Разные задачи — ЕГЭ профиль

Суть темы

Задание 10 проверяет умение работать с математическими моделями реальных процессов. Несмотря на то что условия задач описывают физические, химические или экономические явления, глубоких знаний этих предметов от тебя не требуется. Вся необходимая информация и сама формула уже даны в тексте. Твоя главная цель - внимательно прочитать условие, извлечь числовые данные, подставить их в формулу и решить полученное уравнение или неравенство.

За правильное решение этого задания первой части даётся 1 первичный балл. Ответом всегда является целое число или конечная десятичная дробь.

Какие темы встречаются

Формула в условии задаёт тип уравнения, к которому свелась задача. В банке задания 10 встречаются такие модели:

Квадратные и степенные уравнения: равноускоренное движение (броски, торможение), адиабатический процесс, закон Стефана-Больцмана.
Рациональные уравнения: эффект Доплера, формула тонкой линзы, параллельное соединение проводников.
Иррациональные уравнения: формула Торричелли для истечения жидкости, кинетическая энергия, тормозной путь через $v = 2 l a .$
Показательные уравнения: радиоактивный распад, охлаждение Ньютона, размножение бактерий (подробнее - в отдельном конспекте по показательным уравнениям).
Логарифмические уравнения: изотермическое сжатие газа, уровень звука в децибелах (отдельный конспект по логарифмическим уравнениям).
Линейные уравнения: тепловое расширение, закон Гука, тарифы (отдельный конспект по линейным уравнениям).

Частые математические модели

Формулы всегда даны в условии, но полезно узнать их в лицо, чтобы сразу понимать, какое уравнение предстоит решать.

ВАЖНОЕ

Квадратичная модель (равноускоренное движение)

S = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}

Встречается в задачах про разгон и торможение. Сводится к квадратному уравнению относительно времени $t .$ Обязательно следи за единицами: если скорость дана в км/ч, ответ в минутах нужно пересчитать в конце.

ВАЖНОЕ

Иррациональная модель

v = 2 l a, v = \frac{2 E}{m}

Такие формулы появляются в задачах про тормозной путь, кинетическую энергию, формулу Торричелли $v = 2 g h .$ Квадратный корень снимается возведением обеих частей в квадрат.

ВАЖНОЕ

Рациональная модель (сумма обратных величин)

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}, \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}

Закон параллельного соединения проводников и формула тонкой линзы. Неизвестная стоит в знаменателе - уравнение приводится к общему знаменателю и становится линейным или квадратным.

ВАЖНОЕ

Степенная модель с дробным показателем

p \cdot V^{k} = const, P = σ S T^{4}

Адиабатический процесс ( $k = 4/3$ или $k = 5/3$ ) и закон Стефана-Больцмана. Избавляемся от показателя, возводя обе части во взаимно обратную степень.

Общий алгоритм решения

Залог успеха в задании 10 - это порядок в записях.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения

1. Выпиши формулу. Прямо на черновик, крупными буквами.
2. Выпиши «дано». Найди в тексте все числовые значения и укажи, какой букве они соответствуют. Сразу выпиши, какую букву нужно найти.
3. Проверь единицы измерения. Сравни единицы в «дано» с теми, что требуются в ответе. Если скорость дана в км/ч, а время просят в минутах - сделай пометку, что ответ придётся переводить.
4. Подставь числа в формулу. Сделай это до алгебраического преобразования. Выражать неизвестную в буквенном виде часто сложнее и приводит к ошибкам.
5. Реши уравнение или неравенство. Аккуратно выполни вычисления.
6. Выбери ответ со смыслом. Если получилось два корня, перечитай условие и выбери тот, который подходит по физическому смыслу (время неотрицательно, расстояние положительно, и так далее).

Примеры решения

Посмотрим три задачи с разными типами математических моделей: иррациональное, рациональное и квадратное уравнение с физической ловушкой.

ПРИМЕР 1

Иррациональное уравнение (кинетическая энергия)

Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) тела массой $m$ (в кг), движущегося со скоростью $v$ (в м/с), вычисляется по формуле

E = \frac{m v ^{2}}{2} .

Снаряд массой $m = 2$ кг обладает кинетической энергией $E = 900$ Дж. Найди скорость снаряда. Ответ дай в м/с.

Решение:

Выпишем «дано»: $m = 2,$ $E = 900 .$ Найти: $v .$

Подставим числа в формулу:

900 = \frac{2 \cdot v ^{2}}{2}

Двойки сокращаются, и уравнение принимает чистый вид:

900 = v^{2}

Квадратный корень из $900$ равен $30 .$ Скорость - величина неотрицательная, поэтому выбираем только положительный корень:

v = 30

Проверка: $E = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2}}{2} = 3 0^{2} = 900$ Дж. Сошлось.

Ответ: $30$

ПРИМЕР 2

Рациональное уравнение (параллельное соединение)

При параллельном соединении двух резисторов их общее сопротивление $R$ (в омах) связано с сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ (в омах) формулой

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} .

В схеме с двумя параллельными резисторами общее сопротивление оказалось равным $R = 2$ Ом, а сопротивление первого резистора $R_{1} = 3$ Ом. Найди сопротивление второго резистора. Ответ дай в омах.

ПРИМЕР 3

Квадратное уравнение с физическим смыслом корней

Датчик перегрева подаёт сигнал, если температура прибора превышает $120^{\circ} C .$ Температура прибора $T$ (в градусах Цельсия) зависит от времени работы $t$ (в минутах) по закону

T (t) = T_{0} + a t + b t^{2},

где $T_{0} = 20^{\circ} C$ - начальная температура, $a = 15^{\circ} C/ мин,$ $b = - 0, 5^{\circ} C/ мин^{2} .$ Через сколько минут после включения прибор нужно отключить, чтобы он не сломался от перегрева? Ответ дай в минутах.

Выбери a < 0: вершина будет максимумом, а меньший отмеченный корень — моментом первого достижения границы

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильный перевод единиц измерения

Ошибка: Получить время в часах и сразу записать его в бланк, проигнорировав фразу «Ответ дайте в минутах». Это самая обидная потеря балла.

Правильно: Как только прочитаешь условие, сразу обведи в кружок или подчеркни единицы измерения, в которых просят дать ответ. В конце решения сверься с этой пометкой и, если нужно, пересчитай.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Выбор наибольшего корня «по привычке»

Ошибка: Получить два положительных корня в квадратном уравнении (например, $t_{1} = 10$ и $t_{2} = 20$ ) и автоматически записать в ответ большее число.

Правильно: Всегда читай вопрос и думай о физическом смысле. В задачах на перегрев или первое достижение критической отметки ответ - меньший корень (прибор выключат при первом же превышении). В задачах «на какой секунде камень падает на землю» ответ - больший корень. Меньший корень отвечает за подъём, больший - за возвращение или второе пересечение.

График высоты камня h(t) — парабола ветвями вниз над осью вр

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака при снятии квадрата

Ошибка: Из уравнения $v^{2} = 900$ написать только $v = 30,$ забыв про $v = - 30,$ и при этом в другой задаче - где отрицательный корень подходит - оставить только положительный.

Правильно: После возведения в квадрат или снятия квадратного корня всегда выписывай оба корня, а потом отбрасывай лишний по физическому смыслу. Скорость, масса, длина, время, сопротивление - неотрицательные величины, но координата или температура могут быть отрицательными. Решай, какой корень убрать, только после записи обоих.

Что запомнить

Пиши «дано» столбиком: это структурирует данные и спасает от путаницы при подстановке.
Единицы измерения сверяй до подстановки. Миллиметры - в метры, минуты - в секунды, часы - в минуты, если этого требует формула.
Если в квадратном уравнении получилось два корня - не спеши выбирать больший. Подумай, какой корень соответствует физическому моменту из вопроса задачи.
В иррациональных уравнениях после извлечения корня всегда думай о знаке: скорость, масса, длина неотрицательны.
В рациональных уравнениях первым делом приводи дроби к общему знаменателю - после этого уравнение становится линейным или квадратным.
Если в формуле есть дробная степень ( $V^{4/3},$ $T^{4}$ ), избавляйся от неё возведением обеих частей во взаимно обратную степень.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-10 минут. Задание 10 из первой части - классическая задача повышенного уровня.
Приоритет: Решай в первом проходе по первой части. Задача стабильно приносит балл, если не торопиться с чтением условия.
Проверка вычислений: Обязательно подставь полученный ответ обратно в исходную формулу. Это займёт 30 секунд, но гарантированно защитит от арифметических ошибок со знаками или десятичными дробями.
Дробные степени: Если в задаче попался показатель $1, 4,$ переведи его в обыкновенную дробь: $1, 4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} .$ Избавляться от показателя $7/5$ нужно возведением обеих частей уравнения в степень $5/7 .$
Формат ответа: Целое число или короткая десятичная дробь. Если получилось что-то вроде $7$ или $\frac{50}{3}$ - ищи арифметическую ошибку в подстановке или преобразованиях.

Проверь себя0 из 4

1.Кинетическая энергия тела массой

m = 2

кг равна

E = 100

Дж. Формула:

E = \frac{m v ^{2}}{2} .

Чему равна скорость

v

(в м/с)?

2.Общее сопротивление

R

при параллельном соединении:

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} .

Если

R_{1} = 4

Ом и

R_{2} = 4

Ом, то

R

равно:

3.При решении задачи о перегреве прибора получилось два положительных корня:

t_{1} = 10

t_{2} = 20 .

Через сколько минут нужно отключить прибор, чтобы он не сломался?

4.В формуле встретился показатель степени

1, 4 .

Возведением в какую степень нужно снять этот показатель?