Разобрался в теме? Закрепи на задачах
Задачи по каждой теме с AI-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.
Задание 6 открывает блок алгебры в первой части профильного ЕГЭ. Оно проверяет умение решать базовые уравнения: находить корни и отсеивать посторонние.
В этом номере нет сложных многоэтажных уравнений. Все задачи решаются за 2–3 шага. Чаще всего попадаются три типа уравнений:
1. Показательные - неизвестная находится в показателе степени.
2. Иррациональные - неизвестная находится под знаком корня.
3. Логарифмические - неизвестная находится внутри логарифма.
Реже встречаются простые линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения.
Чтобы решить уравнение, нужно «сбросить» внешнюю функцию. Для каждого типа есть своё правило перехода к простому линейному или квадратному уравнению.
Если основания степеней равны, можно приравнять их показатели:
af(x)=ag(x)⟹f(x)=g(x)Главное - предварительно привести обе части уравнения к одинаковому основанию a.
Чтобы избавиться от квадратного корня, нужно возвести обе части уравнения в квадрат:
f(x)=c⟹f(x)=c2Это действие законно только если правая часть неотрицательна (c⩾0).
По определению логарифма, число внутри логарифма равно основанию в степени правой части:
logaf(x)=c⟹f(x)=acИли, если логарифмы стоят с обеих сторон:
logaf(x)=logag(x)⟹f(x)=g(x)В обоих случаях помни про ограничение: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля (f(x)>0).
1. Определи тип уравнения. Посмотри, где находится x: в степени, под корнем или в логарифме.
2. Подготовь уравнение. Если это степени - приведи левую и правую части к одному числу в основании. Если логарифмы - сделай так, чтобы слева и справа стоял одиночный логарифм с одинаковым основанием, или примени определение.
3. Сделай равносильный переход. Отбрось основания, логарифмы или возведи всё в квадрат.
4. Реши полученное уравнение. Обычно остаётся простое линейное уравнение.
5. Сделай проверку. Обязательно подставь найденный корень в исходное уравнение. Это спасёт от посторонних корней и обидных ошибок в арифметике.
Разберём три типичные задачи от самых частых к менее частым.
Найдите корень уравнения (31)x−5=81.
Приведём обе части уравнения к одному основанию. И 31, и 81 можно представить как степени тройки:
Запишем уравнение в новом виде:
(3−1)x−5=34При возведении степени в степень показатели перемножаются:
3−x+5=34Основания одинаковые, значит, можно приравнять показатели:
−x+5=4−x=−1x=1Проверка: (31)1−5=(31)−4=34=81. Всё верно.
Ответ: 1
Найдите корень уравнения 45−4x=7.
Неизвестная находится под знаком квадратного корня. Чтобы от него избавиться, возведём обе части уравнения в квадрат:
(45−4x)2=7245−4x=49Решаем полученное линейное уравнение:
−4x=49−45−4x=4x=−1Проверка: 45−4⋅(−1)=45+4=49=7. Корень подходит.
Ответ: -1
Найдите корень уравнения log5(7−2x)=2.
Воспользуемся определением логарифма. Логарифм - это показатель степени, в которую нужно возвести основание (5), чтобы получить аргумент (7−2x).
Запишем это:
7−2x=527−2x=25Перенесём числа в одну сторону, неизвестные - в другую:
−2x=25−7−2x=18x=−9Проверка: log5(7−2⋅(−9))=log5(7+18)=log525=2. Аргумент логарифма положительный, ответ верный.
Ответ: -9
Ошибка: В уравнениях вида 23−x=0,5 забыть про минус и написать 23−x=20,5.
Правильно: Десятичные дроби вроде 0,5, 0,25, 0,125 - это степени двойки с отрицательным показателем (2−1, 2−2, 2−3 соответственно). Приводи дроби к обыкновенному виду: 0,5=21=2−1.
Ошибка: Возвести в квадрат обе части уравнения вида f(x)=−3 и получить «корень».
Правильно: Квадратный корень (арифметический) не может быть равен отрицательному числу. Если справа стоит отрицательное число, уравнение не имеет корней. Если справа стоит выражение с x - всегда делай подстановку найденных ответов в исходное условие.