Рациональные уравнения и неравенства — ЕГЭ профиль

Суть темы

Задание 10 проверяет умение работать с готовой формулой из физики, оптики или экономики. Формулу давать не нужно - она уже есть в тексте задачи. Подтема «Рациональные уравнения и неравенства» означает, что неизвестная попадает в знаменатель дроби. Типичные сюжеты - параллельное соединение резисторов, формула тонкой линзы, эффект Доплера, напряжение на нагрузке с учётом внутреннего сопротивления источника, задачи на рентабельность и средний расход топлива.

Математика при этом простая: после подстановки чисел получается уравнение или неравенство с одной дробью. Если уметь грамотно избавляться от знаменателя, задача решается за 5-7 минут.

Основные формулы

Эти формулы даны в условии каждой конкретной задачи, но их полезно узнавать в лицо: так ты сразу поймёшь, какое уравнение предстоит решать.

ВАЖНОЕ

Параллельное соединение двух резисторов

R = \frac{R _{1} \cdot R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

Общее сопротивление двух приборов $R_{1}$ и $R_{2},$ подключённых параллельно. Встречается с вопросами «определи наименьшее сопротивление второго прибора».

ВАЖНОЕ

Напряжение на нагрузке от источника с внутренним сопротивлением

U = \frac{ε \cdot R}{R + r}

Здесь $ε$ - ЭДС источника, $r$ - его внутреннее сопротивление, $R$ - сопротивление нагрузки. Неизвестная $R$ стоит и в числителе, и в знаменателе одновременно.

ВАЖНОЕ

Формула тонкой линзы

\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}

$F$ - фокусное расстояние линзы, $d$ - расстояние от предмета до линзы, $f$ - расстояние от линзы до изображения. Классический пример рационального уравнения, где неизвестная стоит именно в знаменателе.

ВАЖНОЕ

Рентабельность (экономика)

r = \frac{P - C}{C} \cdot 100%

$P$ - выручка, $C$ - себестоимость, $r$ - рентабельность в процентах. После подстановки получается линейное уравнение с неизвестной в знаменателе дроби.

Ключевой факт, который экономит время: все физические величины в этих задачах строго положительны. Сопротивление, фокусное расстояние, себестоимость, расстояние до предмета - это положительные числа. Значит, знаменатель дроби (например, $R_{1} + R_{2},$ $R + r,$ $C$ ) гарантированно больше нуля. При решении неравенства на такой знаменатель можно смело умножать обе части, не меняя знак неравенства. Сложный метод интервалов, как в задании 16, здесь не нужен.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения рациональной задачи 10

1. Выпиши формулу из условия. Прямо на черновике, крупно. Рядом столбиком - «дано»: какая буква какому числу соответствует.
2. Определи ОДЗ знаменателя. Убедись, что знаменатель дроби не равен нулю и положителен (в задачах 10 почти всегда так). Это разрешение умножать обе части уравнения на знаменатель.
3. Составь математическую модель. Слова «равно» - уравнение, «не менее / не более» - неравенство со знаком $⩾$ или $⩽ .$
4. Избавься от знаменателя. Умножь обе части на знаменатель $Q$ (это положительное выражение, знак неравенства не меняется). Получишь линейное или квадратное соотношение.
5. Реши уравнение или неравенство. Перенеси неизвестную в одну сторону, числа - в другую. Для неравенств с переменной и в числителе, и в знаменателе - приведи к виду $\frac{f ( x )}{g ( x )} ⩾ 0$ и применяй метод интервалов.
6. Выбери ответ по вопросу задачи. Если получилось $R ⩾ 40,$ а просят «наименьшее» - в ответ идёт $40 .$ Подставь найденное число обратно в исходную формулу для проверки.

Примеры решения

Три сюжета: линейно-рациональное уравнение на закон Ома для полной цепи, неравенство на параллельное соединение и задача на формулу линзы.

ПРИМЕР 1

Напряжение на нагрузке

К источнику с ЭДС $ε = 220 В$ и внутренним сопротивлением $r = 2 Ом$ хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле:

U = \frac{ε \cdot R}{R + r}

При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно $200 В ?$ Ответ дай в омах.

Решение:

Выпишем «дано»: $ε = 220,$ $r = 2,$ $U = 200 .$ Найти: $R .$

Подставим числа в формулу:

200 = \frac{220 \cdot R}{R + 2}

Сопротивление - физическая величина, $R > 0,$ значит $R + 2 > 0 .$ Умножим обе части на положительный знаменатель $(R + 2) :$

200 \cdot (R + 2) = 220 \cdot R

Разделим обе части на $20,$ чтобы уменьшить числа и снизить риск арифметической ошибки:

10 \cdot (R + 2) = 11 \cdot R

Раскроем скобки и соберём $R$ в правой части:

10 R + 20 = 11 R ⟺ R = 20

Проверка: при $R = 20$ получаем $U = \frac{220 \cdot 20}{20 + 2} = \frac{4400}{22} = 200$ В. Сошлось.

Ответ: $20$

ПРИМЕР 2

Параллельное подключение приборов (неравенство)

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R_{1} = 60 Ом .$ Параллельно с ней в розетку предполагается подключить обогреватель, сопротивление которого $R_{2}$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле:

R = \frac{R _{1} \cdot R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $24 Ом .$ Определите наименьшее возможное сопротивление обогревателя. Ответ дай в омах.

ПРИМЕР 3

Формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние $F$ (в см), расстояние от предмета до линзы $d$ (в см) и расстояние от линзы до изображения $f$ (в см):

\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}

Фокусное расстояние линзы $F = 12$ см, изображение получается на расстоянии $f = 60$ см от линзы (с противоположной от предмета стороны). На каком расстоянии $d$ от линзы нужно поместить предмет, чтобы изображение было чётким? Ответ дай в сантиметрах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

ОДЗ знаменателя забыто

Ошибка: Умножить обе части уравнения на $(R + r)$ и не проверить, что знаменатель не обращается в ноль, либо (в неравенствах) забыть обосновать, почему знак не меняется.

Правильно: Перед тем как домножать на знаменатель $Q,$ коротко убедись, что $Q > 0$ (в задачах 10 это почти всегда так - все участвующие величины положительны по физическому смыслу). Для уравнения этого достаточно, чтобы избавиться от дроби. Для неравенства положительность знаменателя означает, что знак неравенства после умножения сохраняется.

Контрпример: если бы в задаче было $R < 0$ (чего в задании 10 не бывает), на знаменатель $R + r$ нельзя было бы умножать без смены знака. Всегда формулируй это обоснование явно - оно занимает одну строку, а защищает от системной ошибки.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильный перевод слов в знаки неравенств

Ошибка: Увидеть фразу «не меньше $20$ » и записать неравенство $R < 20$ или $R ⩽ 20 .$ Сработал триггер на корень «меньше», и знак ушёл не в ту сторону.

Правильно: «Не меньше» - это антоним слова «меньше». Значит, может быть равно или больше. Пиши $R ⩾ 20 .$ Мини-словарь:

«не менее», «не меньше», «хотя бы» $⟹ ⩾$
«не более», «не больше», «не превышает» $⟹ ⩽$
«строго больше», «превышает» $⟹ >$

Если получилось $R ⩾ a$ и просят наименьшее - это $a .$ Если $R ⩽ a$ и просят наибольшее - тоже $a .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Деление на неизвестную

Ошибка: Получив уравнение $\frac{1}{d} = \frac{1}{15},$ «сократить» обе части на $\frac{1}{\cdot}$ и записать $d = 15$ без обоснования, либо в уравнении $a R = b R$ разделить на $R$ и потерять корень $R = 0 .$

Правильно: Равенство $\frac{1}{d} = \frac{1}{15}$ при $d > 0$ и $15 > 0$ равносильно $d = 15$ (функция $\frac{1}{x}$ монотонна на положительной полуоси). Если же ОДЗ допускает $R = 0,$ перенеси всё в одну сторону и вынеси общий множитель: $a R - b R = 0 ⟺ (a - b) R = 0 .$

Что запомнить

Неизвестная в знаменателе - это рациональное уравнение. Первое, что делаешь, - избавляешься от дроби умножением на знаменатель $Q .$
Все физические величины в задаче 10 положительны, поэтому знаменатель $> 0 .$ Это даёт право на умножение без смены знака неравенства и без метода интервалов.
«Не менее», «не меньше» $⟹ ⩾;$ «не более», «не больше» $⟹ ⩽ .$ Не ведись на корень слова «меньше» в первом случае.
Если числа огромные (например, $220$ и $200$ ), не перемножай их в лоб. Сначала запиши выражение, найди общий множитель, сократи.
Для формулы линзы и параллельного сопротивления работает приём «выразить $\frac{1}{x}$ и перевернуть дробь» - это быстрее, чем приводить к общему знаменателю сразу три дроби.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-8 минут. Рациональный подтип чуть дольше линейного, потому что нужно аккуратно избавиться от знаменателя.
Приоритет: Решай в первой волне по первой части. Задача даёт стабильный балл при внимательном чтении.
Проверка подстановкой: Обязательно подставь ответ в исходную формулу с дробью и сосчитай результат в лоб. В примере 2 при $R_{2} = 40$ получаем $\frac{60 \cdot 40}{100} = 24$ - ровно на границе, условие «не меньше $24$ » выполнено. Проверка занимает $20$ секунд, но гарантирует балл.
Формат ответа: Целое число или короткая десятичная дробь. Если получилось $\frac{50}{3}$ или $7$ - ищи арифметическую ошибку в подстановке или преобразованиях.

Проверь себя0 из 4

1.В задаче 10 получилось неравенство

\frac{60 R _{2}}{60 + R _{2}} ⩾ 24,

где

R_{2} > 0 .

Почему при умножении обеих частей на

(60 + R_{2})

знак неравенства не меняется?

2.Фраза в условии «общее сопротивление должно быть не меньше

24

Ом» переводится в знак:

3.По формуле тонкой линзы

\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}

при

F = 12

f = 60

чему равно

d ?

4.Решение неравенства дало

R_{2} ⩾ 40,

а в задаче просят наименьшее возможное сопротивление. Что писать в ответ?