О задании

Задание 6 открывает блок алгебры в первой части профильного ЕГЭ. Оно проверяет умение решать базовые уравнения: находить корни и отсеивать посторонние.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

В этом номере нет сложных многоэтажных уравнений. Все задачи решаются за 2–3 шага. Чаще всего попадаются три типа уравнений:

1. Показательные - неизвестная находится в показателе степени.
2. Иррациональные - неизвестная находится под знаком корня.
3. Логарифмические - неизвестная находится внутри логарифма.

Реже встречаются простые линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения.

Основные формулы и правила

Чтобы решить уравнение, нужно «сбросить» внешнюю функцию. Для каждого типа есть своё правило перехода к простому линейному или квадратному уравнению.

Показательные уравнения

Если основания степеней равны, можно приравнять их показатели:

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟹ f (x) = g (x)

Главное - предварительно привести обе части уравнения к одинаковому основанию $a .$

Иррациональные уравнения

Чтобы избавиться от квадратного корня, нужно возвести обе части уравнения в квадрат:

f (x) = c ⟹ f (x) = c^{2}

Это действие законно только если правая часть неотрицательна ( $c ⩾ 0$ ).

Логарифмические уравнения

По определению логарифма, число внутри логарифма равно основанию в степени правой части:

lo g_{a} f (x) = c ⟹ f (x) = a^{c}

Или, если логарифмы стоят с обеих сторон:

lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟹ f (x) = g (x)

В обоих случаях помни про ограничение: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля ( $f (x) > 0$ ).

Общий алгоритм решения

Как решать задание 6

1. Определи тип уравнения. Посмотри, где находится $x :$ в степени, под корнем или в логарифме.
2. Подготовь уравнение. Если это степени - приведи левую и правую части к одному числу в основании. Если логарифмы - сделай так, чтобы слева и справа стоял одиночный логарифм с одинаковым основанием, или примени определение.
3. Сделай равносильный переход. Отбрось основания, логарифмы или возведи всё в квадрат.
4. Реши полученное уравнение. Обычно остаётся простое линейное уравнение.
5. Сделай проверку. Обязательно подставь найденный корень в исходное уравнение. Это спасёт от посторонних корней и обидных ошибок в арифметике.

Примеры решения

Разберём три типичные задачи от самых частых к менее частым.

Пример 1. Показательное уравнение

Найдите корень уравнения $(\frac{1}{3})^{x - 5} = 81 .$

Показать решение

Приведём обе части уравнения к одному основанию. И $\frac{1}{3},$ и $81$ можно представить как степени тройки:

$\frac{1}{3} = 3^{- 1}$
$81 = 3^{4}$

Запишем уравнение в новом виде:

(3^{- 1})^{x - 5} = 3^{4}

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

3^{- x + 5} = 3^{4}

Основания одинаковые, значит, можно приравнять показатели:

- x + 5 = 4

- x = - 1

x = 1

Проверка: $(\frac{1}{3})^{1 - 5} = (\frac{1}{3})^{- 4} = 3^{4} = 81 .$ Всё верно.

Ответ: 1

Пример 2. Иррациональное уравнение

Найдите корень уравнения $45 - 4 x = 7 .$

Показать решение

Неизвестная находится под знаком квадратного корня. Чтобы от него избавиться, возведём обе части уравнения в квадрат:

(45 - 4 x)^{2} = 7^{2}

45 - 4 x = 49

Решаем полученное линейное уравнение:

- 4 x = 49 - 45

- 4 x = 4

x = - 1

Проверка: $45 - 4 \cdot (- 1) = 45 + 4 = 49 = 7 .$ Корень подходит.

Ответ: -1

Пример 3. Логарифмическое уравнение

Найдите корень уравнения $lo g_{5} (7 - 2 x) = 2 .$

Показать решение

Воспользуемся определением логарифма. Логарифм - это показатель степени, в которую нужно возвести основание ( $5$ ), чтобы получить аргумент ( $7 - 2 x$ ).

Запишем это:

7 - 2 x = 5^{2}

7 - 2 x = 25

Перенесём числа в одну сторону, неизвестные - в другую:

- 2 x = 25 - 7

- 2 x = 18

x = - 9

Проверка: $lo g_{5} (7 - 2 \cdot (- 9)) = lo g_{5} (7 + 18) = lo g_{5} 25 = 2 .$ Аргумент логарифма положительный, ответ верный.

Ответ: -9

Частые ошибки

Отрицательные степени

Ошибка: В уравнениях вида $2^{3 - x} = 0, 5$ забыть про минус и написать $2^{3 - x} = 2^{0, 5} .$
Правильно: Десятичные дроби вроде $0, 5,$ $0, 25,$ $0, 125$ - это степени двойки с отрицательным показателем ( $2^{- 1},$ $2^{- 2},$ $2^{- 3}$ соответственно). Приводи дроби к обыкновенному виду: $0, 5 = \frac{1}{2} = 2^{- 1} .$

Посторонние корни в иррациональных уравнениях

Ошибка: Возвести в квадрат обе части уравнения вида $f (x) = - 3$ и получить «корень».
Правильно: Квадратный корень (арифметический) не может быть равен отрицательному числу. Если справа стоит отрицательное число, уравнение не имеет корней. Если справа стоит выражение с $x$ - всегда делай подстановку найденных ответов в исходное условие.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 6

Время выполнения: 2–3 минуты.
Когда решать: В самом начале. Это отличная возможность заработать быстрый балл.
Главный лайфхак: Для этого задания существует универсальный метод 100% самопроверки - прямая подстановка. Что бы ты ни решал, просто подставь полученный $x$ в изначальное условие. Если левая часть сошлась с правой - ответ железобетонно правильный. Никакие ОДЗ отдельно выписывать не нужно, подстановка сама покажет, если аргумент логарифма или подкоренное выражение стали отрицательными.