Решение равнобедренного треугольника — ЕГЭ профиль

Решение равнобедренного треугольника (Задание 1)

Задание 1 проверяет базовые знания планиметрии. Тема «Равнобедренный треугольник» встречается здесь не так часто, как прямоугольные треугольники или параллелограммы, но свойства равнобедренного треугольника часто являются ключом к решению других, более сложных геометрических конструкций.

Задание требует краткого ответа (целое число или конечная десятичная дробь) и оценивается в 1 первичный балл.

iЗАМЕЧАНИЕ

Определение

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием.

Основные формулы и свойства

Для успешного решения задач первой части тебе нужно чётко помнить три базовых факта.

ВАЖНОЕ

Свойство углов при основании

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Если $A C = B C,$ то основанием является сторона $A B,$ и справедливо равенство:

∠ A = ∠ B

ВАЖНОЕ

Свойство высоты, медианы и биссектрисы

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают.
Если $C H ⊥ A B$ (высота), то $C H$ также делит угол $C$ пополам (биссектриса) и делит сторону $A B$ пополам (медиана).

Часто в этих задачах фигурируют внешние углы, поэтому обязательно помни следующую теорему:

ВАЖНОЕ

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника - это угол, смежный с внутренним углом.
Сумма смежных углов всегда равна $18 0^{\circ} .$
Кроме того, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Иногда в задании 1 встречаются не угловые, а метрические задачи - например, найти площадь равнобедренного треугольника. Для них держи в голове две формулы.

ВАЖНОЕ

Площадь через основание и высоту

Если $b$ - основание, а $h$ - высота, проведённая к основанию, то площадь равна:

S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h

ВАЖНОЕ

Площадь через боковую сторону и угол при вершине

Если $a$ - боковая сторона, а $α$ - угол при вершине (между боковыми сторонами), то площадь равна:

S = \frac{1}{2} a^{2} sin α

Формула получается из общей формулы $S = \frac{1}{2} a \cdot b sin α$ для двух сторон и угла между ними: в равнобедренном треугольнике эти две стороны равны.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задач на равнобедренный треугольник

1. Определи основание. Внимательно прочитай, какие именно стороны равны по условию. Та сторона, которая им не равна - это основание.
2. Отметь равные углы. Сразу покажи на чертеже дугами углы, прилежащие к основанию - они равны.
3. Найди внутренние углы. Если дан внешний угол, найди смежный с ним внутренний (отняв от $18 0^{\circ}$ ).
4. Используй сумму углов. Помни, что сумма всех внутренних углов треугольника равна $18 0^{\circ} .$ Угол при вершине всегда равен $18 0^{\circ} - 2 \cdot (угол при основании) .$
5. Проверь вопрос задачи. Убедись, что найден именно тот угол, о котором спрашивают (внутренний или внешний, часть угла или весь угол).

Примеры решения

Разберём три задачи от простых вычислений к более комбинированным конструкциям с биссектрисой. Все примеры отражают реальный уровень сложности задания 1.

ПРИМЕР 1

Через внешний угол

Условие:
В треугольнике $A B C$ стороны $A C = B C .$ Внешний угол при вершине $A$ равен $11 2^{\circ} .$ Найдите угол $C .$ Ответ дайте в градусах.

ПРИМЕР 2

Поиск внешнего угла

Условие:
В треугольнике $A B C$ стороны $A B = B C,$ угол $B$ равен $12 4^{\circ} .$ Найдите внешний угол при вершине $C .$ Ответ дайте в градусах.

ПРИМЕР 3

Пересечение с биссектрисой

Условие:
В треугольнике $A B C$ стороны $A C = B C,$ угол $C$ равен $5 0^{\circ} .$ Проведена биссектриса $A D .$ Найдите угол $A D B .$ Ответ дайте в градусах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница с основанием

Ошибка: Считать, что основание треугольника - это всегда та сторона, которая нарисована горизонтально внизу.
Правильно: Основание - это сторона, которая не равна двум другим. Внимательно читай условие: если сказано $A B = A C,$ то основанием будет $B C,$ даже если треугольник нарисован «на боку». Углы равны именно при стороне $B C .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Свойство биссектрисы не к основанию

Ошибка: Думать, что любая биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой. Например, в Примере 3 решить, что биссектриса $A D$ перпендикулярна $B C$ и $∠ A D B = 9 0^{\circ} .$
Правильно: Биссектриса, высота и медиана совпадают только если они проведены к основанию (из вершины, соединяющей равные стороны). Биссектриса, проведённая к боковой стороне, этим свойством не обладает.

Что запомнить

Если треугольник равнобедренный - сразу отмечай равные стороны и равные углы при основании.
Сумма углов треугольника $= 18 0^{\circ} .$
Внешний угол $= 18 0^{\circ} - (смежный внутренний) .$
Биссектриса к основанию = высота = медиана. К боковым сторонам это не относится.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения Задания 1

Время выполнения: 2-4 минуты. Это стартовая задача, она должна решаться быстро.
Рисуй! Даже если к задаче не дан чертёж в КИМе, обязательно нарисуй его на черновике. Отметь дугами равные углы, подпиши известные градусные меры. Визуализация спасает от глупых ошибок.
Проверь формулировку вопроса. В конце решения перечитай: просят внутренний угол или внешний? Угол при основании или при вершине? Потерять балл из-за того, что в бланк записан смежный угол вместо искомого - очень обидно.
Формат ответа. В первой части ЕГЭ ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь (как $82, 5$ в Примере 3). Никаких знаков градусов в бланк писать не нужно.

Проверь себя0 из 4

1.В треугольнике

A B C

стороны

A B = A C .

Какая сторона является основанием?

2.В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен

4 0^{\circ} .

Чему равен угол при основании?

3.Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен

11 0^{\circ} .

Чему равен угол при вершине?

4.В каком случае биссектриса равнобедренного треугольника обязательно является и высотой, и медианой?