Сечения пирамид — ЕГЭ профиль

Сечения пирамид (Задание 15)

Задание 15 - это стереометрическая задача, которая состоит из двух пунктов: доказательства (пункт «а») и вычисления (пункт «б»). По статистике, сечения пирамид - самая частая тема этого задания, она встречается примерно в трети всех вариантов.

В этой теме тебе предстоит строить плоскости внутри объемных фигур, доказывать их свойства (параллельность, перпендикулярность) и находить площади сечений, углы или расстояния.

Суть темы и основные методы

Сечение многогранника - это плоский многоугольник, который получается при пересечении многогранника плоскостью. Вершины этого многоугольника лежат на рёбрах многогранника, а стороны - на его гранях.

Для успешного решения нужно владеть двумя основными подходами:
1. Классический метод: использование аксиом и теорем стереометрии, метод следов, дополнительные построения.
2. Координатно-векторный метод: введение системы координат, нахождение уравнений плоскостей и координат векторов. Отлично работает в правильных пирамидах, когда сложно «увидеть» нужный угол или расстояние.

ВАЖНОЕ

Ключевые теоремы для классического метода

Признак параллельности прямой и плоскости:
Если прямая $a,$ не лежащая в плоскости $α,$ параллельна некоторой прямой $b,$ лежащей в плоскости $α,$ то прямая $a$ параллельна плоскости $α .$

Свойство параллельных плоскостей:
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Теорема о трех перпендикулярах (ТТП):
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

ВАЖНОЕ

Отношение объемов

Если плоскость отсекает от пирамиды подобную ей пирамиду (например, сечение параллельно основанию), то отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия:

\frac{V _{1}}{V _{2}} = k^{3}

Алгоритм построения сечения (Метод следов)

Если ты решаешь задачу классическим методом, тебе нужно правильно построить сечение.

АЛГОРИТМ

Как построить сечение пирамиды

1. Соединяй точки в одной грани. Если две точки секущей плоскости лежат в одной плоскости (на одной грани пирамиды), смело проводи через них прямую. Это и будет отрезок сечения.
2. Ищи пересечения с основанием (след плоскости). Продли прямую, лежащую в секущей плоскости, до пересечения с прямой, лежащей в плоскости основания. Полученная точка принадлежит обеим плоскостям.
3. Используй параллельность. Если секущая плоскость параллельна какой-то прямой, то она будет пересекать грани, содержащие эту прямую, по прямым, параллельным ей.
4. Замыкай многоугольник. Продолжай находить точки на ребрах, пока сечение не замкнется в многоугольник (треугольник, трапецию, пятиугольник и т.д.).

Примеры решения задач

Разберем две типичные задачи из реальных вариантов ЕГЭ: на доказательство перпендикулярности и на использование параллельности при построении.

ПРИМЕР 1

Правильный тетраэдр

Условие:
В правильном тетраэдре $A B C D$ точки $M$ и $N$ - середины рёбер $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $M N$ и пересекает ребро $B C$ в точке $K .$
а) Докажите, что прямая $M N$ перпендикулярна рёбрам $A B$ и $C D .$
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A B C D$ плоскостью $α,$ если известно, что $B K = 2,$ $K C = 3 .$

ПРИМЕР 2

Построение через параллельность и подобие

Условие:
В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ с основанием $A B C D$ точка $O$ - центр основания пирамиды, точка $M$ - середина ребра $S C,$ точка $K$ делит ребро $B C$ в отношении $B K : K C = 3 : 1,$ а $A B = 4$ и $S O = 214 .$
а) Докажите, что плоскость $O M K$ параллельна прямой $S A .$
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $O M K$ пересекает грань $S A D .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Соединение «невидимых» точек

Ошибка: Соединять точки секущей плоскости напрямую сквозь пирамиду и считать этот отрезок стороной сечения. Например, соединить точку на ребре $S A$ с точкой на ребре $S C$ и сказать, что это граница сечения.
Правильно: Стороны сечения (многоугольника) могут лежать только на гранях многогранника. Если две точки не лежат в одной грани, соединять их для контура сечения нельзя. Ищи вспомогательные точки пересечения с плоскостями граней (метод следов).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Очевидно из рисунка»

Ошибка: Писать «из рисунка видно, что сечение - равнобедренная трапеция» или «очевидно, что высота падает ровно на середину ребра».
Правильно: Любое геометрическое утверждение должно быть строго доказано. Трапеция равнобедренная? Докажи равенство боковых сторон или углов при основании через равенство треугольников.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибка в применении теоремы о трех перпендикулярах

Ошибка: При поиске расстояния от точки до плоскости просто опустить перпендикуляр на какую-то прямую в этой плоскости и решить, что это и есть искомое расстояние.
Правильно: Расстояние - это перпендикуляр ко всей плоскости. Чтобы доказать, что отрезок перпендикулярен плоскости, нужно доказать, что он перпендикулярен двум пересекающимся прямым в ней (обычно здесь как раз помогает ТТП).

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут.
Очерёдность: Не решай стереометрию в самом начале второй части. Лучше сначала сделай алгебру (уравнения 14 и неравенства 16). Стереометрия требует концентрации и времени на чертеж.
Рисунок: Сделай рисунок крупным, минимум на полстраницы. Если сечение получается «сплюснутым» и ничего не видно, не ленись перерисовать пирамиду под другим углом.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо! Если не получается доказать пункт «а», поверь в него и используй это утверждение для решения пункта «б». За правильный расчет ты получишь 1 балл.
Метод координат: Если пирамида правильная, а построение сечения заводит в тупик - вводи оси $X, Y, Z$ и решай задачу алгебраически. Это дольше в вычислениях, но не требует гениальных геометрических озарений.

За что дают баллы

В задании 15 можно получить максимум 3 первичных балла:

3 балла (Максимум): Ты безупречно доказал пункт «а» и получил верный, обоснованный ответ в пункте «б».
2 балла:
- Случай 1: Ты полностью и правильно решил только пункт «б» (без использования пункта «а»).
- Случай 2: Ты верно доказал пункт «а», логика пункта «б» абсолютно правильная, но допущена одна досадная арифметическая ошибка (ошибка в вычислениях, а не в формуле или геометрическом факте).
1 балл:
- Случай 1: Идеально доказан только пункт «а».
- Случай 2: Пункт «б» решен верно, но в процессе вычислений ты опирался на утверждение из пункта «а», которое не смог доказать.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев выше (например, неверный чертеж исказил суть задачи).

Что запомнить

1. Сечение строится по граням. Метод следов - твой главный инструмент классического подхода.
2. В правильных пирамидах активно используй свойства симметрии, средние линии и подобие треугольников.
3. Оформляй доказательство шагами, ссылаясь на конкретные признаки и теоремы школьной программы. Никаких «видно по чертежу».
4. Разделяй решение: застрял на доказательстве - переходи к вычислениям, предполагая, что факт доказан. Свой законный 1 балл ты заработаешь.

Проверь себя0 из 4

1.Где могут лежать стороны сечения многогранника?

2.Сечение пирамиды параллельно основанию и отсекает подобную пирамиду с коэффициентом подобия

k = \frac{1}{2} .

Каково отношение объёма отсечённой пирамиды к объёму исходной?

3.Секущая плоскость параллельна прямой

S A

и пересекает грань, содержащую

S A .

Как расположена линия пересечения относительно

S A ?

4.Ты не смог доказать пункт «а», но верно решил пункт «б», опираясь на утверждение пункта «а». Сколько баллов дадут за задание 15?