Системы с параметром

Задание 19 - это задача высокого уровня сложности, за которую можно получить 4 первичных балла. Примерно в 25% случаев на реальном ЕГЭ в этом задании попадаются именно системы уравнений.

В системах с параметром $a$ требуется найти такие значения этого параметра, при которых система имеет определённое количество решений (одно, два, четыре и т.д.). Каждое решение системы - это пара чисел $(x; y) .$

Ключ к решению большинства систем - графический метод. Если представить каждое уравнение системы как фигуру на координатной плоскости $(x; y),$ то решения системы - это точки пересечения этих фигур. Параметр $a$ обычно отвечает за движение одной из фигур (сдвиг, вращение) или изменение её размера (например, радиуса).

Основные геометрические образы и формулы

Чтобы решать системы графически, нужно моментально узнавать уравнения базовых фигур.

ВАЖНОЕ

Окружность

Уравнение вида $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}$ задаёт окружность с центром в точке $(x_{0}; y_{0})$ и радиусом $R .$
Если $R^{2}$ зависит от параметра (например, $= a$ ), то при $a > 0$ это окружность, при $a = 0$ - одна точка, при $a < 0$ графика не существует.

Семейство окружностей при разных значениях параметра

Потяни точку на окружности и посмотри, как меняется радиус

ВАЖНОЕ

Прямая и её движения

Уравнение $y = k x + b$ задаёт прямую.

Если параметр влияет на $b$ ( $y = 2 x + a$ ), прямая движется параллельно самой себе вверх и вниз.
Если параметр влияет на $k$ ( $y = a x + 3$ ), прямая вращается вокруг фиксированной точки (в данном случае вокруг точки $(0; 3)$ на оси $Y$ ).
Уравнение $y = a (x - x_{0}) + y_{0}$ задаёт пучок прямых, вращающихся вокруг точки $(x_{0}; y_{0}) .$

ВАЖНОЕ

Расстояние от точки до прямой

Эта формула критически важна для нахождения момента касания прямой и окружности.
Расстояние $d$ от точки $M (x_{0}; y_{0})$ до прямой, заданной уравнением $A x + B y + C = 0,$ вычисляется как:

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

Если $d = R$ (радиусу окружности), значит, прямая касается окружности (ровно 1 общая точка).

Алгоритм решения графическим методом

АЛГОРИТМ

Графическое исследование системы

1. Начни с ОДЗ. Если в уравнениях есть корни, дроби или логарифмы - выпиши условия и нарисуй границы разрешённой области прямо на координатной плоскости (например, заштрихуй запрещённую зону).
2. Упрости уравнения. Разложи на множители. Уравнение вида $A \cdot B = 0$ распадается на совокупность графиков $A = 0$ и $B = 0$ (с учётом ОДЗ!).
3. Построй фиксированную фигуру. Одно из уравнений обычно не содержит параметра. Нарисуй его график. Это может быть парабола, ромб (из модулей) или дуга окружности.
4. Проанализируй подвижную фигуру. Пойми, как параметр $a$ меняет второе уравнение. Это параллельный сдвиг? Вращение? Изменение радиуса?
5. Найди критические положения. Мысленно меняй $a$ от $- \infty$ до $+ \infty .$ Зафиксируй моменты, когда число пересечений меняется: это прохождения через края ОДЗ, вершины фиксированной фигуры или моменты касания.
6. Вычисли значения параметра. Для каждого критического положения найди $a$ алгебраически (подстановкой координат точек или через формулу касания).

Примеры решения

Разберём три примера: первый - графический метод с вращающейся прямой и ОДЗ, второй - две окружности, где параметр меняет радиус, третий - чисто аналитическое решение симметричной системы.

ПРИМЕР 1

Графический метод: окружность, ОДЗ и вращающаяся прямая

Условие:
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{(x^{2} + y^{2} - 25) x + 3 = 0 y = a x + 5 a

имеет ровно два различных решения.

ПРИМЕР 2

Две окружности: параметр меняет радиус

Условие:
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{(x - 3)^{2} + y^{2} = 4 x^{2} + y^{2} = a^{2}

имеет ровно два различных решения.

ПРИМЕР 3

Аналитический метод: симметричная система

Условие:
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + y^{2} = 2 a x y = a - \frac{1}{2}

имеет ровно 4 различных решения.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря решений-границ из-за деления

Ошибка: Разделить обе части уравнения на выражение, содержащее переменные, забыв рассмотреть случай, когда это выражение равно нулю.
Правильно: Применяй правило: «Вынеси общий множитель за скобки!». Если видишь $A \cdot B = A \cdot C,$ перенеси всё в одну сторону: $A (B - C) = 0 .$ Отсюда либо $A = 0,$ либо $B = C .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неучёт ОДЗ при геометрических построениях

Ошибка: Нарисовать полный график функции (например, целую окружность или параболу) и считать пересечения с ним, когда по условию есть корень или логарифм, ограничивающий область.
Правильно: Всегда начинай с ОДЗ. Заштрихуй ту часть плоскости, где решений быть не может. Рассматривай пересечения только в разрешённой зоне.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Ориентировочное время: 30-40 минут.
Приоритет: Оставляй задание 19 на самый конец экзамена, когда уже решены №1-13, 14, 16 и, по возможности, пункты «а» из 15 и 18.
Хитрости оценивания: Если ты видишь в системе уравнения окружности, параболы или прямой - обязательно построй их. Обозначь центр, радиус, точки пересечения. Если ты верно сведёшь задачу к исследованию взаимного расположения графиков на плоскости (даже если не доведёшь до конца вычисления), ты гарантированно получишь 1 балл.
Проверка: Получив ответ, возьми одно значение $a$ из получившегося интервала и подставь в исходную систему. Реши её как обычную систему чисел и убедись, что количество корней совпадает с требуемым.

За что дают баллы

В задании 19 можно получить от 0 до 4 баллов:

4 балла: Обоснованно получен верный ответ. Логика безупречна, все критические положения проверены, ОДЗ учтено.
3 балла: Решение правильное, но в ответе допущена ошибка с границами интервалов (например, круглая скобка вместо квадратной из-за невнимательности к моменту касания).
2 балла: Верными рассуждениями получен какой-либо промежуток (то есть метод работает и доведён до логического финала), ИЛИ допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 + 3 = 6$ ), из-за которой ответ исказился, но алгоритм был верным.
1 балл: Задача верно сведена к исследованию графиков (нарисованы правильные фигуры, указано, как они движутся) или составлена верная аналитическая модель (сведено к квадратному уравнению с указанием нужных условий на корни), но решение не завершено.
0 баллов: Записан ответ без обоснований, или решение не удовлетворяет ни одному критерию.

Проверь себя0 из 4

1.При каких значениях

a

уравнение

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = a

задаёт окружность?

2.Чему равно расстояние от точки

(0; 0)

до прямой

3 x + 4 y - 10 = 0 ?

3.Прямая касается окружности радиуса

R

тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до прямой...

4.Две окружности имеют радиусы

R_{1} = 2,

R_{2} = 1,

расстояние между центрами

d = 3 .

Сколько у них общих точек?