Задание 7: Вычисления и преобразования | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 7 проверяет базовые навыки работы с числовыми и буквенными выражениями. Здесь не нужно решать уравнения или строить графики - от тебя требуется только аккуратно применить нужную формулу и довести числовое выражение до красивого ответа.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Базовый.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

Все прототипы задания 7 можно разделить на три большие группы:

1. Тригонометрические выражения - формулы двойного угла, основное тригонометрическое тождество, формулы приведения.
2. Логарифмические выражения - свойства суммы и разности логарифмов, вынесение степени, переход к новому основанию.
3. Степенные и иррациональные выражения - умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень, вынесение множителя из-под корня.

Ключевые формулы

Для успешного решения нужно твёрдо знать свойства трёх основных математических функций.

Свойства степеней и корней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении - вычитаются:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

(a^{m})^{n} = a^{mn}

Корень можно переписать в виде степени с дробным показателем:

n a^{m} = a^{m / n}

Свойства логарифмов

Сумма логарифмов - это логарифм произведения. Разность - логарифм частного:

lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b \cdot c)

lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} (\frac{b}{c})

Степень аргумента выносится в числитель, степень основания - в знаменатель:

lo g_{a^{q}} (b^{p}) = \frac{p}{q} lo g_{a} b

Основные тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество:

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

$Единичная окружность и знаки тригонометрических функций$

Общий алгоритм решения

Как решать задание 7

1. Определи тип выражения. Посмотри на пример и реши, с чем предстоит работать: со степенями, корнями, логарифмами или тригонометрией.
2. Найди общую базу. Если это степени - приведи всё к одинаковым основаниям. Если логарифмы - сделай так, чтобы у них было одно основание. Если тригонометрия - ищи кратные углы (например, $10 4^{\circ}$ и $5 2^{\circ}$ ).
3. Примени свойства. Сверни выражение по формуле.
4. Вычисли числовое значение. Убедись, что все буквы, корни, знаки логарифмов и синусов полностью сократились или вычислились.
5. Проверь формат. Ответ должен получиться целым числом или конечной десятичной дробью (например, $2, 5$ или $- 14$ ).

Примеры решения

Разберём три типичные задачи из разных подтем.

Пример 1. Степенные выражения

Найдите значение выражения $\frac{6 ^{12}}{2 ^{9} \cdot 3 ^{11}} .$

Показать решение

В числителе стоит основание $6,$ а в знаменателе - $2$ и $3 .$ Приведём всё к простым основаниям, используя свойство $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} .$ Представим $6$ как $2 \cdot 3 :$

\frac{( 2 \cdot 3 ) ^{12}}{2 ^{9} \cdot 3 ^{11}} = \frac{2 ^{12} \cdot 3 ^{12}}{2 ^{9} \cdot 3 ^{11}}

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\frac{2 ^{12}}{2 ^{9}} \cdot \frac{3 ^{12}}{3 ^{11}} = 2^{12 - 9} \cdot 3^{12 - 11} = 2^{3} \cdot 3^{1}

Вычислим результат:

8 \cdot 3 = 24

Ответ: 24

Пример 2. Логарифмические выражения

Найдите значение выражения $lo g_{0, 5} (12) - lo g_{0, 5} (3) .$

Показать решение

У логарифмов одинаковое основание $0, 5,$ а между ними стоит знак минус. Применим свойство разности логарифмов:

lo g_{0, 5} (12) - lo g_{0, 5} (3) = lo g_{0, 5} (\frac{12}{3}) = lo g_{0, 5} (4)

Теперь нужно вычислить $lo g_{0, 5} (4) .$ Для этого задаём вопрос: в какую степень нужно возвести $0, 5$ (то есть $\frac{1}{2}$ ), чтобы получить $4 ?$
Так как $(\frac{1}{2})^{- 2} = 2^{2} = 4,$ искомая степень равна $- 2 .$

Альтернативный способ расчёта через свойства:

lo g_{1/2} 4 = lo g_{2^{- 1}} 2^{2} = \frac{2}{- 1} lo g_{2} 2 = - 2 \cdot 1 = - 2

Ответ: -2

Пример 3. Тригонометрические выражения

Найдите значение выражения $\frac{8 sin 10 4 ^{\circ}}{sin 5 2 ^{\circ} \cdot cos 5 2 ^{\circ}} .$

Показать решение

Обрати внимание на углы: угол в числителе ( $10 4^{\circ}$ ) ровно в два раза больше угла в знаменателе ( $5 2^{\circ}$ ). Это верный признак того, что нужно использовать формулу синуса двойного угла: $sin 2 α = 2 sin α cos α .$

Распишем числитель:

sin 10 4^{\circ} = sin (2 \cdot 5 2^{\circ}) = 2 sin 5 2^{\circ} cos 5 2^{\circ}

Подставим это в исходное выражение:

\frac{8 \cdot ( 2 sin 5 2 ^{\circ} cos 5 2 ^{\circ} )}{sin 5 2 ^{\circ} cos 5 2 ^{\circ}}

Тригонометрические функции в числителе и знаменателе полностью сокращаются:

\frac{16 sin 5 2 ^{\circ} cos 5 2 ^{\circ}}{sin 5 2 ^{\circ} cos 5 2 ^{\circ}} = 16

Ответ: 16

Частые ошибки

Знак результата логарифма

Ошибка: Думать, что логарифм всегда даёт положительное число, и записывать $lo g_{0, 2} 25 = 2 .$
Правильно: Логарифм может быть отрицательным. Основание $0, 2 = \frac{1}{5} .$ Чтобы из $\frac{1}{5}$ получить $25,$ дробь нужно перевернуть (отрицательная степень) и возвести в квадрат. Верный ответ: $- 2 .$

Ошибки в знаках при формулах приведения

Ошибка: Применять формулу приведения, ориентируясь на знак конечной функции, а не исходной. Например, записать $cos (9 0^{\circ} + α) = sin α .$
Правильно: Всегда смотри на четверть исходного угла. Угол $9 0^{\circ} + α$ находится во второй четверти. Исходная функция (косинус) во второй четверти отрицательна. Значит, $cos (9 0^{\circ} + α) = - sin α .$

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 7

Ориентировочное время: 2–5 минут.
Действия при тупике: Если в ответе остался корень (например, $3$ ) или логарифм - вычисления не завершены или допущена ошибка. В бланк первой части можно вписать только числа. Возвращайся на шаг назад и ищи ошибку в свойствах.
Самопроверка: Проверяй себя обратным действием. Если получилось $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2,$ возведи $3$ в степень $- 2 .$ Получилась $\frac{1}{9} ?$ Значит, всё верно.
Приоритет: Решай это задание сразу после текстовых задач и лёгкой геометрии. Это чистая техника, которая не требует сложного анализа.