Сечения параллелепипедов — ЕГЭ профиль

Суть темы

Сечение параллелепипеда - одна из удобных подтем задания 15. Прямые углы и три пары параллельных граней дают сразу два независимых пути решения:

1. Геометрический (метод следов). Продолжаешь отрезки сечения до пересечения с рёбрами или их продолжениями, используешь подобие треугольников и свойство параллельных граней.
2. Координатный. Вводишь оси $X, Y, Z$ вдоль рёбер, находишь уравнение плоскости, считаешь площадь через проекцию. Это арифметика на автопилоте - без пространственного озарения.

Освой оба: первый быстрее при удачном чертеже, второй надёжнее как запасной.

Основные факты и формулы

ВАЖНОЕ

Свойство параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Следствие для параллелепипеда: секущая плоскость пересекает противоположные грани по параллельным отрезкам.

Для площади сечения главный инструмент - теорема о площади ортогональной проекции. Она выручает, когда проекция сечения на основание - удобная фигура (прямоугольник или трапеция).

ВАЖНОЕ

Площадь ортогональной проекции

Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника равна его собственной площади, умноженной на косинус угла $α$ между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции:

S_{пр} = S_{сеч} \cdot cos α ⟹ S_{сеч} = \frac{S _{пр}}{cos α}

ВАЖНОЕ

Координатный метод: уравнение плоскости

Общий вид уравнения плоскости: $A x + B y + C z + D = 0 .$
Коэффициенты $(A; B; C)$ - координаты вектора нормали $n$ к плоскости.

Косинус угла между двумя плоскостями с нормалями $n_{1}$ и $n_{2} :$

cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ \cdot ∣ n _{2} ∣}

Модуль в числителе берут, чтобы всегда получать острый угол.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на сечение параллелепипеда

1. Сделай крупный чертёж. Если точка делит ребро в отношении $3 : 2,$ а длина ребра $10,$ сразу пиши длины отрезков ( $6$ и $4$ ) прямо на рисунке.
2. Выбери метод для пункта «а».

Геометрический: продли прямую, соединяющую две точки на соседних гранях, до пересечения с продолжением общего ребра этих граней. Полученная точка (след) даёт продолжение сечения в следующую грань.
Координатный: введи оси с началом в вершине (обычно в $A$ или $D$ ). Найди координаты трёх заданных точек, составь уравнение плоскости и подставь в него координаты четвёртой точки.
3. Определи вид сечения. Проверь параллельность противоположных сторон. В параллелепипеде сечение через четыре точки, лежащие на попарно противоположных гранях, всегда даёт трапецию или параллелограмм.
4. Посчитай площадь для пункта «б». Два рабочих способа:
разбей многоугольник на треугольники и найди их площади через векторное произведение или теорему косинусов;
спроецируй сечение на основание и применяй формулу $S_{сеч} = S_{пр} / cos α .$

Примеры решения

Разбор двух задач: первая - классика (метод следов), вторая - координатным методом с проекцией.

ПРИМЕР 1

Метод следов и свойства параллельных граней

Условие:
В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 4,$ $A D = 8,$ $A A_{1} = 12 .$ На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $E$ и $F,$ причём $A_{1} E : E A = 2 : 1$ и $B_{1} F : F B = 1 : 2 .$ Точка $T$ - середина ребра $B_{1} C_{1} .$

а) Докажи, что плоскость $E F T$ проходит через точку $D_{1} .$

б) Найди площадь сечения параллелепипеда плоскостью $E F T .$

ПРИМЕР 2

Координатный метод и метод проекции

Условие:
В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 6,$ $A D = 8,$ $A A_{1} = 12 .$ На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $E$ и $F,$ причём $A_{1} E : E A = 1 : 2$ и $B_{1} F : F B = 1 : 5 .$ Точка $T$ - середина ребра $B_{1} C_{1} .$

а) Докажи, что плоскость $E F T$ проходит через точку $D_{1} .$

б) Найди площадь сечения параллелепипеда плоскостью $E F T .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отношение путают с длинами

Ошибка: увидеть $A_{1} E : E A = 3 : 2$ и сразу записать $A_{1} E = 3,$ $E A = 2 .$

Правильно: это отношение, а не длины. Если $A A_{1} = 15,$ то $A_{1} E = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9$ и $E A = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вид сечения «из рисунка»

Ошибка: построить четырёхугольник и без обоснования написать «это параллелограмм, значит площадь равна $a \cdot h$ ».

Правильно: вид сечения нужно доказать. Параллельность противоположных сторон сечения следует из того, что они лежат в параллельных гранях. Если нужна формула конкретной фигуры - сначала покажи, что это она. Безопасный путь: разбить на треугольники или спроецировать на основание.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли модуль в формуле угла

Ошибка: посчитать $cos α$ без модуля в числителе и получить отрицательное значение.

Правильно: в формуле угла между плоскостями модуль обязателен. Направление нормали не фиксировано, знак скалярного произведения зависит от случайного выбора - поэтому всегда бери $∣ n_{1} \cdot n_{2} ∣,$ чтобы получать косинус острого угла.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время: 20-30 минут.
Очерёдность: за стереометрию берись после 14 и 16 - они надёжнее по баллам.
Выбор метода: в прямоугольном параллелепипеде и кубе координатный метод почти всегда быстрее классики. Пространственное воображение заменяется аккуратной арифметикой.
Страховка на «а»: если геометрическое доказательство не идёт - выпиши координаты точек и проверь уравнение плоскости подстановкой. Это и есть строгое доказательство.
Хитрость оценивания: если «а» не доказан, но пункт «б» решён с использованием утверждения «а» как данности - всё равно получишь $1$ балл. Не бросай задачу целиком.

За что дают баллы

В задании 15 максимум $3$ первичных балла:

3 балла. Пункт «а» доказан строго, без логических пробелов. В пункте «б» получен верный числовой ответ с полным обоснованием (включая обоснование вида сечения).
2 балла. Либо пункт «б» решён полностью и верно, а пункт «а» не доказан. Либо пункт «а» доказан, ход пункта «б» правильный, но ответ неверен из-за одной арифметической ошибки.
1 балл. Доказан только пункт «а»; или пункт «б» решён верно с использованием недоказанного утверждения из «а»; или в верном ходе пункта «б» есть вычислительная ошибка и пункт «а» не доказан.
0 баллов. Нет математически верных продвижений. Голый ответ в «б» без решения - это тоже $0 .$

Проверь себя0 из 4

1.Секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда. Что можно сказать о линиях пересечения?

2.Площадь сечения

S_{сеч}

и площадь его ортогональной проекции

S_{пр}

связаны формулой:

3.Точка

E

делит ребро

A A_{1} = 15

так, что

A_{1} E : E A = 3 : 2 .

Чему равно

A_{1} E ?

4.Зачем в формуле косинуса угла между плоскостями

cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ \cdot ∣ n _{2} ∣}

нужен модуль в числителе?