Разобрался в теме? Закрепи на задачах
Задачи по каждой теме с ИИ-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.
Задание 7 проверяет базовые навыки решения уравнений. Дробно-рациональные уравнения встречаются в этом номере довольно редко (гораздо чаще попадаются показательные, логарифмические или иррациональные), но они встречаются на экзамене.
Суть рационального уравнения заключается в том, что неизвестная переменная x находится в знаменателе дроби. Главное правило при работе с такими уравнениями - помнить о том, что на ноль делить нельзя.
Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно избавиться от знаменателя. Для этого используются три базовых конструкции.
Если дробь с единицей в числителе равна числу c, то знаменатель равен 1/c:
ax+b1=c⟺ax+b=c1(при условии, что c=0)
Две дроби равны тогда и только тогда, когда равны произведения накрест лежащих членов:
ba=dc⟺a⋅d=b⋅c(при обязательном условии, что b=0 и d=0)
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
BA=0⟺{A=0B=0Независимо от внешнего вида уравнения, последовательность действий всегда одна.
1. Запиши ограничение (ОДЗ). Выпиши знаменатель и укажи, что он не равен нулю. Это спасёт от «посторонних» корней.
2. Избавься от дроби. Примени правило пропорции или домножь обе части уравнения на знаменатель.
3. Реши полученное уравнение. После избавления от знаменателя останется простое линейное или квадратное уравнение.
4. Сделай проверку. Подставь найденный корень в исходное уравнение или сверь с ограничением из первого шага.
Разберём задачи от самых простых к чуть более хитрым. Обрати внимание на оформление расчётов.
Найдите корень уравнения 2x−71=5.
Найдите корень уравнения x+2x−4=−3.
Найдите корень уравнения x−5x2−7x+10=0. Если корней несколько, в ответ запишите наименьший из них.
Иногда дробное уравнение приходит в «симметричном» виде: одно и то же выражение встречается и отдельно, и в знаменателе. Типичные конструкции - x+x1, (x−1)+x−14 или x+1x+xx+1. Такое уравнение превращается в квадратное одним приёмом - заменой переменной.
Если в уравнении одновременно встречаются выражение f(x) и конструкция f(x)c (то же выражение в знаменателе), вводи новую переменную:
t=f(x)⟹f(x)c=tc.После решения уравнения относительно t обязательно вернись к x и проверь, что знаменатель не обращается в ноль.
Найди наибольший корень уравнения (x−1)+x−14=5.
Ошибка: При переходе от x+3x−2=4 к строке x−2=4⋅x+3. Коэффициент 4 умножается только на x.
Правильно: Обязательно бери весь знаменатель в скобки: x−2=4(x+3)⟹x−2=4x+12.
Ошибка: Приравнять числитель к нулю, получить два корня и сразу записать их в ответ (или выбрать из них нужный по условию), не проверив знаменатель.
Правильно: Всегда подставляй полученные корни в знаменатель. Если он обнуляется - корень нужно отбросить. Схема простая: сначала выписываешь все корни числителя, потом вычёркиваешь те, что обращают знаменатель в ноль.