Равномерное распределение — ЕГЭ профиль

Равномерное распределение (Задание 6)

Задание 6 - короткая задача на случайную величину: одна-две формулы и аккуратный счёт. Равномерное распределение - самый простой её сюжет и по-своему самый выгодный: здесь не нужны ни интегралы, ни таблицы значений. Вероятность считается как отношение длин двух отрезков, а математическое ожидание и дисперсия берутся из готовых формул.

Узнать тему в условии легко. Если сказано «пассажир приходит на остановку в случайный момент», «курьер привезёт заказ в промежуток с 14:00 до 18:00» или прямо «величина распределена равномерно на отрезке» - это она.

Суть темы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина $X$ распределена равномерно на отрезке $[a; b],$ если она принимает значения только из этого отрезка и не имеет «любимых мест»: вероятность попасть в кусок отрезка зависит только от длины этого куска, а не от того, где он расположен.

У непрерывной величины бессмысленно спрашивать, чему равна вероятность значения ровно $7, 0$ минут: таких точек бесконечно много, и вероятность каждой равна нулю. Поэтому вместо вероятностей отдельных значений задают плотность распределения $f (x),$ а вероятность получают как площадь под её графиком.

Для равномерной величины график плотности - обычная горизонтальная «полка» над отрезком $[a; b]$ и ноль за его пределами. Высота полки подобрана так, чтобы площадь прямоугольника равнялась единице: вся вероятность вместе всегда даёт $1 .$

Плотность равномерного распределения - прямоугольник единичной площади

Основные формулы

Все формулы темы читаются с одного и того же прямоугольника - учить их по отдельности не нужно.

ВАЖНОЕ

Плотность равномерного распределения

f (x) = \frac{1}{b - a} при a ⩽ x ⩽ b, f (x) = 0 при остальных x

Высота полки - величина, обратная длине отрезка. Площадь прямоугольника тогда равна $(b - a) \cdot \frac{1}{b - a} = 1 .$

ВАЖНОЕ

Вероятность попадания в промежуток

Если промежуток $[c; d]$ целиком лежит внутри $[a; b],$ то

P (c ⩽ X ⩽ d) = \frac{d - c}{b - a}

Словами: длина нужного куска, делённая на длину всего отрезка. Это площадь узкого прямоугольника внутри большого.

ВАЖНОЕ

Функция распределения

F (x) = P (X < x) = \frac{x - a}{b - a} при a ⩽ x ⩽ b

Левее отрезка $F (x) = 0,$ правее $F (x) = 1 .$ График - ломаная из трёх кусков: горизонтальный, затем наклонный отрезок от $(a; 0)$ до $(b; 1),$ затем снова горизонтальный.

График функции распределения равномерной величины

ВАЖНОЕ

Ожидание, дисперсия, стандартное отклонение

E (X) = \frac{a + b}{2}, D (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}, σ (X) = \frac{b - a}{2 3}

Математическое ожидание - середина отрезка, это видно из симметрии. Дисперсия зависит только от длины $b - a,$ а от положения отрезка не зависит вовсе.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на равномерное распределение

1. Выпиши границы $a$ и $b .$ Это концы промежутка, на котором величина «живёт»: от $0$ до $15$ минут, от $14 : 00$ до $18 : 00,$ от $2$ до $10 .$ Если дана плотность $f (x) = \frac{1}{12}$ при $0 ⩽ x ⩽ 12,$ границы написаны прямо в условии рядом с ней.
2. Переведи всё в одни единицы. Минуты с минутами, часы с часами. Смешение единиц - главный источник неверных ответов в этой теме.
3. Определи, что спрашивают. Вероятность попадания - формула с отношением длин. Среднее время - формула для $E (X) .$ Разброс - $D (X)$ или $σ (X) .$
4. Для вероятности найди длину нужного куска. Обрежь его по границам отрезка: часть, торчащая за $[a; b],$ вероятности не добавляет.
5. Раздели на длину всего отрезка $b - a .$ Не на $b$ и не на длину куска - именно на $b - a .$
6. Проверь ответ. Вероятность обязана лежать в $[0; 1],$ ожидание - внутри отрезка $[a; b] .$ Ответ в задании 6 - целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Время ожидания транспорта

Условие:
Трамваи проходят через остановку строго каждые $15$ минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент, поэтому время его ожидания распределено равномерно на отрезке от $0$ до $15$ минут. Найди вероятность того, что пассажир прождёт трамвай не более $6$ минут.

ПРИМЕР 2

Промежуток внутри промежутка

Условие:
Интернет-магазин обещает привезти заказ в промежуток с $14 : 00$ до $18 : 00,$ причём момент доставки распределён равномерно на этом промежутке. Найди вероятность того, что заказ привезут между $15 : 30$ и $17 : 00 .$

ПРИМЕР 3

Дисперсия по заданной плотности

Условие:
Время ожидания лифта в подъезде (в минутах) - случайная величина $X$ с плотностью распределения $f (x) = \frac{1}{12}$ при $0 ⩽ x ⩽ 12$ и $f (x) = 0$ при остальных значениях $x .$ Найди дисперсию времени ожидания.

ПРИМЕР 4

Пассажир уже подождал

Условие:
Электропоезда отправляются от платформы каждые $20$ минут. Пассажир пришёл на платформу в случайный момент, поэтому время его ожидания распределено равномерно на отрезке от $0$ до $20$ минут. Пассажир ждёт уже $5$ минут, а поезда всё нет. Найди вероятность того, что поезд подойдёт в течение ближайших трёх минут.

ПРИМЕР 5

Обратная задача: границы по ожиданию и дисперсии

Условие:
Время поездки на пароме через пролив распределено равномерно. Среднее время поездки равно $10$ минутам, а дисперсия времени поездки равна $3 .$ Найди наибольшее возможное время поездки. Ответ дай в минутах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Делить на

b

вместо

b - a

Ошибка: Время ожидания равномерно на отрезке от $2$ до $10$ минут, спрашивают вероятность «не более $5$ минут». Ученик пишет $P = \frac{5}{10} = 0, 5 .$

Правильно: Отрезок начинается не в нуле, поэтому и числитель, и знаменатель считаются как разности:

P = \frac{5 - 2}{10 - 2} = \frac{3}{8} = 0, 375

Проверяй себя вопросом «какова длина всего отрезка?». Для $[2; 10]$ это $8,$ а не $10 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путать плотность с вероятностью

Ошибка: Считать, что $f (x)$ - это вероятность, и пугаться значения больше единицы.

Правильно: Плотность - не вероятность, а «вероятность на единицу длины». На отрезке $[0; 0, 5]$ плотность равна $\frac{1}{0 , 5} = 2,$ и это нормально. Вероятностью становится только площадь под графиком плотности, а она никогда не превышает $1 .$

Отсюда же следует, что $P (X = c) = 0$ для любой отдельной точки: у отрезка нулевой длины нулевая площадь. Поэтому «не более $6$ минут» и «менее $6$ минут» в этой теме дают один и тот же ответ, и строгость неравенств можно не отслеживать.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыть квадрат в формуле дисперсии

Ошибка: Для отрезка $[0; 12]$ написать $D (X) = \frac{12}{12} = 1 .$

Правильно: В числителе стоит квадрат длины: $D (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} = \frac{144}{12} = 12 .$

Быстрая проверка на здравый смысл: дисперсия измеряется в квадратах исходных единиц, поэтому она обязана быть построена из квадрата длины. Получилось подозрительно маленькое число - скорее всего, потерян квадрат.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Считать «уже подождал» как обычную вероятность

Ошибка: В задаче про поезд с интервалом $20$ минут, где пассажир уже прождал $5$ минут, взять $P = \frac{3}{20} = 0, 15 .$

Правильно: Слова «ждёт уже $5$ минут» меняют не числитель, а знаменатель: часть отрезка выбыла из рассмотрения. Считать нужно на укороченном отрезке $[5; 20]$ длины $15 :$

P = \frac{3}{15} = 0, 2

Признак такой задачи в условии - слова «уже», «прошло», «а транспорта всё нет».

Что запомнить

КОРОТКО

Равномерное распределение в шести строках

Плотность - «полка» высоты $\frac{1}{b - a}$ над отрезком $[a; b]$ и ноль вне его; площадь под ней равна $1 .$
Вероятность - это длина нужного куска, делённая на длину всего отрезка $b - a .$
$F (x) = \frac{x - a}{b - a}$ на отрезке, $0$ слева и $1$ справа от него.
$E (X) = \frac{a + b}{2}$ - середина отрезка.
$D (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}$ - зависит только от длины, но не от положения отрезка.
«Уже прождал $t$ минут» - это новый отрезок $[t; b];$ меняется знаменатель, а не числитель.

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Тайминг: 2-4 минуты. Самый быстрый сюжет шестого номера - решай сразу, в первом же проходе по первой части.
Первый шаг всегда один: выписать $a$ и $b$ и посчитать $b - a .$ Половина ошибок в теме живёт именно здесь.
Рисуй отрезок. Прямая с отмеченными $a,$ $b$ и границами нужного куска занимает пятнадцать секунд и снимает почти все вопросы о том, что на что делить.
Про $σ .$ У равномерного распределения $σ = \frac{b - a}{2 3} = \frac{( b - a ) 3}{6},$ то есть при любой обычной длине отрезка это рациональное число, умноженное на $3,$ - иррациональное всегда, а не «почти всегда». В бланк части 1 такой ответ не вписывается, поэтому стандартное отклонение равномерного распределения там спросить и не могут: спрашивают дисперсию. Увидел в условии $σ$ - значит, распределение не равномерное.
Самопроверка: верни ответ в смысл задачи. Вероятность больше $1,$ отрицательная вероятность или ожидание вне отрезка $[a; b]$ означают, что формула применена неверно.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна плотность величины, равномерно распределённой на отрезке

[0; 5] ?

2.Величина

X

равномерна на отрезке

[2; 10] .

Чему равна

P (X ⩽ 5) ?

3.Величина

X

равномерна на отрезке

[0; 6] .

Чему равна

D (X) ?

4.Автобусы ходят с интервалом

30

минут. Пассажир ждёт уже

10

минут. Какова вероятность, что автобус придёт в ближайшие

5

минут?