Свойства ожидания и дисперсии — ЕГЭ профиль

Свойства ожидания и дисперсии (Задание 6)

В задании 6 редко просят посчитать $E (X)$ и $D (X)$ «с нуля» по таблице. Гораздо чаще известная величина превращается в новую: минуты - в рубли, граммы - в килограммы, число заказов - в зарплату, два независимых слагаемых - в их сумму. Пересчитывать таблицу распределения при этом не нужно. У ожидания и дисперсии есть свойства, которые дают ответ в одну-две строки, и вся тема - это умение узнать, какое из них здесь работает.

Линейное преобразование

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Линейное преобразование случайной величины

Если каждое значение величины $X$ умножили на число $a$ и прибавили число $b,$ получилась новая случайная величина

Y = a X + b

Значения у неё новые, а вероятности - в точности прежние: событие « $X = x_{i}$ » и событие « $Y = a x_{i} + b$ » - это одно и то же событие, просто записанное в других единицах.

Из последней фразы всё и следует. Раз вероятности не изменились, таблицу распределения переписывать не надо - достаточно трёх готовых равенств.

ВАЖНОЕ

Ожидание и разброс при

Y = a X + b

E (a X + b) = a E (X) + b

D (a X + b) = a^{2} D (X)

σ (a X + b) = ∣ a ∣ \cdot σ (X)

Множитель $a$ действует и на центр, и на разброс. Слагаемое $b$ двигает только центр.

Линейная замена двигает центр и растягивает разброс

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему слагаемое не влияет на разброс

Дисперсия измеряет отклонения от среднего. Прибавили $b$ ко всем значениям - но и среднее сдвинулось ровно на $b,$ поэтому каждое отклонение $x_{i} - E (X)$ осталось прежним. А множитель $a$ растягивает все отклонения в $a$ раз, и в формулу дисперсии отклонения входят в квадрате - отсюда и берётся $a^{2} .$

Сумма и разность величин

ВАЖНОЕ

Ожидание и дисперсия суммы

Ожидания складываются всегда, никакой независимости для этого не требуется:

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

Дисперсии складываются только для независимых величин - и, что важно, у разности тоже складываются:

D (X + Y) = D (X) + D (Y), D (X - Y) = D (X) + D (Y)

Стандартные отклонения не складываются никогда. Сначала переходи к дисперсиям:

σ (X + Y) = σ^{2} (X) + σ^{2} (Y)

Отклонения складываются как катеты прямоугольного треугольника

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему у разности тоже плюс

Разность - это сумма с величиной $(- Y),$ а $D (- Y) = (- 1)^{2} D (Y) = D (Y) .$ Вычитание не «гасит» разброс, а добавляет свой: если из отверстия с гуляющим диаметром вычесть вал с гуляющим диаметром, зазор будет колебаться сильнее, чем каждая из деталей по отдельности.

Повторы одной величины

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Величины

2 X

X_{1} + X_{2}

- разные

$2 X$ - это один результат, удвоенный: $D (2 X) = 4 D (X),$ значит $σ (2 X) = 2 σ (X) .$
$X_{1} + X_{2}$ - два независимых испытания: $D = 2 D (X),$ значит $σ = 2 \cdot σ (X) \approx 1, 41 σ (X) .$
Средние у них совпадают, а разброс - нет: независимые отклонения частично гасят друг друга, а удваивать одно и то же нечему гасить.

Удвоение величины против суммы двух независимых копий

ВАЖНОЕ

Сумма и среднее

n

независимых одинаковых величин

E (X_{1} + \dots + X_{n}) = n E (X), D (X_{1} + \dots + X_{n}) = n D (X)

Для среднего арифметического $X = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n} :$

E (X) = E (X), D (X) = \frac{D ( X )}{n}, σ (X) = \frac{σ ( X )}{n}

Усреднение не двигает центр, но сжимает разброс в $n$ раз.

Разброс среднего убывает как корень из числа измерений

Как выбрать формулу

Схема выбора формулы по виду связи величин

АЛГОРИТМ

1. Назови новую величину буквой и запиши её через известные: $Y = 900 X + 24000,$ $Z = X - Y,$ $X = \frac{X _{1} + \dots + X _{25}}{25} .$
2. Определи вид связи. Умножение и сдвиг - линейные формулы. Сумма или разность - складываем дисперсии. Среднее $n$ штук - делим отклонение на $n .$
3. Для суммы проверь независимость. Слова «независимо», «не влияют друг на друга», разные станки, отделы, дни или партии - разрешают складывать дисперсии.
4. Считай в дисперсиях, а не в отклонениях. Дано $σ$ - возведи в квадрат, посчитай в дисперсиях, в конце извлеки корень.
5. Ответь ровно на заданный вопрос. Спросили дисперсию - не давай отклонение, и наоборот. Проверь единицы: дисперсия измеряется в квадратах.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Оклад плюс сдельная часть

Условие:
Тренер получает за месяц фиксированные $24000$ рублей и ещё $900$ рублей за каждое проведённое занятие. Число занятий за месяц - случайная величина $X,$ причём $E (X) = 46 .$ Найдите математическое ожидание месячного заработка тренера.

ПРИМЕР 2

Смена единиц измерения

Условие:
Датчик записывает температуру в градусах Цельсия; стандартное отклонение его показаний равно $2, 5$ градуса. Показания пересчитывают в градусы Фаренгейта по формуле $F = 1, 8 C + 32 .$ Найдите стандартное отклонение показаний в градусах Фаренгейта.

ПРИМЕР 3

Сумма независимых величин

Условие:
Время доставки складывается из времени комплектации на складе и времени в пути; эти два времени независимы. Стандартное отклонение времени комплектации равно $6$ минутам, времени в пути - $8$ минутам. Найдите стандартное отклонение общего времени доставки.

ПРИМЕР 4

Разность независимых величин

Условие:
Диаметр отверстия и диаметр вала - независимые случайные величины с дисперсиями $0, 16$ и $0, 09$ (в квадратных миллиметрах). Зазор - это разность диаметров. Найдите стандартное отклонение зазора в миллиметрах.

ПРИМЕР 5

Среднее нескольких измерений

Условие:
Одно взвешивание пробы даёт результат со стандартным отклонением $15$ мг. Лаборант независимо взвешивает пробу $25$ раз и берёт среднее арифметическое. Найдите стандартное отклонение этого среднего в миллиграммах.

Частые ошибки

✗НЕВЕРНО

Сложили стандартные отклонения

Условие примера 3: отклонения $6$ и $8$ минут.
Неверное решение: $σ = 6 + 8 = 14$ минут.
Что не так: складываются дисперсии, а не отклонения. Верно $36 + 64 = 100,$ откуда $σ = 10 .$ Ошибка систематическая: сумма отклонений всегда завышает разброс, и «правдоподобный» ответ $14$ ставят в задачу как ловушку.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потерян квадрат у множителя

Ошибка: $D (30 X + 150) = 30 D (X)$ или, ещё хуже, $D (30 X + 150) = 30 D (X) + 150 .$
Правильно: $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ - множитель входит в квадрате, слагаемое не входит вовсе. Значит, $D (30 X + 150) = 900 D (X) .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отклонение подставили вместо дисперсии

Ошибка: дано $σ (X) = 2,$ а в формулу $D (a X) = a^{2} D (X)$ подставили $D (X) = 2 .$
Правильно: $D (X) = σ^{2} (X) = 4 .$ Держи в голове цепочку: дано $σ$ - возведи в квадрат - посчитай в дисперсиях - извлеки корень.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сложили дисперсии зависимых величин

Ошибка: рост и масса одного и того же человека, выручка магазина и выручка его же кафе в тот же день - и для них написали $D (X + Y) = D (X) + D (Y) .$
Правильно: равенство верно только для независимых величин. Если независимость в условии не оговорена и по смыслу её нет, дисперсию суммы средствами первой части не найти - значит, условие понято неверно.

КОРОТКО

Что запомнить

$E (a X + b) = a E (X) + b;$ $D (a X + b) = a^{2} D (X);$ $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X) .$
Ожидания складываются всегда; дисперсии - только у независимых, и у разности тоже со знаком плюс.
Отклонения не складываются: $σ (X + Y) = σ^{2} (X) + σ^{2} (Y) .$
Для $n$ независимых одинаковых величин дисперсия суммы в $n$ раз больше, а отклонение среднего в $n$ раз меньше.
$2 X$ и $X_{1} + X_{2}$ - разные величины: $4 D (X)$ против $2 D (X) .$

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 3-4 минуты. Задача на свойства - самая быстрая в шестом номере: таблицу считать не надо.
Первый ход: выпиши новую величину формулой. Половина ошибок случается до всякой арифметики - в том, как записано условие.
Единицы: если в вопросе «дисперсия», ответ будет в квадратах (рублях в квадрате, минутах в квадрате) - и это нормально.
Проверка порядком величины: отклонение суммы двух слагаемых обязано быть больше каждого из них, но меньше их суммы. В примере 3: $8 < 10 < 14$ - сходится.
Проверка знаком: дисперсия и её корень неотрицательны. Получил минус - ищи потерянный квадрат.

Проверь себя0 из 5

1.Известно, что

D (X) = 5 .

Чему равно

D (3 X + 7) ?

2.Известно, что

σ (X) = 4 .

Чему равно

σ (- 2 X + 10) ?

X

Y

независимы,

D (X) = 9,

D (Y) = 16 .

Чему равно

σ (X - Y) ?

4.Одно измерение имеет стандартное отклонение

12 .

Каким будет отклонение среднего из

9

независимых измерений?

5.Что можно утверждать про

E (X + Y),

если про независимость

X

Y

ничего не сказано?