Три самые частые связки стоит выучить наизусть:

«справился на $2$ часа быстрее» $\Rightarrow$ $t_{медл} - t_{быстр} = 2;$
«вместе за $6$ часов» $\Rightarrow$ $\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{1}{6};$
«в час на $5$ деталей больше» $\Rightarrow$ $p_{1} = p_{2} + 5 .$

АЛГОРИТМ

Алгоритм за десять минут

1. За $x$ бери то, что спрашивают. Тогда в конце не придётся вспоминать, что именно найдено.
2. Вырази второго участника через $x .$ «На $20$ км/ч больше» - это $x + 20;$ «на $5$ часов меньше» - это $x - 5 .$
3. Заполни времена только по формуле $t = \frac{S}{v}$ (или $t = \frac{A}{p}$ ). Новых букв на этом шаге не вводи - иначе уравнений понадобится два.
4. Переведи фразу-сравнение в равенство. Из большего времени вычитается меньшее; совместная работа даёт сумму производительностей.
5. Умножь обе части на общий знаменатель. Дробное уравнение станет квадратным.
6. Отбрось посторонний корень и ответь на вопрос. Скорость, время и производительность положительны, поэтому отрицательный корень отбрасывается сразу.

Примеры решения

Пять разборов закрывают весь диапазон сюжетов, которые встречаются в этом номере.

ПРИМЕР 1

Средняя скорость на всём пути

Велосипедист проехал $45$ км за $3$ часа, а затем прошёл пешком $5$ км за $2$ часа. Найдите среднюю скорость велосипедиста на всём пути (в километрах в час).

ПРИМЕР 2

Разница во времени: автомобиль и автобус

Расстояние между двумя городами равно $240$ км. Автомобиль проезжает его со скоростью на $20$ км/ч большей, чем рейсовый автобус, и тратит на дорогу на $1$ час меньше. Найдите скорость автомобиля (в километрах в час).

ПРИМЕР 3

Катер вниз по реке и обратно

Катер прошёл $126$ км вниз по реке и столько же обратно, затратив на весь путь $16$ часов. Скорость течения реки равна $2$ км/ч. Найдите собственную скорость катера (в километрах в час).

ПРИМЕР 4

Двое собирают шкаф

Два мастера, работая вместе, собирают шкаф за $6$ часов. Первому мастеру на всю работу в одиночку требуется на $5$ часов меньше, чем второму. За сколько часов соберёт шкаф первый мастер, работая один?

ПРИМЕР 5

Заказ на 200 деталей

Два токаря получили одинаковый заказ на $200$ деталей. Первый вытачивает в час на $5$ деталей больше второго и справляется с заказом на $2$ часа быстрее. Сколько деталей в час вытачивает первый токарь?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Средняя скорость как среднее арифметическое

Ошибка: сложить скорости на участках и разделить на два. В примере 1 это дало бы $8, 75$ вместо $10 .$
Правильно: $v_{ср} = \frac{S _{общ}}{t _{общ}} .$ Среднее арифметическое совпадает с ответом только в одном случае - когда времена участков равны, а на это рассчитывать нельзя.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложение времён в совместной работе

Ошибка: «первый за $10$ часов, второй за $15,$ вместе за $25$ » или «вместе за $\frac{10 + 15}{2} = 12, 5$ ».
Правильно: складываются производительности, а не времена: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6},$ вместе - $6$ часов. Быстрая проверка здравым смыслом: вдвоём обязано получиться быстрее, чем у самого быстрого в одиночку.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутан знак в разности времён

Ошибка: записать $\frac{240}{x} - \frac{240}{x - 20} = 1,$ то есть вычесть большее время из меньшего. Левая часть станет отрицательной, и уравнение решений не даст.
Правильно: «быстрее» означает меньше времени. Из времени медленного участника вычитается время быстрого; правая часть при этом положительна. Если после раскрытия скобок получилось $- 4800 = x^{2} - 20 x,$ знак перепутан.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ не на тот вопрос

Ошибка: обозначить за $x$ скорость автобуса, найти $x = 60$ и записать это в бланк, когда спрашивали скорость автомобиля.
Правильно: обозначай за $x$ именно то, что спрашивают, а перед записью ответа перечитывай последнюю строку условия. Заодно проверь единицы: спрашивают километры в час, а не минуты, детали или километры.

Что запомнить

$S = v \cdot t$ и $A = p \cdot t$ - одна и та же формула; скорость и производительность играют одну роль.
Вся работа берётся за $1,$ производительность одиночки равна $\frac{1}{t} .$
Складываются скорости и производительности; времена не складываются никогда.
По течению $v + u,$ против течения $v - u;$ плот движется со скоростью течения.
Средняя скорость - это весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое.
Фраза-сравнение из условия и есть уравнение: разность времён, сумма производительностей или разность производительностей.
Дробное уравнение умножают на общий знаменатель, получают квадратное, отрицательный корень отбрасывают.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: по спецификации на задание отводится $10$ минут; такая задача решается за $5$ - $7 .$
Единицы приводи сразу. Минуты переводи в часы (или наоборот) до составления уравнения, а не после: $30$ мин - это $0, 5$ ч.
Дискриминант обязан быть полным квадратом. В этом номере числа подобраны так, что корень извлекается нацело. Получился $4231$ - ошибка в уравнении, а не в арифметике.
Проверка занимает полминуты. Подставь найденное число обратно в условие: посчитай оба времени и сравни их разность с той, что дана.
Формат ответа: только число, без единиц измерения; десятичная дробь пишется через запятую ( $6, 8,$ а не $6.8$ ).

Проверь себя0 из 5

1.Рабочий выполняет всю работу за

12

часов. Чему равна его производительность?

2.Собственная скорость лодки

15

км/ч, скорость течения

3

км/ч. С какой скоростью лодка идёт против течения?

3.Пешеход прошёл

12

км за

3

часа, а затем

6

км за

1

час. Какова его средняя скорость?

4.Двое вместе выполняют работу за

4

часа, первый в одиночку - за

6

часов. За сколько часов выполнит работу второй?

5.В условии сказано: «первый справился на

3

часа быстрее второго». Какое равенство верно?