Задание 6: Случайная величина — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 6 - новичок в профильном ЕГЭ. В КИМ-2026 его не было: в 2027 году вариант вырос с 19 заданий до 20, а максимальный первичный балл - с 32 до 33. Задание 6 - одно из двух, добавленных в первую часть.

Оно закрывает вероятностный блок первой части. Задания 4 и 5 спрашивают «какова вероятность одного события», а задание 6 - уже про случайную величину целиком: чему она равна в среднем и насколько сильно разбросаны её значения.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.
Ориентировочное время: 8 минут.

✎ЗАМЕТКА

Связь с другими заданиями

Задания 4 и 5 - фундамент: не умея находить вероятность отдельного события, таблицу распределения не заполнишь. Но вопрос в задании 6 другой. Там спрашивали «выпадет или нет», здесь - «сколько получится в среднем» и «насколько велик разброс». Вторая опора - описательная статистика: среднее, дисперсия и стандартное отклонение числового набора устроены точно так же, только там все значения входят с одинаковым весом, а здесь - каждое со своей вероятностью.

Какие темы встречаются

Требование спецификации распадается на семь сюжетов.

1. Распределение случайной величины - таблица «значение / вероятность». Главная проверка: сумма вероятностей равна $1 .$ Типичный вопрос - найти недостающую вероятность.
2. Математическое ожидание - средний результат в длинной серии: лотерея, страховка, игра с выигрышами.
3. Дисперсия и стандартное отклонение - мера разброса: какой из двух станков работает стабильнее.
4. Свойства ожидания и дисперсии - пересчёт при смене единиц или условий оплаты: рубли в копейки, оклад плюс сдельная надбавка.
5. Равномерное распределение - время ожидания автобуса, приход в случайный момент.
6. Показательное распределение - срок службы прибора, время до отказа.
7. Нормальное распределение - контроль качества, рост и масса: симметрия и правило трёх сигм.

iЗАМЕЧАНИЕ

Дискретная или непрерывная?

Дискретная величина принимает значения из конечного списка: число выигрышей, число заказов, количество бракованных деталей. Её распределение задают таблицей, и всё считается суммами. Непрерывная величина принимает любое значение из промежутка: время, масса, длина. Таблицы для неё не существует - вместо таблицы работают плотность $f (x)$ и функция распределения $F (x) .$ Первое, что нужно сделать в задании 6, - решить, с какой из двух ты имеешь дело: от этого зависит весь дальнейший путь.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Распределение дискретной случайной величины

Величина $X$ принимает значения $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ с вероятностями $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n} .$ Это записывают таблицей:

$x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$p_{i}$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{n}$

Ключевое свойство, из которого находят недостающую вероятность:

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

Столбчатая диаграмма распределения вероятностей

ВАЖНОЕ

Математическое ожидание

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

Средневзвешенное значение величины: каждое значение входит с весом, равным его вероятности. В части учебников то же самое обозначают $M (X) .$

ВАЖНОЕ

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия - это среднее квадрата отклонения от среднего:

D (X) = (x_{1} - E (X))^{2} p_{1} + \dots + (x_{n} - E (X))^{2} p_{n}

Рабочая формула короче - «среднее квадратов минус квадрат среднего»:

D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}, σ (X) = D (X)

Дисперсия измеряется в квадратах единиц, поэтому разброс чаще описывают через $σ :$ оно в тех же единицах, что и сама величина.

Математическое ожидание и разброс в одну сигму на числовой оси

ВАЖНОЕ

Свойства ожидания и дисперсии

E (a X + b) = a E (X) + b, D (a X + b) = a^{2} D (X), σ (a X + b) = ∣ a ∣ \cdot σ (X)

Сдвиг на $b$ двигает среднее, но разброс не трогает: все значения сместились одинаково. Для суммы величин равенство $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ верно всегда, а

D (X + Y) = D (X) + D (Y)

только для независимых $X$ и $Y .$

ВАЖНОЕ

Равномерное распределение на отрезке

Величина равномерно распределена на $[a; b],$ если её плотность постоянна:

f (x) = \frac{1}{b - a} при a ⩽ x ⩽ b, f (x) = 0 вне отрезка

F (x) = P (X ⩽ x) = \frac{x - a}{b - a}, P (c ⩽ X ⩽ d) = \frac{d - c}{b - a}

E (X) = \frac{a + b}{2}, D (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

Вероятность попасть в промежуток - просто доля его длины. Пример: автобусы ходят каждые $12$ минут, пассажир приходит в случайный момент. Вероятность прождать не больше $3$ минут равна $\frac{3}{12} = 0, 25,$ а в среднем ждать придётся $6$ минут.

График плотности равномерного распределения

ВАЖНОЕ

Показательное распределение

Задаётся одним параметром $λ > 0 :$

f (x) = λ e^{- λ x}, F (x) = P (X ⩽ x) = 1 - e^{- λ x} (x ⩾ 0)

E (X) = \frac{1}{λ}, D (X) = \frac{1}{λ ^{2}}, σ (X) = \frac{1}{λ}

Главное свойство - отсутствие последействия: прибор, проработавший год, не «стареет», вероятность прослужить ещё год у него такая же, как у нового. Ответом в первой части может быть только целое число или конечная десятичная дробь, поэтому если в задаче встретится $e^{- λ t},$ его численное значение обязано быть дано в условии.

Убывающая кривая плотности показательного распределения

ВАЖНОЕ

Нормальное распределение и правило трёх сигм

Нормальная величина задаётся двумя числами: средним $a = E (X)$ и стандартным отклонением $σ .$ График плотности - симметричный «колокол» с осью симметрии $x = a .$

P (∣ X - a ∣ < σ) \approx 0, 68, P (∣ X - a ∣ < 2 σ) \approx 0, 95, P (∣ X - a ∣ < 3 σ) \approx 0, 997

Эти три числа округлённые, и в задачах их берут именно в таком виде. Из симметрии сразу следует $P (X < a) = P (X > a) = 0, 5,$ а «хвосты» на одинаковом удалении от среднего всегда равны между собой.

Кривая нормального распределения и правило трёх сигм

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 6

1. Определи тип величины. Значений конечный список (таблица, перечень выигрышей, число деталей) - величина дискретная. Значение может быть любым числом из промежутка (время, масса, длина) - непрерывная; ищи в условии слова «равномерно», «показательное», «нормальное».
2. Выпиши распределение. Для дискретной величины - таблицу «значение / вероятность». Не забудь значение $0 :$ в лотерее большинство билетов не выигрывает ничего, но они тоже участвуют в подсчёте.
3. Проверь сумму вероятностей. Она обязана равняться $1 .$ Не сходится - значит потеряно значение или ошибка в арифметике.
4. Пойми, что именно спрашивают. Среднее - это $E (X) .$ Разброс - $D (X)$ или $σ .$ Вероятность попадания в промежуток - работа с распределением.
5. Считай по формуле. Для дискретной величины это сумма произведений «значение на вероятность», для непрерывной - готовое свойство распределения.
6. Проверь правдоподобие. $E (X)$ лежит между наименьшим и наибольшим значениями, $D (X) ⩾ 0,$ вероятность - от $0$ до $1 .$

Примеры решения

Разберём четыре сюжета: прототип из демоверсии, работу с таблицей, свойства и непрерывный случай.

ПРИМЕР 1

Лотерея - прототип из демоверсии

Организаторы лотереи выпустили $10000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Выигрыш (в рублях)	100	1000	5000	10 000	50 000
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

ПРИМЕР 2

Таблица распределения: недостающая вероятность и разброс

Число заказов, которые курьер развозит за час, - случайная величина $X$ со следующим распределением.

$x_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_{i}$	$0, 1$	$0, 3$	$?$	$0, 2$

Найдите стандартное отклонение числа заказов.

ПРИМЕР 3

Свойства ожидания и дисперсии

Мастер получает за смену фиксированные $1000$ рублей плюс $300$ рублей за каждую собранную деталь. Число деталей за смену - случайная величина $X,$ для которой $E (X) = 12,$ а стандартное отклонение равно $2 .$ Найдите стандартное отклонение заработка мастера за смену.

ПРИМЕР 4

Нормальное распределение

Масса пакета сахара - нормально распределённая случайная величина со средним $1000$ г и стандартным отклонением $5$ г. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакет окажется тяжелее $1010$ г.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Среднее арифметическое вместо математического ожидания

Ошибка: Величина принимает значения $0$ и $10$ - сложить их и поделить пополам, получив $5 .$
Правильно: $E (X)$ - средневзвешенное, а не среднее арифметическое. Если $P (X = 0) = 0, 8,$ а $P (X = 10) = 0, 2,$ то $E (X) = 0 \cdot 0, 8 + 10 \cdot 0, 2 = 2 .$ Со средним арифметическим $E (X)$ совпадает только тогда, когда все вероятности одинаковы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потерянный ноль в таблице

Ошибка: В лотерейной задаче сложить только выплаты и разделить на число выигрышных билетов: $\frac{550 000}{661} \approx 832 .$
Правильно: Величина «выигрыш на один билет» определена для каждого из $10000$ билетов. Пустые билеты дают значение $0$ и обязаны попасть в знаменатель.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Дисперсия и стандартное отклонение перепутаны

Ошибка: Посчитать $D (X) = 0, 81$ и записать это в бланк, хотя спрашивали стандартное отклонение. Или наоборот: в условии дано $σ = 2,$ а в формулу $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ подставить двойку, забыв возвести её в квадрат.
Правильно: $σ = D$ и $D = σ^{2}$ - переход работает в обе стороны. Дисперсия живёт в квадратах единиц («рубль в квадрате» смысла не имеет), стандартное отклонение - в тех же единицах, что и сама величина.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сдвиг «испортил» разброс

Ошибка: Посчитать $σ (300 X + 1000) = 300 \cdot σ (X) + 1000 .$
Правильно: Свободное слагаемое на разброс не влияет вообще: $D (a X + b) = a^{2} D (X),$ и никакого $b$ в этой формуле нет. Прибавка одинакова для всех значений, поэтому они не стали ни ближе друг к другу, ни дальше.

Приёмы быстрого счёта

✓СОВЕТ

Как считать быстрее и меньше ошибаться

Считай в целых. В лотерейной задаче не переводи количества билетов в вероятности: сложи все выплаты и раздели на общее число билетов. Вся арифметика останется в целых числах.
Выноси общий множитель. Если все значения кратны $100,$ посчитай $E (X)$ для «сотен» и умножь результат на $100$ в самом конце.
Дисперсию считай через $E (X^{2}) .$ Формула $E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ короче определения: не нужно вычитать среднее из каждого значения и возводить в квадрат четыре-пять разностей.
Проверяй сумму вероятностей до вычислений. Это одна строка, а ловит и потерянное значение, и опечатку при переписывании таблицы.
Если спрашивают $σ,$ корень обязан извлекаться точно. Ответ первой части - конечная десятичная дробь. Получилось под корнем $0, 8$ или $2$ - ищи ошибку в $E (X)$ или в $E (X^{2}),$ а не тянись к калькулятору.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Время на задачу: по спецификации отводится $8$ минут, но подсчёт по готовой таблице обычно занимает $3$ - $4 .$
Очерёдность: решай сразу после заданий 4 и 5, пока голова настроена на вероятности.
Проверка среднего: $E (X)$ обязано лежать между наименьшим и наибольшим значениями величины. Вышло за границы - потеряно значение или ошибка в арифметике.
Проверка разброса: $D (X) ⩾ 0$ всегда. Отрицательная дисперсия означает, что в формуле $E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ слагаемые переставлены местами.
Работай в долях: вероятности подставляются как $0, 05,$ а не как $5 % .$ Смешивать проценты и доли в одной сумме нельзя.

Проверь себя0 из 5

1.Величина

X

принимает значения

0

10

с вероятностями

0, 8

0, 2 .

Чему равно

E (X) ?

2.Известно, что

D (X) = 0, 36 .

Чему равно стандартное отклонение?

3.Величина принимает значения

1,

2

3

с вероятностями

0, 5,

p

0, 2 .

Чему равно

p ?

4.Как изменится дисперсия величины

X,

если ко всем её значениям прибавить

7 ?

5.Автобусы ходят строго каждые

10

минут, пассажир приходит в случайный момент. Какова вероятность прождать не более

2

минут?