Задание 10: Текстовые задачи | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 10 - это классическая текстовая задача. Она проверяет умение переводить реальные ситуации (движение баржи, работу насосов или смешивание кислот) на строгий язык математики - составлять уравнения и решать их.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ сюжеты текстовых могут быть самыми разными. Стоит делать упор на следующие 4 типа:

1. Движение по воде - лодки, катера, баржи. Главная фишка: наличие скорости течения.
2. Движение по прямой - поезда, автомобили, пешеходы. Часто встречаются задачи с опозданиями или остановками.
3. Совместная работа - трубы, насосы, рабочие. Математически это полное отражение задач на движение.
4. Проценты, сплавы и смеси - сливание растворов, смешивание сплавов или высушивание фруктов.

Основные формулы и аналогии

Задачи на движение и работу решаются по одному и тому же принципу. В них всегда участвуют три величины:

Связь скорости, времени и пути

Для движения:

S = v \cdot t ⟹ t = \frac{S}{v}

Где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, $t$ - время.

Для работы:

A = p \cdot t ⟹ t = \frac{A}{p}

Где $A$ - объём работы, $p$ - производительность (скорость работы), $t$ - время.

Если в задаче на работу объём не указан (например, «первый рабочий красит забор...»), то вся работа принимается за $1 .$

Для задач на движение по воде всегда учитывай течение:

Скорость по течению = $v_{собств} + v_{теч}$
Скорость против течения = $v_{собств} - v_{теч}$

Общий алгоритм решения

Почти любую задачу 10 можно решить с помощью табличного метода.

Алгоритм решения через таблицу

1. Нарисуй таблицу 3×2. Столбцы - это $S, v, t$ (или $A, p, t$ ). Строки - это объекты (Первый/Второй, По течению/Против течения).
2. Заполни два столбца. Обозначь то, что нужно найти, за $x .$ Заполни столбец скорости (или производительности) и столбец пути (или работы) из условий задачи.
3. Вырази третий столбец. В столбце времени $t$ не пиши новые буквы. Запиши его как дробь: путь разделить на скорость ( $\frac{S}{v}$ ).
4. Составь уравнение. В тексте задачи всегда есть условие для времени: кто-то приехал раньше, кто-то сделал остановку, или они потратили равное время. Свяжи дроби из третьего столбца этим условием.
5. Реши уравнение. Обычно оно сводится к квадратному. Отрицательный корень сразу отбрасывается.
6. Перечитай вопрос. Убедись, что найденный $x$ - это именно то, что просили в ответе.

Примеры решения

Разберём три самые популярные подтемы, двигаясь от классики к более специфичным сюжетам.

Пример 1. Движение по воде

Условие:
Моторная лодка прошла против течения реки $60$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $1$ час меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна $1$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Обозначим собственную скорость лодки за $x$ км/ч. Тогда скорость по течению равна $x + 1,$ а против течения - $x - 1 .$ Заполним таблицу:

Направление	$S$ (км)	$v$ (км/ч)	$t$ (ч)
Против теч.	$60$	$x - 1$	$\frac{60}{x - 1}$
По теч.	$60$	$x + 1$	$\frac{60}{x + 1}$

Известно, что время на обратный путь (по течению) на $1$ час меньше. Значит, если из большего времени (против течения) вычесть меньшее (по течению), получится $1 :$

\frac{60}{x - 1} - \frac{60}{x + 1} = 1

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\frac{60 ( x + 1 ) - 60 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 1

Раскроем скобки в числителе и свернём знаменатель по формуле разности квадратов:

\frac{60 x + 60 - 60 x + 60}{x ^{2} - 1} = 1

\frac{120}{x ^{2} - 1} = 1

Умножим обе части на $x^{2} - 1$ (при условии $x > 1$ ):

120 = x^{2} - 1 ⟹ x^{2} = 121

Корень $x = - 11$ не подходит по физическому смыслу (скорость не может быть отрицательной). Остаётся $x = 11 .$
Нас просили найти собственную скорость лодки - мы её и брали за $x .$

Ответ: 11

Пример 2. Совместная работа

Условие:
Первая труба пропускает на $3$ литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $108$ литров она заполняет на $3$ минуты дольше, чем вторая труба?

Показать решение

Пусть $x$ л/мин - скорость (производительность) второй трубы. Тогда первая труба пропускает $x - 3$ л/мин. Заполняем таблицу ( $A, p, t$ ):

Труба	$A$ (л)	$p$ (л/мин)	$t$ (мин)
Первая	$108$	$x - 3$	$\frac{108}{x - 3}$
Вторая	$108$	$x$	$\frac{108}{x}$

Первая труба заполняет резервуар на $3$ минуты дольше. Значит, её время больше. Вычитаем из большего времени меньшее:

\frac{108}{x - 3} - \frac{108}{x} = 3

Разделим обе части уравнения на $3,$ чтобы упростить вычисления:

\frac{36}{x - 3} - \frac{36}{x} = 1

Приведём к общему знаменателю:

\frac{36 x - 36 ( x - 3 )}{x ( x - 3 )} = 1

\frac{36 x - 36 x + 108}{x ^{2} - 3 x} = 1 ⟹ 108 = x^{2} - 3 x

Получаем квадратное уравнение:

x^{2} - 3 x - 108 = 0

Дискриминант: $D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 108) = 9 + 432 = 441 = 2 1^{2} .$
Корни: $x = \frac{3 \pm 21}{2} .$ Положительный корень $x = 12 .$

Внимание: за $x$ мы брали производительность второй трубы. А в вопросе просят найти производительность первой.
Вычисляем: $12 - 3 = 9 .$

Ответ: 9

Пример 3. Сплавы и смеси

Условие:
Имеется два сплава. Первый содержит $40%$ меди, второй - $15%$ меди. Масса первого сплава больше массы второго на $10$ кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий $30%$ меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Задачи на смеси удобно решать через уравнение баланса чистого вещества (меди).
Пусть масса второго сплава равна $m$ кг. Тогда масса первого сплава равна $m + 10$ кг. При их слиянии масса третьего сплава станет равна сумме масс: $(m + 10) + m = 2 m + 10$ кг.

Масса чистой меди в сплаве - это процент (переведённый в десятичную дробь), умноженный на массу всего сплава. Составим уравнение:
Масса меди в 1-м + Масса меди во 2-м = Масса меди в 3-м

0, 4 (m + 10) + 0, 15 m = 0, 3 (2 m + 10)

Раскроем скобки:

0, 4 m + 4 + 0, 15 m = 0, 6 m + 3

Перенесём всё с $m$ в правую часть, а числа - в левую:

4 - 3 = 0, 6 m - 0, 55 m

1 = 0, 05 m

Разделим обе части на $0, 05$ (или умножим на $100$ и разделим на $5$ ):

m = \frac{100}{5} = 20

Масса второго сплава равна $20$ кг. В задаче просят найти массу третьего сплава.
Масса третьего: $2 m + 10 = 2 \cdot 20 + 10 = 50$ кг.

Ответ: 50

Частые ошибки

Забыть про вопрос задачи

Ошибка: Найти $x$ через уравнение и сразу записать его в бланк ответа. В Примере 2 мы нашли $x = 12,$ но ответом было $9 .$
Правильно: Как только нашёл корень уравнения, остановись. Прочитай вопрос задачи ещё раз. Убедись, что $x$ - это именно та величина, о которой спрашивают.

Перепутать знаки течения

Ошибка: В задаче на движение по воде вычитать скорость лодки из скорости течения или вообще забывать её добавлять.
Правильно: По течению река "помогает" (складываем). Против течения - "мешает" (вычитаем течение из собственной скорости). Скорость течения всегда меньше скорости моторной лодки, иначе она бы никуда не уплыла.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 10

Время выполнения: 5–10 минут.
Очерёдность: Решай вместе с первой частью. Задача стандартная и алгоритмичная.
Проверка корней: В $99%$ случаев квадратное уравнение в этом задании имеет "красивый" дискриминант (полный квадрат). Если корень не извлекается - ты где-то ошибся при составлении уравнения или раскрытии скобок. Пересчитай сразу.
Упрощение: Если числители в дробно-рациональном уравнении делятся на одно и то же число (как в Примере 2), обязательно сократи их до того, как приводить к общему знаменателю. Это спасёт от гигантских дискриминантов.