Распределение случайной величины — ЕГЭ профиль

Распределение случайной величины (Задание 6)

Шестое задание почти всегда начинается с одного шага: условие переводят на язык случайной величины. Число заказов за десять минут, число бракованных светильников в упаковке, число выплат по договору за год - всё это случайные величины, и про каждую спрашивают одно: с какой вероятностью она принимает то или иное значение. Ответ хранится в таблице распределения, и вся тема - работа с такой таблицей.

Считать здесь почти нечего - сложение и вычитание в пределах единицы. Тема держится на одном равенстве (сумма вероятностей всех значений равна $1$ ) и на умении честно выписать все значения величины. Ожидание, дисперсия и отклонение считаются уже по готовой таблице, так что верно составленная таблица закрывает половину номера.

Что такое случайная величина

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Случайная величина

Случайная величина - это правило, которое каждому исходу опыта сопоставляет число.

Опыт: два броска монеты. Исходы: РР, РГ, ГР, ГГ. Величина $X$ - число выпавших гербов - сопоставляет им числа $0,$ $1,$ $1,$ $2 .$

Величины обозначают заглавными буквами $X,$ $Y,$ $Z,$ значения - строчными с номерами: $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots,$ $x_{n} .$

Разным исходам может достаться одно и то же число - как РГ и ГР выше. Это не сбой, а самое важное место темы: событие « $X = 1$ » собирает сразу два исхода, и его вероятность вдвое больше, чем у каждого из них.

iЗАМЕЧАНИЕ

Дискретная и непрерывная

Значений конечное число (или их можно занумеровать) - величина дискретная: число заказов, число бракованных деталей, выпавшее очко. Её задают таблицей, и вся тема - про такие величины.

Величина принимает любое значение из промежутка - она непрерывная: время ожидания автобуса, масса буханки. Таблицы у неё быть не может: отдельное значение имеет вероятность $0 .$

Закон распределения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Закон распределения

Закон распределения дискретной случайной величины - перечень всех её значений вместе с их вероятностями. Записывают его таблицей в две строки:

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{n}$

Сверху - значения, снизу - их вероятности: $p_{i} = P (X = x_{i}) .$ Таблица полностью описывает величину: всё, что спрашивают в шестом номере, читается из неё.

ВАЖНОЕ

Два требования к таблице

p_{i} ⩾ 0 для каждого i

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

Первое очевидно, второе - рабочий инструмент. Значения исчерпывают все исходы опыта и несовместны: в одном испытании величина принимает ровно одно. Значит, вероятности делят единицу без остатка.

Отсюда самый частый вопрос темы: одна вероятность заменена буквой, и её надо найти. Складываем известные и вычитаем сумму из единицы.

АЛГОРИТМ

Как составить таблицу по условию

1. Назови величину одной фразой. « $X$ - число бракованных светильников в упаковке». Пока не ясно, что измеряется, считать нечего.
2. Выпиши все значения. До одного, включая нулевое: «брака нет» - это значение $0,$ а не отсутствие значения.
3. Найди вероятность каждого. Она либо дана прямо, либо считается как доля, либо выражается через неизвестную $t .$
4. Проверь сумму. Она обязана равняться $1 .$ Не сходится - потеряно значение или ошибка в арифметике.
5. Ответь ровно на вопрос. Саму таблицу просят редко: чаще одну вероятность или сумму нескольких.

События - это наборы значений

Вопрос почти никогда не звучит как «найдите $P (X = 3)$ ». Спрашивают «не менее трёх», «меньше двух», «хотя бы один». Любое такое событие - набор значений величины, а разные значения несовместны, поэтому вероятности складываются.

ВАЖНОЕ

Вероятность события через таблицу

P (X ⩾ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + \dots

P (X ⩽ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

Если слагаемых много, короче считать через противоположное событие:

P (X ⩾ 3) = 1 - P (X ⩽ 2)

Событие «не менее трёх» собирается из трёх значений

✓СОВЕТ

Словарь неравенств

«не менее $3$ », «хотя бы $3$ », « $3$ и больше» - это $X ⩾ 3,$ значение $3$ входит.
«больше $3$ », «более $3$ » - это $X > 3,$ значение $3$ не входит.
«не более $3$ » - это $X ⩽ 3,$ входит; «меньше $3$ », «менее $3$ » - это $X < 3,$ не входит.
«хотя бы один» - это $X ⩾ 1,$ то есть $1 - P (X = 0) .$

Величина целочисленная, поэтому $X > 3$ и $X ⩾ 4$ - одно и то же.

Накопленные вероятности

Иногда в условии дают не таблицу, а накопленные вероятности $P (X ⩽ x)$ - сколько набралось, если идти по значениям слева направо. Это та же таблица, записанная нарастающим итогом.

ВАЖНОЕ

Накопленная вероятность и приращение

P (X ⩽ x_{k}) = p_{1} + p_{2} + \dots + p_{k}

Отсюда вероятность отдельного значения - приращение накопленной:

P (X = x_{k}) = P (X ⩽ x_{k}) - P (X ⩽ x_{k - 1})

Накопленная вероятность не убывает, а на самом правом значении равна $1$ - поэтому последнее значение восстанавливается ещё короче: $P (X = x_{n}) = 1 - P (X ⩽ x_{n - 1}) .$

Ступенька растёт ровно на вероятность своего значения

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Недостающая вероятность

Условие:
Служба доставки считает опоздания курьера за день. Случайная величина $X$ - число опозданий:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0, 45$	$0, 3$	$0, 15$	$p$	$0, 02$

Найдите $p .$

ПРИМЕР 2

Событие из нескольких значений

Условие:
Диспетчер сервисного центра фиксирует число заявок за смену. Случайная величина $X$ - число заявок:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 35$	$0, 25$	$0, 1$

Найдите вероятность того, что за смену поступит не менее трёх заявок.

ПРИМЕР 3

Вероятности заданы отношениями

Условие:
Банкомат за месяц выходит из строя $0,$ $1,$ $2$ или $3$ раза. Вероятность того, что поломок не будет, равна $0, 7 .$ Вероятность одной поломки вдвое больше вероятности двух, а вероятность двух втрое больше вероятности трёх. Найдите вероятность ровно одной поломки за месяц.

ПРИМЕР 4

Даны накопленные вероятности

Условие:
Число автобусов, приходящих на остановку за полчаса, - случайная величина $X$ со значениями $1,$ $2,$ $3$ и $4 .$ По накопленным данным

P (X ⩽ 1) = 0, 2, P (X ⩽ 2) = 0, 5, P (X ⩽ 3) = 0, 9

Найдите вероятность того, что за полчаса придут ровно четыре автобуса.

ПРИМЕР 5

Таблицы нет - её надо построить

Условие:
Стрелок делает два независимых выстрела, вероятность попадания при каждом равна $0, 8 .$ Случайная величина $X$ - число попаданий. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт хотя бы один раз.

Четыре исхода двух выстрелов складываются в три значения

Частые ошибки

✗НЕВЕРНО

Сложили не все известные вероятности

Условие примера 1: таблица $0, 45;$ $0, 3;$ $0, 15;$ $p;$ $0, 02 .$
Неверное решение: $p = 1 - 0, 45 - 0, 3 - 0, 15 = 0, 1 .$
Что не так: клетку $0, 02$ правее буквы забыли вычесть. Единицу делят все значения сразу, а не только записанные до неизвестного. Верно $p = 0, 08 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеряно нулевое значение

Ошибка: в условии перечислены только «интересные» исходы (одна поломка, две, три), и вариант «поломок не было» в таблицу не попадает.
Правильно: если по смыслу возможен пустой исход, значение $0$ обязано стоять в таблице. Признак ошибки виден сразу: сумма оставшихся вероятностей меньше единицы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Границу неравенства сдвинули на единицу

Ошибка: «не менее трёх» посчитали как $X > 3$ и не включили клетку $X = 3 .$
Правильно: «не менее» и «не более» - нестрогие, граничное значение входит. Проверка: перепиши событие через целые числа ( $X > 3$ означает $X ⩾ 4$ ) и пересчитай клетки.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Накопленную вероятность приняли за обычную

Ошибка: дано $P (X ⩽ 3) = 0, 9,$ а в ответ пишут $0, 9$ как вероятность значения $3 .$
Правильно: $P (X ⩽ 3)$ - уже сумма вероятностей всех значений до третьего, а вероятность самого значения - разность соседних накопленных. Отличить легко: накопленные растут и кончаются единицей.

КОРОТКО

Что запомнить

Случайная величина - число, приписанное исходу опыта; разные исходы могут давать одно значение, и тогда вероятности складываются.
Закон распределения - таблица «значения / вероятности»; она полностью задаёт дискретную величину.
Сумма вероятностей всех значений равна $1$ - на этом равенстве стоит почти вся тема.
Событие «не менее», «не более», «хотя бы один» - набор клеток таблицы; длинную сумму заменяют на $1$ минус вероятность противоположного.
Накопленная $P (X ⩽ x)$ не убывает и заканчивается единицей; вероятность значения - приращение соседних накопленных.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 2-4 минуты. Самая быстрая задача шестого номера: вся работа - сложение и вычитание.
Первый ход: выпиши значения величины строкой, даже если таблица дана. Половина ошибок - потерянное значение, а не арифметика.
Контроль: любая вероятность лежит между $0$ и $1 .$ Получил минус или больше единицы - ошибка уже произошла.
Финальная проверка: сложи всю таблицу. Ровно единица - решение почти наверняка верно: ошибка в любой клетке эту сумму ломает.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины?

2.Величина

X

принимает значения

0,

1,

2,

3

с вероятностями

0, 1;

0, 2;

0, 4;

0, 3 .

Чему равно

P (X ⩾ 2) ?

3.Известно, что

P (X ⩽ 4) = 0, 7

P (X ⩽ 5) = 0, 9 .

Чему равно

P (X = 5) ?

4.Для целочисленной величины

X

событие «хотя бы одно попадание» - это