Решение прямоугольного треугольника

Решение прямоугольного треугольника (Задание 1)

Задание 1 открывает первую часть ЕГЭ по математике и проверяет знание базовой планиметрии. Прямоугольный треугольник - одна из самых частых фигур на экзамене. Знание его свойств пригодится не только здесь, но и в стереометрии (задания 3 и 15), и в сложной планиметрии (задание 18).

В этом конспекте собрано всё, что нужно для уверенного решения задач на углы, катеты, гипотенузу, высоты и медианы в прямоугольном треугольнике.

Основные формулы и теоремы

Прямоугольный треугольник состоит из двух катетов (сторон, образующих прямой угол) и гипотенузы (самой длинной стороны, лежащей напротив прямого угла). Сумма острых углов всегда равна $90^{\circ }\text{.}$

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$a^2+b^2=c^2$$

Огромную роль в прямоугольном треугольнике играют тригонометрические функции. Они связывают углы и длины сторон.

ВАЖНОЕ

Тригонометрические функции острого угла

Для острого угла $\alpha$ (где $a$ - противолежащий катет, $b$ - прилежащий, $c$ - гипотенуза):

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c},\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b},\mathrm{ctg}\alpha =\frac{b}{a}$$

Запоминание нескольких пифагоровых троек ускоряет вычисления в разы: их не нужно проверять теоремой Пифагора, ответ уже в памяти.

ВАЖНОЕ

Пифагоровы тройки

Целочисленные тройки $(a,b,c)\text{,}$ для которых $a^2+b^2=c^2\text{:}$

$$(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29)$$

Любое кратное тоже тройка: $(6,8,10)\text{,}$ $(9,12,15)\text{,}$ $(10,24,26)$ и так далее.

Самый популярный сюжет в первом задании - линии, проведённые из вершины прямого угла: высота, биссектриса и медиана. У них есть жёсткие свойства.

ВАЖНОЕ

Свойство медианы к гипотенузе

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Она разбивает исходный прямоугольный треугольник на два равнобедренных:

$$CM=AM=MB=\frac{AB}{2}$$

ВАЖНОЕ

Высота к гипотенузе и метрические соотношения

Пусть $CH$ - высота, опущенная из прямого угла $C$ на гипотенузу $AB\text{,}$ а $p=AH$ и $q=BH$ - проекции катетов на гипотенузу.

Высота через произведение катетов и гипотенузу:

$$h=\frac{a\cdot b}{c}$$

Высота как среднее геометрическое проекций:

$$h^2=p\cdot q$$

Катет как среднее геометрическое гипотенузы и прилежащей проекции:

$$a^2=q\cdot c,b^2=p\cdot c$$

Алгоритм решения

Задачи этого типа алгоритмичны. Если следовать чёткому плану, запутаться почти невозможно.

Примеры

Разберём три задачи: от прямого применения теоремы Пифагора до классических задач на углы между линиями из прямого угла.

ПРИМЕР 1

Поиск тригонометрической функции

Условие:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ $AB=10\text{,}$ $BC=6\text{.}$ Найди $\cos A\text{.}$

Частые ошибки

Что запомнить

• Если известны две стороны прямоугольного треугольника, третья всегда находится по теореме Пифагора. Держи в голове тройки $(3,4,5)\text{,}$ $(5,12,13)\text{,}$ $(8,15,17)$ и их кратные - они экономят время.
• Биссектриса прямого угла даёт углы $45^{\circ }$ и $45^{\circ }\text{.}$
• Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы и разбивает треугольник на два равнобедренных. Замечай равные углы при их основаниях.
• Высота к гипотенузе: $h=\frac{ab}{c}\text{,}$ а также $h^2=p\cdot q\text{,}$ где $p$ и $q$ - проекции катетов.
• Угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен модулю разности острых углов треугольника: $\angle MCH=|\angle A-\angle B|\text{.}$ Быстрая формула для самопроверки.

Стратегия на экзамене