Расстояние от точки до плоскости

Поиск расстояния от точки до плоскости (задание 15) - один из самых частых и понятных сюжетов стереометрии на ЕГЭ. В отличие от задач на углы между плоскостями или поиск сечений, здесь тебе редко придётся строить сложные дополнительные линии и пытаться «увидеть» трёхмерную картинку.

Существуют мощные аналитические инструменты, которые сводят задачу к формулам и базовым вычислениям.

Основные формулы и методы

iЗАМЕЧАНИЕ

Что такое расстояние?

Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Если прямая параллельна плоскости, то расстояние от любой точки этой прямой до плоскости одинаково. Если плоскости параллельны, расстояние между ними равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой.

Существуют три основных метода нахождения этого расстояния. Первый - классический метод перпендикуляра (построить основание перпендикуляра, доказать перпендикулярность через теорему о трёх перпендикулярах, вычислить длину через теорему Пифагора). Он работает, когда в фигуре есть удобная плоскость симметрии, но на ЕГЭ часто бывает громоздким. Гораздо эффективнее два других.

ВАЖНОЕ

Метод объёмов (Вспомогательная пирамида)

Если соединить данную точку с тремя точками на плоскости, получится треугольная пирамида (тетраэдр). Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h .$
Расстояние от вершины до плоскости основания - это и есть высота $h .$ Выразим её:

h = \frac{3 V}{S _{осн}}

ВАЖНОЕ

Координатный метод

Если ввести прямоугольную систему координат, то расстояние $d$ от точки $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ до плоскости $α,$ заданной уравнением $A x + B y + C z + D = 0,$ вычисляется по формуле:

d = \frac{∣ A \cdot x _{0} + B \cdot y _{0} + C \cdot z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Алгоритм решения: как выбрать метод?

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы с задачей

1. Попробуй свести к планиметрии. Если в фигуре есть удобная плоскость симметрии (например, диагональное сечение в правильной пирамиде), которая содержит искомый перпендикуляр, сделай выносной 2D-чертёж. Задача сведётся к поиску высоты в треугольнике.
2. Примени метод объёмов. Если перпендикуляр падает в неизвестную точку плоскости, построй вспомогательную пирамиду. Вычисли её объём, взяв за основание «удобную» грань (где высоту легко найти). Затем найди площадь нужного сечения и примени формулу $h = \frac{3 V}{S} .$
3. Используй координаты. Если фигура вписана в «коробку» с прямыми углами (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма) и сечение задано неудобно, вводи систему координат. Найди уравнение плоскости по трём точкам и примени формулу.

Примеры решения

Разберём применение двух главных методов на конкретных задачах.

ПРИМЕР 1

Метод объёмов

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром $6$ проведена плоскость $A B_{1} C .$
а) Докажите, что диагональ $B D_{1}$ перпендикулярна плоскости $A B_{1} C .$
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $A B_{1} C .$

ПРИМЕР 2

Координатный метод

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 4, A D = 3, A A_{1} = 6 .$ На ребре $A A_{1}$ отмечена точка $M$ так, что $A M = 3 .$ На ребре $C C_{1}$ отмечена точка $K$ так, что $C K = 2 .$
а) Докажите, что плоскость $D M K$ проходит через точку $P$ на ребре $B B_{1},$ для которой $B P = 5 .$
б) Найдите расстояние от точки $B_{1}$ до плоскости $D M K .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря модуля в числителе

Ошибка: Вычисляя расстояние координатным методом, получить в числителе отрицательное число, забыть про модуль и записать в ответ отрицательное расстояние.
Правильно: Всегда бери числитель формулы $d$ по модулю. Расстояние - это геометрическая длина, она не может быть меньше нуля.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Слепая вера чертежу

Ошибка: Пытаться геометрически опустить перпендикуляр из точки на плоскость и «на глаз» решить, что он падает точно в середину какого-то отрезка на сечении, после чего строить вычисления на этой иллюзии.
Правильно: Если используешь метод объёмов или координаты, тебе вообще не нужно знать, куда конкретно падает перпендикуляр. Формулы сделают всю работу за тебя. Доверяй алгебре, а не глазомеру.

Что запомнить

ВАЖНОЕ

Две главные формулы

Метод объёмов (высота тетраэдра через объём):

h = \frac{3 V}{S _{осн}}

Координатный метод (расстояние от точки $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ до плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ ):

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Метод объёмов - чемпион для пирамид и тетраэдров. Найди объём через любую удобную грань, потом подели на площадь нужной грани и умножь на $3 .$
Координатный метод - спаситель для кубов, прямоугольных параллелепипедов и правильных призм. Придётся решить простую систему из двух-трёх линейных уравнений, зато не нужно включать пространственное воображение.
Для метода объёмов аккуратно считай площадь сечения: часто это треугольник, все три стороны которого находятся по теореме Пифагора из граней исходной фигуры. Если сечение оказалось равносторонним, применяй $S = \frac{a ^{2} 3}{4} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут.
Очерёдность: Переходи к стереометрии после решения всех уравнений и неравенств (14, 16). Стереометрия требует концентрации.
Хитрости оценивания: Если пункт «а» (доказательство) кажется нерешаемым, смело пропускай его и делай пункт «б» (вычисление). Если ты найдёшь расстояние, опираясь на недоказанный факт из пункта «а», ты всё равно получишь 1 балл.
Оформление координат: Если решаешь координатным методом, обязательно опиши словами введение осей: «Введём прямоугольную систему координат. Начало координат поместим в точку D, ось X направим по лучу DA...». За чертёж без описания могут снять баллы.

За что дают баллы

В задании 15 можно заработать от 0 до 3 баллов:

3 балла (Максимум): Обоснованно и безупречно получен верный ответ в обоих пунктах. Все теоремы названы, вычисления без ошибок.
2 балла: Идеально решён один пункт (а или б), а во втором допущена обидная вычислительная ошибка (например, ошибка в сложении дробей), но логика решения второго пункта абсолютно верна. Либо полностью решены оба пункта, но в одном есть арифметическая ошибка.
1 балл: Идеально выполнен только пункт «а» (доказательство). Либо абсолютно верно выполнен только пункт «б» (например, с использованием недоказанного утверждения из пункта «а»).
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений или логика в корне неверна.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно расстояние от вершины тетраэдра до плоскости основания, если известны его объём

V

и площадь основания

S ?

2.По какой формуле вычисляется расстояние от точки

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

до плоскости

A x + B y + C z + D = 0 ?

3.В кубе с ребром

6

сечение

A B_{1} C

— равносторонний треугольник. Чему равна его сторона?

4.Куда должен падать перпендикуляр из точки на плоскость, чтобы работал метод объёмов?