Расстояние между точками, от точки до… — ЕГЭ профиль

Расстояние между точками и от точки до прямой (Задание 15)

В задании 15 встречаются два типа «расстояний», которые легко перепутать. Первое - расстояние между двумя точками в пространстве: длина отрезка, который их соединяет. Второе - расстояние от точки до прямой: длина перпендикуляра, опущенного на прямую. Оба сводятся к одному приёму - построению удобного прямоугольного треугольника и применению теоремы Пифагора.

Тема встречается примерно в 1 задаче из 50 на реальном ЕГЭ, но сценарий почти всегда один: цилиндр или призма, точки на разных основаниях, найти расстояние от одной точки до наклонной прямой. Главная идея: любое расстояние в пространстве - это длина стороны или высоты какого-то треугольника.

Расстояние между точками

Длина отрезка с концами в двух известных точках - это самое простое расстояние. Даже если точки лежат в разных гранях, формула одна.

ВАЖНОЕ

Расстояние между точками в пространстве

Если известны координаты точек $A (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2}; z_{2}) :$

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}

Это прямое обобщение теоремы Пифагора на три измерения. Если координаты не заданы, длину отрезка находят через «пошаговую» теорему Пифагора: сначала в одной плоскости (например, основании), затем в вертикальной.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой в пространстве - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В трёхмерном пространстве провести этот перпендикуляр «на глаз» почти невозможно, поэтому задачу переводят в плоскую: строят треугольник и находят высоту.

ВАЖНОЕ

Теорема о трёх перпендикулярах (ТТП)

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

ВАЖНОЕ

Метод площадей (Высота треугольника)

Если известны все три стороны треугольника, его площадь считают по формуле Герона:

S = p (p - a) (p - b) (p - c), p = \frac{a + b + c}{2}

Поскольку $S = \frac{1}{2} a \cdot h_{a},$ высота (то есть искомое расстояние) выражается как:

h_{a} = \frac{2 S}{a}

Если треугольник прямоугольный с катетами $a,$ $b$ и гипотенузой $c,$ высоту к гипотенузе находят короткой формулой $h = \frac{a \cdot b}{c} .$

ВАЖНОЕ

Координатный метод

Расстояние от точки $P$ до прямой, заданной точкой $M$ и направляющим вектором $l,$ считают через векторное произведение:

d = \frac{∣ M P \times l ∣}{∣ l ∣}

Координатный метод работает особенно хорошо в кубе, прямоугольном параллелепипеде или правильной призме: начало координат ставят в вершину, оси - вдоль рёбер, и остаётся только аккуратно посчитать векторное произведение и модуль.

Алгоритм решения

В 90% случаев задача сводится к построению вспомогательного треугольника и применению теоремы Пифагора в разных его гранях.

АЛГОРИТМ

Поиск расстояния от точки до прямой

1. Выдели точку и прямую. Пусть нужно найти расстояние от точки $P$ до прямой $A B .$
2. Построй треугольник. Соедини точку $P$ с двумя удобными точками на прямой (обычно это $A$ и $B$ ). Получится треугольник $P A B .$
3. Найди стороны. Вычисли длины $P A,$ $P B$ и $A B$ пространственной теоремой Пифагора - по очереди в разных гранях многогранника или в основании цилиндра.
4. Определи вид треугольника. Проверь, не является ли он прямоугольным или равнобедренным:

равнобедренный - высота совпадает с медианой, ищется теоремой Пифагора;
прямоугольный - высота к гипотенузе равна $h = \frac{a \cdot b}{c}$ (произведение катетов делить на гипотенузу).
5. Метод площадей. Если треугольник общего вида, посчитай его площадь по формуле Герона, а затем вырази высоту: $h = \frac{2 S}{A B} .$ Это и есть искомое расстояние.
6. Альтернатива: координаты. Если фигура прямоугольная (куб, параллелепипед), введи систему координат и применяй формулу $d = \frac{∣ M P \times l ∣}{∣ l ∣}$ - получишь тот же ответ механически.

Примеры решения задач

Разберём два примера от простого к сложному. Обрати внимание, как грамотно оформлять доказательство перпендикулярности.

ПРИМЕР 1

Куб и прямоугольный треугольник

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ все рёбра равны $3 .$
а) Докажите, что прямая $A C$ перпендикулярна прямой $B D_{1} .$
б) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $B D_{1} .$

ПРИМЕР 2

Цилиндр и теорема о трёх перпендикулярах

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности нижнего основания выбраны точки $A$ и $B,$ а на окружности верхнего основания - точка $C_{1} .$ Точка $C$ - проекция точки $C_{1}$ на нижнее основание, причём отрезок $A C$ является диаметром нижнего основания. Известно, что высота цилиндра равна $15,$ радиус основания равен $5,$ а длина отрезка $A B = 6 .$
а) Докажите, что угол между прямыми $A B$ и $B C_{1}$ равен $9 0^{\circ} .$
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между наклонной и её проекцией

Ошибка: При поиске расстояния от точки до наклонной прямой провести перпендикуляр к проекции этой прямой на плоскость основания и решить, что это и есть ответ.
Правильно: Расстояние от точки до прямой в пространстве - это перпендикуляр именно к самой прямой, а не к её проекции. Он лежит в плоскости, проходящей через заданную точку и прямую. Всегда строй вспомогательный треугольник.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Расстояние от точки до прямой путают с расстоянием до точки на прямой

Ошибка: Вместо длины перпендикуляра посчитать длину отрезка из точки $B$ к ближайшей вершине на прямой $A C_{1}$ (например, $B A$ или $B C_{1}$ ) и записать её как расстояние.
Правильно: Расстояние между точками и расстояние от точки до прямой - две разные величины. Отрезок $B A$ - это расстояние между точками, а не до прямой. Искомое расстояние - это всегда длина перпендикуляра $B H,$ где $H$ лежит на прямой $A C_{1} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибочное предположение о точке падения высоты

Ошибка: В произвольном треугольнике провести высоту к стороне и «на глаз» решить, что она падает ровно в середину стороны (является медианой).
Правильно: Высота совпадает с медианой только в равнобедренном или равностороннем треугольнике. Если треугольник общего вида, пользуйся методом площадей - не придётся гадать, в какую именно точку падает высота.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут. Стереометрию лучше решать после уравнений (13) и неравенств (15).
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Если ты не можешь доказать перпендикулярность в пункте «а», смело пиши в решении пункта «б»: «Предположим, что утверждение пункта "а" верно, тогда треугольник является прямоугольным...». Вычислив правильный ответ с опорой на недоказанный первый пункт, ты получишь 1 первичный балл.
Рисунок: Делай крупный чертёж. Цилиндры и конусы рисуй так, чтобы эллипсы оснований были достаточно широкими - иначе линии сольются, и ты не увидишь нужный прямоугольный треугольник.

За что дают баллы

В задании 15 можно заработать от 0 до 3 баллов. Эксперты оценивают логику и обоснованность каждого шага.

3 балла (Максимум): Идеально и обоснованно доказан пункт «а», абсолютно верно вычислен пункт «б». Все применяемые теоремы названы (Пифагора, о трёх перпендикулярах).
2 балла: Пункт «а» доказан верно, логика пункта «б» абсолютно правильная, но допущена одна обидная арифметическая ошибка (например, ошибка в сложении при использовании теоремы Пифагора). Либо пункт «б» решён безупречно (без использования пункта «а»), но сам пункт «а» не решён.
1 балл: Верно и полно доказан только пункт «а». Либо пункт «а» не решён, но пункт «б» решён абсолютно верно с использованием недоказанного утверждения из пункта «а».
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений, или дан только правильный ответ без вычислений.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно расстояние от точки до прямой в пространстве?

2.В прямоугольном треугольнике катеты равны

a

b,

гипотенуза

c .

Чему равна высота, проведённая к гипотенузе?

3.Стороны треугольника известны, но он не прямоугольный и не равнобедренный. Как найти высоту к стороне

a ?

4.Прямая в плоскости проходит через основание наклонной и перпендикулярна её проекции. Что утверждает теорема о трёх перпендикулярах?