Смеси и сплавы — ЕГЭ профиль

Смеси и сплавы (Задание 13)

Смеси, растворы и сплавы попадают в тринадцатый номер как самый «нефинансовый» его сюжет, но работает здесь та же схема, что и в задачах про деньги: одна модель, одно уравнение, в бланк уходит число. Спрашивают почти всегда что-то из пяти: концентрацию получившейся смеси, сколько воды долить, сколько воды выпарить, сколько чистого вещества добавить и какие массы взяли для сплава. Все пять вопросов закрываются одной величиной.

Одна величина, которую надо считать

Проценты - вещь относительная: $20%$ от $300$ г и $20%$ от $500$ г - это разные количества соли. Поэтому первым же действием проценты переводят в граммы или килограммы чистого вещества, и дальше вся задача превращается в арифметику с двумя числами: сколько всего и сколько из этого - вещество.

ВАЖНОЕ

Масса чистого вещества

m = M \cdot \frac{p}{100}

Здесь $M$ - масса всего раствора (сплава), $p$ - концентрация в процентах, $m$ - масса чистого вещества внутри.

Обратный переход: $p = \frac{m}{M} \cdot 100% .$ Концентрация - это доля вещества, переведённая в проценты.

Сюжетов много, а операций над раствором всего четыре. Различаются они только тем, какая из двух масс меняется.

Операция	Масса раствора $M$	Масса вещества $m$
Долили воду	выросла на $x$	не изменилась
Выпарили воду	уменьшилась на $x$	не изменилась
Добавили чистое вещество	выросла на $x$	выросла на тот же $x$
Слили два раствора	$M_{1} + M_{2}$	$m_{1} + m_{2}$

Четыре операции над раствором и то, что при каждой сохраняется

iЗАМЕЧАНИЕ

Вода в этих задачах - пустая масса

Чистая вода содержит $0%$ вещества, поэтому доливание и выпаривание двигают только знаменатель дроби $\frac{m}{M} .$ Ровно поэтому две верхние строки таблицы решаются в одно действие: масса вещества известна из условия «до», а из условия «после» находится новая масса раствора.

Это «одно действие» стоит записать отдельной формулой - она закрывает половину задач темы.

ВАЖНОЕ

Вода: массы обратно пропорциональны концентрациям

Если меняется только вода, масса вещества до и после одна и та же, а значит

M_{1} \cdot p_{1} = M_{2} \cdot p_{2} ⟹ M_{2} = \frac{M _{1} \cdot p _{1}}{p _{2}}

Проценты можно не переводить в доли: они стоят по обе стороны равенства и сокращаются. Например, $800 \cdot 7 = M_{2} \cdot 10$ сразу даёт $M_{2} = 560$ г.

Куда сдвигается концентрация

Прежде чем считать, полезно понять, в какую сторону поедет ответ. Вода тянет концентрацию к нулю, чистое вещество - к ста процентам, а смешивание двух растворов всегда даёт что-то строго между исходными концентрациями.

Ось концентраций: что делает с ней каждая операция

✓СОВЕТ

Проверка направления за пять секунд

Долили воду - новый процент обязан быть меньше старого.
Выпарили воду или добавили вещество - больше старого.
Слили два раствора - результат между $p_{1}$ и $p_{2};$ если из $20%$ и $40%$ получилось $45%,$ ошибка уже найдена.

Правило рычага

Когда сливают два раствора и все три концентрации известны, массы находятся без уравнения - по пропорции. Приём экономит минуты и на смешивании двух компонентов работает всегда.

ВАЖНОЕ

Правило рычага (метод креста)

Пусть смешали раствор концентрации $a$ массой $m_{1}$ и раствор концентрации $b$ массой $m_{2},$ получив концентрацию $c,$ причём $a < c < b .$ Тогда

m_{1} \cdot (c - a) = m_{2} \cdot (b - c), \frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{b - c}{c - a}

Масса каждого компонента пропорциональна расстоянию от концентрации другого компонента до итоговой.

Правило рычага: массы обратно пропорциональны плечам

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения

1. Переведи проценты в массу вещества. Для каждого раствора из условия посчитай $m = M \cdot \frac{p}{100} .$
2. Определи операцию по таблице выше и выпиши, что сохраняется, а что меняется.
3. Введи $x$ - ровно ту величину, которую спрашивают, или ту, через которую её легко получить.
4. Составь одно уравнение по массе вещества: масса вещества после равна массе до плюс-минус добавленное.
5. Реши и перечитай вопрос. Часто $x$ - промежуточный результат: нашли новую массу раствора, а спрашивали разность.
6. Проверь направление по оси концентраций и подставь ответ обратно в условие.

Примеры решения

Пять примеров закрывают все пять вопросов номера.

ПРИМЕР 1

Концентрация смеси

Смешали $4$ кг раствора кислоты концентрации $15%$ и $6$ кг раствора той же кислоты концентрации $40% .$ Сколько процентов составляет концентрация кислоты в полученной смеси?

ПРИМЕР 2

Сколько воды долить

Имеется $250$ г раствора соли концентрации $24% .$ Сколько граммов воды нужно долить, чтобы получить $15$ -процентный раствор?

ПРИМЕР 3

Сколько воды выпарить

Из $800$ г раствора, содержащего $7%$ соли, выпарили часть воды, и концентрация соли поднялась до $10% .$ Сколько граммов воды выпарили?

ПРИМЕР 4

Сколько чистого вещества добавить

Слиток массой $60$ кг содержит $25%$ серебра. Сколько килограммов чистого серебра нужно добавить в сплав, чтобы доля серебра в нём стала равна $40% ?$

ПРИМЕР 5

Массы двух сплавов

Имеются два сплава: в первом $12%$ меди, во втором $32%$ меди. Их сплавили и получили $150$ кг сплава с содержанием меди $20% .$ Сколько килограммов первого сплава взяли?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Проценты сложили как обычные числа

Ошибка: из $10%$ и $30%$ получить $40%$ - или взять среднее $20%,$ не глядя на массы.

Правильно: складываются только массы - раствора и чистого вещества. Проценты появляются в самом конце, делением. Среднее арифметическое выходит лишь в частном случае равных масс.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответили не на тот вопрос

Ошибка: в примере 2 записать в бланк $400$ - новую массу раствора вместо массы долитой воды.

Правильно: после решения уравнения вернись к вопросу. «Сколько долили», «сколько выпарили», «на сколько масса первого меньше» - это всегда разность, а не сама найденная величина.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Добавленное вещество учли только в одном месте

Ошибка: написать $\frac{15 + x}{60} = 0, 4$ или $\frac{15}{60 + x} = 0, 4 .$

Правильно: чистое серебро увеличивает и массу серебра, и массу сплава, поэтому $x$ обязан стоять и в числителе, и в знаменателе. Проверка здравым смыслом: доливаем металл - слиток тяжелеет, значит знаменатель меняться обязан.

Что запомнить

Первым действием переводи проценты в массу чистого вещества: $m = M \cdot \frac{p}{100} .$
Долили или выпарили воду - $m$ не изменилась, меняется только $M .$ Это половина всех задач темы.
Добавили чистое вещество - $x$ входит и в числитель, и в знаменатель.
Слили два раствора - складываются обе массы; итоговая концентрация строго между исходными.
Правило рычага $\frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{b - c}{c - a}$ даёт массы без уравнения, когда известны все три концентрации.
Ответ в номере 13 - целое число или конечная десятичная дробь. Бесконечная периодическая дробь означает ошибку в уравнении.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 4-6 минут. Одна из самых быстрых задач слота.
Приоритет: решать сразу, вместе с остальными заданиями первой части.
Запись: веди две колонки - «раствор» и «вещество». Путаница между ними даёт почти все ошибки темы.
Самопроверка: подставь найденное число обратно в условие и посчитай итоговую концентрацию делением. Меньше минуты.
Оценка сверху: прикинь направление по оси концентраций до вычислений - грубая ошибка видна сразу.

Проверь себя0 из 4

1.Из

600

г раствора с концентрацией соли

4%

выпарили

200

г воды. Какой стала концентрация?

2.Смешали равные массы растворов концентрации

10%

40% .

Концентрация смеси равна

3.Смешали растворы концентрации

10%

40%

и получили

20% .

Как относятся их массы

m_{1} : m_{2} ?

4.Что не меняется, когда в раствор доливают чистую воду?