Сечения призм — ЕГЭ профиль

Сечения призм (Задание 15)

Задание 15 проверяет стереометрию. Призмы встречаются примерно в каждой пятой задаче номера. У призмы два дружественных свойства - параллельные основания и параллельные между собой боковые рёбра. На этих двух фактах держится половина задач на сечения.

Суть темы и основные теоремы

Сечение - плоский многоугольник на срезе призмы: его вершины лежат на рёбрах, стороны - на гранях. Чтобы построить сечение и найти его площадь, опирайся на базовые теоремы стереометрии и два инструмента: метод следов и метод параллельных прямых.

ВАЖНОЕ

Свойство параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Основания призмы параллельны, поэтому секущая плоскость оставляет на них параллельные следы.

ВАЖНОЕ

Площадь ортогональной проекции

Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника равна площади самого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями:

S_{пр} = S_{сеч} \cdot cos φ ⟹ S_{сеч} = \frac{S _{пр}}{cos φ}

Мощнейший инструмент, если угол $φ$ между сечением и основанием найти проще, чем считать стороны сечения. Проекция сечения на основание - многоугольник, вписанный в основание призмы; в правильной призме его площадь считается устно.

ВАЖНОЕ

Расстояние от точки до плоскости

Для координатного метода удобна система $O x y z$ с началом в вершине основания. Плоскость: $A x + B y + C z + D = 0,$ вектор нормали $n (A; B; C) .$

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Два способа построить сечение

Метод параллельных прямых. Используй, когда секущая плоскость содержит отрезок на одной грани, а напротив стоит параллельная грань. На параллельной грани след пойдёт по прямой, параллельной первой. Если $A B$ на нижнем основании, след на верхнем обязан быть параллелен $A B .$

Метод следов. Нужен, когда точки разбросаны по разным граням и отрезок сразу не провести. Продлеваешь уже известные прямые сечения до пересечения с плоскостью основания, получаешь две точки - их соединение даёт след сечения. Дальше находишь пересечения следа с рёбрами основания и достраиваешь остальные стороны.

✓СОВЕТ

Какой метод выбирать

Вершины или стороны основания в условии - начинай с параллельных прямых. Три точки на разных боковых рёбрах без пары на одной грани - строй след на основании.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с сечением призмы

1. Аккуратный чертёж. Невидимые линии - пунктиром. Данные условия выноси сразу на рисунок.
2. Построй сечение. Соединяй точки одной грани. Параллельные грани - параллельные следы. Точек не хватает - строй след.
3. Пункт «а» (доказательство). Обычно нужна форма сечения (ромб, равнобедренная трапеция) или деление ребра в отношении. Инструменты: подобие, средняя линия, координаты.
4. Пункт «б» (вычисление). Три метода на выбор:

Классический: разбей сечение на треугольники, примени теорему косинусов или формулу Герона.
Метод проекций: найди площадь проекции на основание, раздели на $cos φ .$
Координатный: оси, координаты вершин сечения, формула расстояния от точки до плоскости.

Примеры решения задач

Два примера: первый - классическое построение через симметрию, второй - метод координат.

ПРИМЕР 1

Построение параллельными прямыми

Условие:
Дана правильная треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1} .$ Точка $M$ - середина ребра $A_{1} C_{1},$ точка $N$ - середина ребра $B_{1} C_{1} .$ Плоскость $α$ проходит через точки $A,$ $B$ и $M .$
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $α$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этого сечения, если все рёбра призмы равны $4 .$

Призма и точки M, N на верхнем основании

ПРИМЕР 2

Координатный метод

Условие:
Дана правильная четырёхугольная призма $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$ Сторона основания $A B = 4,$ боковое ребро $A A_{1} = 8 .$ Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $B B_{1}$ и $D D_{1}$ так, что $B M = 3$ и $D N = 3 .$ Плоскость $α$ проходит через точки $A,$ $M$ и $N .$
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $α$ является ромбом.
б) Найдите расстояние от точки $B_{1}$ до плоскости $α .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Соединение невидимых точек

Ошибка: При построении сечения соединить две точки, которые лежат в пространстве внутри призмы или на непересекающихся гранях (например, точку на передней грани и точку на задней грани) и решить, что это и есть сторона сечения.
Правильно: Стороны сечения могут лежать только на гранях многогранника. Две точки можно соединить отрезком, только если они принадлежат одной и той же грани.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря параллельности следов

Ошибка: Пересечь параллельные грани (например, верхнее и нижнее основания) плоскостью так, что линии пересечения на чертеже сходятся в одну точку.
Правильно: Если секущая плоскость проходит через две параллельные грани, то отрезки, по которым она их разрезает, обязаны быть строго параллельны.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Очевидно из чертежа»

Ошибка: Написать «из рисунка видно, что $A M K N$ - ромб» или «ясно, что сечение проходит через середину ребра».
Правильно: Любое утверждение о форме сечения, о равенстве сторон или о делении ребра нужно доказывать - через равенство треугольников, среднюю линию, признак параллельности или координаты. Чертёж подсказывает ответ, а не заменяет доказательство.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверная проекция сечения

Ошибка: Применить формулу $S_{сеч} = S_{пр} / cos φ$ и взять как проекцию не тот многоугольник (например, всё основание целиком).
Правильно: Проекция - многоугольник с вершинами, полученными опусканием перпендикуляров из вершин сечения на плоскость основания. В прямой призме проекции вершин на боковых рёбрах совпадают с точками основания этих рёбер.

Что запомнить

Три точки сечения, две из них на параллельных гранях - через третью проводи прямую параллельно отрезку, соединяющему первые две.
Правильные призмы (треугольные, четырёхугольные) идеальны для координат. Начало - в вершине основания, оси - по рёбрам.
Площадь сложного сечения удобно считать через проекцию: $S_{сеч} = S_{пр} / cos φ .$ Проекция - многоугольник, вписанный в основание.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут.
Приоритет: Решай задачу 15 после алгебры (14, 16). Стереометрия требует аккуратности и пространственного мышления - берись за неё со свежей головой, но не в самом конце.
Спасительный метод: Если в пункте «а» не удаётся обосновать форму сечения геометрически - переходи в координаты. Уравнение плоскости по трём точкам, пересечения с рёбрами, длины сторон - и доказательство сводится к арифметике.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Не можешь доказать «а» - поверь утверждению и считай «б» на его основе. Правильный числовой ответ всё равно принесёт 1 балл.

За что дают баллы

В 15-м задании можно получить от 0 до 3 баллов:

3 балла: Обоснованно получен верный ответ в обоих пунктах. Грамотный чертёж, все переходы (параллельность, перпендикулярность) доказаны текстом.
2 балла: Полностью верно решён один пункт, второго нет. Или логика обоих пунктов верна, но в одном мелкая вычислительная ошибка.
1 балл: Верно выполнен только один пункт. Также 1 балл, если пункт «а» не доказан, но его утверждение использовано в «б» и получен правильный ответ.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному критерию: нет доказательства, ответ с потолка или чертёж противоречит условию.

Проверь себя0 из 4

1.Секущая плоскость пересекает оба основания призмы. Что верно про линии пересечения?

2.Площадь сечения

S_{сеч}

и площадь его ортогональной проекции на основание

S_{пр}

связаны формулой (

φ

— угол между сечением и основанием):

3.Чему равно расстояние от точки

(4; 0; 8)

до плоскости

3 x + 3 y - 4 z = 0 ?

4.Когда две точки сечения можно соединить отрезком-стороной сечения?