Расстояние между прямыми и плоскостями

Задание 15 проверяет твоё пространственное мышление и умение строго доказывать геометрические факты. Тема «Расстояние между прямыми и плоскостями» часто переплетается с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми, так как эти концепции неразрывно связаны.

Чтобы успешно решать такие задачи, можно использовать как классическую геометрию (построения и теорема Пифагора), так и алгебраический подход (метод координат).

Основные определения и формулы

Для начала чётко зафиксируем, что такое расстояние в разных геометрических ситуациях. Во всех случаях расстояние - это длина перпендикуляра.

ВАЖНОЕ

Расстояние от прямой до параллельной плоскости

Расстояние от прямой $a$ до параллельной ей плоскости $α$ равно расстоянию от любой точки прямой $a$ до плоскости $α .$

Часто в задачах просят найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Существует универсальный приём, который сводит эту задачу к нахождению расстояния от прямой до плоскости.

ВАЖНОЕ

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Координатный метод

Если в задаче дана фигура с прямыми углами (куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма), метод координат становится настоящим спасением. Тебе не нужно ничего достраивать - достаточно ввести систему координат и применить готовую формулу.

ВАЖНОЕ

Расстояние от точки до плоскости в координатах

Если плоскость задана уравнением $A x + B y + C z + D = 0,$ а точка $M$ имеет координаты $(x_{0}; y_{0}; z_{0}),$ то расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости вычисляется по формуле:

d = \frac{∣ A \cdot x _{0} + B \cdot y _{0} + C \cdot z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

Алгоритм решения

В задании 15 всегда два пункта: «а» - доказательство, «б» - вычисление.

АЛГОРИТМ

Алгоритм для задач на прямые и плоскости

1. Сделай крупный чертёж. Обозначь все видимые и невидимые линии.
2. Докажи параллельность (пункт а). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (и сама не лежит в ней). Найди эту прямую и докажи параллельность через среднюю линию, параллелограмм или подобие.
3. Выбери метод для пункта б.

Классический: найди плоскость, перпендикулярную данной, и проведи высоту в удобном прямоугольном треугольнике.
Координатный: введи оси $X, Y, Z,$ найди координаты трёх точек плоскости, составь её уравнение и примени формулу расстояния для любой точки прямой.
4. Выполни вычисления и проверь ответ. Расстояние всегда должно быть положительным числом.

Примеры решения

Разберём два примера: первый решим классическим геометрическим методом, а второй - координатным, чтобы показать мощь алгебры.

ПРИМЕР 1

Классический метод (правильная призма)

Условие:
Дана правильная треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1} .$ Сторона основания равна $23,$ а боковое ребро равно $3 .$ Через ребро $B C$ и вершину $A_{1}$ проведена плоскость $α .$
а) Докажите, что прямая $B_{1} C_{1}$ параллельна плоскости $α .$
б) Найдите расстояние от прямой $B_{1} C_{1}$ до плоскости $α .$

Правильная треугольная призма и сечение A_1BC

ПРИМЕР 2

Координатный метод (прямоугольный параллелепипед)

Условие:
В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны рёбра: $A B = 4,$ $A D = 3,$ $A A_{1} = 6 .$ Точки $M$ и $N$ - середины рёбер $A_{1} B_{1}$ и $A_{1} D_{1}$ соответственно.
а) Докажите, что прямая $B D$ параллельна плоскости $M N C .$
б) Найдите расстояние от прямой $B D$ до плоскости $M N C .$

Прямоугольный параллелепипед с точками M, N, C

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки в признаке параллельности

Ошибка: Написать «Прямая не пересекает плоскость на чертеже, значит она ей параллельна» или сослаться на интуицию.
Правильно: Строго найти конкретную прямую внутри плоскости и доказать, что исходная прямая ей параллельна. Без ссылки на признак параллельности прямой и плоскости балл за доказательство не дадут.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака модуля в координатном методе

Ошибка: При вычислении расстояния по формуле $d = \frac{A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ получить отрицательное число и записать его в ответ.
Правильно: В числителе формулы стоят модульные скобки $∣...∣ .$ Расстояние не может быть отрицательным! Если под модулем получилось $- 12,$ расстояние равно $12 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Точка не на той прямой

Ошибка: Искать расстояние от прямой $a$ до параллельной плоскости $α$ и взять точку не с самой прямой $a,$ а её проекцию или какую-то вспомогательную точку - ответ получится неверным.
Правильно: Бери любую точку, лежащую непосредственно на прямой $a$ (чаще всего - конец отрезка или середину). После этого применяй формулу расстояния от точки до плоскости. Проверь, что координаты выбранной точки удовлетворяют условию, что она принадлежит прямой.

Что запомнить

Ищи прямоугольные треугольники. Если их нет, попробуй метод координат (для фигур с прямыми углами в основании - кубы, прямоугольные параллелепипеды, правильные треугольные и четырёхугольные призмы).
Если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми - найди (или построй) плоскость, которая проходит через одну прямую параллельно другой.
Коэффициенты уравнения плоскости $A, B, C$ можно умножать или делить на любое ненулевое число. Выбирай такие значения, чтобы избавиться от дробей, - это снизит риск вычислительной ошибки.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут.
Очерёдность: Приступай к задаче 15 после решения джентльменского набора (задания 14, 16 и 17). Стереометрия требует концентрации и аккуратного чертежа.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» независимы! Если ты не можешь доказать пункт «а», всё равно решай пункт «б», опираясь на то, что утверждение из «а» истинно. За правильные вычисления дадут 1 балл.
Когда стоит пропустить: Если через 5-7 минут ты не понимаешь, как выглядит сечение, и не можешь ввести координаты (фигура наклонная или неправильная), отложи задачу и переходи к параметрам или планиметрии.

За что дают баллы

В задании 15 можно получить максимум 3 первичных балла:

3 балла: Ты безупречно доказал пункт «а» (со всеми ссылками на теоремы) и получил правильный числовой ответ в пункте «б».
2 балла: Есть верное доказательство пункта «а», но в пункте «б» допущена обидная арифметическая ошибка (например, $2 + 3 = 6$ ), из-за которой ответ неверный. ЛИБО пункт «б» решён абсолютно верно (своим независимым способом), но пункт «а» не доказан.
1 балл: Идеально доказан только пункт «а». ЛИБО пункт «а» не доказан, но ты использовал его как факт и верно решил пункт «б» (получил правильный ответ).
0 баллов: Решение содержит грубые логические ошибки, нет обоснований, или просто написан ответ. Считать по неправильным формулам или делать неверные допущения («пусть треугольник равносторонний») - это 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно расстояние от прямой

a

до параллельной ей плоскости

α ?

2.Как свести расстояние между скрещивающимися прямыми

a

b

к расстоянию «прямая — плоскость»?

3.Плоскость задана уравнением

2 x - y + 2 z - 6 = 0 .

Чему равно расстояние от точки

(3; 2; 4)

до этой плоскости?

4.Что нужно проверить, доказывая параллельность прямой и плоскости по признаку?